魏建波，朱建新，滿維偉

(中國航發(fā)湖南動力機械研究所，湖南 株洲 412002)

0 引言

滾動軸承是旋轉(zhuǎn)機械設(shè)備中極為重要的支承構(gòu)件，其旋轉(zhuǎn)精度是影響整個設(shè)備運轉(zhuǎn)精度和可靠性的重要因素。軸承在加工過程中不可避免地產(chǎn)生各種尺寸誤差，進而影響軸承的旋轉(zhuǎn)精度，其中滾子存在直徑誤差時會顯著降低軸承旋轉(zhuǎn)精度，因此開展軸承滾子直徑誤差與軸承旋轉(zhuǎn)精度的相關(guān)性研究，對提高軸承生產(chǎn)質(zhì)量具有重要意義。

Copula函數(shù)理論廣泛應用于水文、金融等各項領(lǐng)域中。近年來眾多學者在各項領(lǐng)域進行深入研究：沈小軍等[1]基于Copula函數(shù)理論建立風電機組間風速相關(guān)性計算方法，并針對某一地區(qū)的運行數(shù)據(jù)進行了案例分析。吳建華等[2]分析了Copula函數(shù)選擇的難點，提出了基于參數(shù)Bootstrap技術(shù)的對數(shù)似然準則檢驗方法，并利用模擬實驗檢驗了該方法的有效性。張蕾等[3]研究了基于Copula函數(shù)的抗剪強度參數(shù)聯(lián)合分布模型對巖土結(jié)構(gòu)物系統(tǒng)可靠性的影響規(guī)律，揭示了抗剪強度參數(shù)間相關(guān)結(jié)構(gòu)對巖土結(jié)構(gòu)物系統(tǒng)可靠度影響的過程。尤琦英等[4]分析了不同Copula函數(shù)參數(shù)估計法對函數(shù)類型選擇及對河流年徑流遭遇豐枯期的影響。指出極大似然估計法的擬合結(jié)果略優(yōu)于Kendall系數(shù)估計法，但兩種參數(shù)估計方法針對Copula函數(shù)類型選擇都是可行的。李玉敦等[5]基于Copula函數(shù)和馬爾科夫過程理論，提出了一種多維時序風速相依模型及該模型的兩階段蒙特卡洛模擬方法。張堯庭[6]討論了Copula函數(shù)在金融市場分析方面的應用前景。史道濟等[7]分析了滬深股票市場間的相關(guān)性。國外學者提出了兩階段極大似然估計法來進行二元Copula函數(shù)的參數(shù)估計[8-9]。ENGLE等[10]提出了一種用樣本經(jīng)驗分布代替邊際分布函數(shù)值的半?yún)?shù)估計法?？梢奀opula函數(shù)在分析變量間的非線性相關(guān)性方面，具有一定的基礎(chǔ)和優(yōu)勢，但是目前將Copula函數(shù)用于研究軸承旋轉(zhuǎn)精度的文章還少見報道。

本文以圓柱滾子軸承為例，利用Copula函數(shù)這一有力手段來研究滾子尺寸誤差與軸承徑向跳動之間的關(guān)系，并建立了數(shù)學分析模型，并對模型的合理性進行了驗證。利用建立的數(shù)學模型計算了兩者間的相依性條件概率，為深入研究軸承元件尺寸誤差與軸承旋轉(zhuǎn)精度的關(guān)系，提供了新的研究思路。

1 特征變量的獲取與分析

將軸承中其中兩個相鄰滾子的直徑尺寸誤差和軸承徑向跳動數(shù)據(jù)作為研究變量。根據(jù)對滾子尺寸檢測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，用正態(tài)隨機數(shù)生成兩組滾子尺寸誤差數(shù)據(jù)，并分別記為w1、w2。以w1、w2為輸入條件，獲得相應的軸承徑向跳動數(shù)據(jù)s。由仿真程序得到的各特征變量參數(shù)如表1所示。

表1 特征變量的邊緣分布參數(shù)

利用Kolmogorov-Smirnov檢驗法[11](以下簡稱K-S檢驗法)對各特征變量的邊緣分布函數(shù)進行正態(tài)分布檢驗。結(jié)果如表2所示。

表2 Kolmogorov-Smirnov單樣本檢驗中的D值

由上表可知的各特征變量的D值均不大于0.215，伴隨概率P均不小于0.05，所以可以認為三組特征變量均符合正態(tài)分布。

2 模型的優(yōu)選、建立及驗證

Copula函數(shù)的模型具有多種多樣的類型，本文將從常用的5種Copula函數(shù)中優(yōu)選出最適宜的模型。優(yōu)選依據(jù)為不同類型Copula函數(shù)的均方根誤差[12]，優(yōu)選結(jié)果分別如表3和表4所示。

表3 5種模型的均方根誤差(1號滾子)

表4 5種模型的均方根誤差(2號滾子)

由上表可知，Gumbel-Copula函數(shù)誤差最小，為本文最優(yōu)的建模選擇。

根據(jù)Copula函數(shù)相關(guān)理論，只要已知特征變量的連接函數(shù)及各自的邊緣分布函數(shù)即可建立出相應的函數(shù)模型：

(1)

式中，u(w)、v(s)為邊緣分布；θ為建模參數(shù)。

通過對比計算模型的經(jīng)驗累積概率值和理論累積概率值的相關(guān)性來驗證模型的合理性。

由仿真程序計算得出兩特征變量的相關(guān)系數(shù)分別為0.982和0.981，顯示了兩者間的顯著相關(guān)性，表明了模型的合理性。

3 相關(guān)性分析

本文分別計算了基于樣本數(shù)據(jù)的Kendall系數(shù)τ、基于Copula函數(shù)的Kendall系數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρn來對比分析表征變量間的相關(guān)性。

由表1可知，生成的兩組滾子直徑誤差數(shù)據(jù)中，兩者的均值相當，但第二組數(shù)據(jù)的方差更小，結(jié)合表5分析可得到以下結(jié)論：

表5 1,2號滾子存在誤差時特征變量間的秩相關(guān)系數(shù)τ

(1)滾子直徑尺寸誤差值與軸承徑向跳動量之間存在顯著的相關(guān)性。當兩個相鄰滾子的尺寸誤差具有不同的均值與方差時，兩個滾子尺寸誤差與軸承徑向跳動的秩相關(guān)系數(shù)分別為0.511 7、0.637 3。

(2)滾子直徑尺寸誤差數(shù)據(jù)組方差的大小不僅代表著滾子誤差數(shù)據(jù)的集中與分散，也表征了該組數(shù)據(jù)與軸承徑向跳動相關(guān)系數(shù)的大小。

由上述結(jié)果可得：滾子尺寸誤差與軸承徑向跳動相關(guān)性較強；Copula函數(shù)能較好的分析特征變量間的相關(guān)性。

4 基于Copula函數(shù)的條件概率計算

當軸承零部件存在一定尺寸誤差時，軸承徑向跳動的變化是未知的，但通過Copula函數(shù)可以對軸承徑向跳動超出值的概率進行預測；同理在軸承旋轉(zhuǎn)精度即跳動一定時，也可以準確預測軸承滾子誤差的超出概率。下面對基于Sklar定理建立的Copula函數(shù)條件概率計算方法進行介紹：

在二維Copula函數(shù)中，設(shè)F(x1,x2)=P(X1≤x1,X2≤x2)=C(u,v)，對于條件概率，可以通過Copula函數(shù)獲得在X1=x1條件下，事件X2≤x2的條件概率為：

F(X2≤x2|X1=x1)=P(X2≤x2|X1=x1)=

(2)

用式(1)所示Gumbel-Copula函數(shù)，進行基于Copula函數(shù)的條件概率預測。設(shè)定軸承滾子尺寸誤差為0.01 mm～0.1 mm，間距為0.01 mm，分別計算軸承徑向跳動大于0.03 mm、0.05 mm、0.07 mm的超出概率；同理設(shè)定軸承徑向跳動為0.01 mm～0.1 mm，間距為0.01 mm，分別計算W1組滾子尺寸誤差大于0.03 mm、0.05 mm、0.07 mm的超出概率，計算結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 軸承徑向跳動不變時基于Gumbel-Copula函數(shù)的1號滾子尺寸誤差超出概率

圖2 1號滾子誤差不變時基于Gumbel-Copula函數(shù)的軸承徑向跳動超出概率

可以得出：

(1)當軸承滾子的尺寸誤差逐漸增大時，基于Gumbel-Copula函數(shù)條件概率下的軸承滾子尺寸誤差超出概率不斷減小。

(2)同一滾子尺寸誤差下，軸承徑向跳動越小，滾子尺寸誤差的超出概率越??；軸承徑向跳動越大，滾子尺寸誤差的超出概率越大。變化趨勢線均呈非線性。

(3)當軸承滾子尺寸誤差不變時，軸承徑向跳動的超出概率隨軸承徑向跳動超出值的增大不斷減小。

同理，針對W2組滾子做相同處理，計算結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 軸承徑向跳動不變時基于Gumbel-Copula函數(shù)的2號滾子尺寸誤差超出概率

圖4 2號滾子誤差不變時基于Gumbel-Copula函數(shù)的軸承徑向跳動超出概率

對比圖1與圖3，圖2與圖4，得出：

(1)在不同的Gumbel-Copula函數(shù)建模參數(shù)、滾子尺寸誤差分布特征下，基于Gumbel-Copula函數(shù)的條件概率曲線呈現(xiàn)出相同的變化趨勢；

(2)方差越小，滾子尺寸誤差超出概率的減小趨勢更為陡峭；但隨著尺寸誤差的增大到0.07 mm后，滾子的尺寸誤差超出概率均逐步趨近于0，即滾子尺寸誤差分布的特征參數(shù)對條件概率值有一定影響。

5 結(jié)論

(1)Copula函數(shù)可以作為研究軸承旋轉(zhuǎn)精度的有效手段，但不同類型的Copula函數(shù)對相同數(shù)據(jù)間相依性的評估結(jié)果有明顯差別，需要進行擬合優(yōu)度評價，選出最優(yōu)的Copula函數(shù)模型。

(2)滾子直徑尺寸誤差與軸承徑向跳動的相關(guān)性較強。滾子尺寸誤差數(shù)據(jù)分布的特征參數(shù)會影響滾子直徑尺寸誤差與軸承徑向跳動的秩相關(guān)系數(shù)。

(3)通過Gumbel-Copula函數(shù)能較為地準確分析軸承徑向跳動與滾子尺寸誤差之間的相關(guān)性。

通過Gumbel-Copula函數(shù)進行條件概率分析，可以合理選擇一定直徑尺寸范圍內(nèi)的滾子進行裝配，有利于保證軸承的旋轉(zhuǎn)精度。