沈 皓，常 軍

（蘇州科技大學 土木工程學院，江蘇 蘇州 215011）

卡爾曼濾波算法是近幾十年發(fā)展起來的一種行之有效的結(jié)構(gòu)損傷識別方法?？柭鼮V波算法是一種基于最小方差準則的線性無偏估計方法，能夠?qū)崿F(xiàn)有限觀測量下的結(jié)構(gòu)狀態(tài)的實時估計[1]。對于土木工程結(jié)構(gòu)的卡爾曼濾波算法損傷識別，國內(nèi)外學者已經(jīng)做過很多研究。王堅等[2]提出了擴展卡爾曼濾波，解決了一般的線性問題，但原始狀態(tài)誤差較大或非線性程度較高時，會嚴重影響濾波精度；寶志雯等[3-4]提出了基于推廣卡爾曼濾波算法的剪切型結(jié)構(gòu)模型的參數(shù)識別方法，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)剛度和阻尼的識別。周麗等[5]提出了基于自適應卡爾曼濾波的識別方法，并對剪切線性模型實現(xiàn)了剛度和阻尼的識別。

在系統(tǒng)識別方面，已經(jīng)有很多時域分析方法在相應文獻中提出，比如：最小二乘估計[6]，卡爾曼濾波[7]，序列非線性最小二乘法等[8]。Julier[9]提出了無跡卡爾曼濾波，采用Sigma點近似其均值與方差，簡化了計算，但帶來的問題是對高于3維狀態(tài)向量估計時，其精度達不到要求；王路[10]提出了自適應迭代無跡卡爾曼濾波，其實現(xiàn)了自動迭代的功能，不需要人工設置迭代，可還是不能解決高維的非線性問題，精度不夠理想；Arasaratnam等[11]提出的容積卡爾曼濾波（Cubature Kalman Filter，CKF），其核心思想是對于非線性高斯系統(tǒng)，利用數(shù)值積分理論，保證任意非線性高斯狀態(tài)的后驗均值和方差可以近似為三階多項式，但由于初始誤差較大，降低了CKF對其估計的精度；為了提高CKF運行速度，穆靜[12]提出了迭代容積卡爾曼濾波（Iterated CKF，CKF），但其不具有自動迭代的功能，需要人工設定迭代的次數(shù)。為此，本文借鑒遺忘因子的濾波算法和AIUKF的思想，把遺忘因子與自適應迭代容積卡爾曼濾波（Adaptive Iteration CKF，AICKF）相結(jié)合，這樣既可以起到遺忘因子的作用，減少歷史數(shù)據(jù)對濾波結(jié)果的影響，又可以提高濾波算法本身的準確性和處理非線性問題的能力。

1 KF算法的結(jié)構(gòu)損傷識別

1.1 離散狀態(tài)空間方程和KF算法

線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力學方程可寫成連續(xù)的狀態(tài)空間方程。如式（1）和（2）所示。

KF算法是無偏移遞歸算法，可最優(yōu)估計未知狀態(tài)向量。經(jīng)典KF算法為第k步時估計先驗狀態(tài)向量

第k步時刻的狀態(tài)向量

先驗誤差方差

狀態(tài)向量估計均方差

卡爾曼濾波增益

在經(jīng)典KF算法中，非線性動態(tài)系統(tǒng)中過程噪聲協(xié)方差矩陣Q，在實際中往往很難準確獲得，而導致濾波器發(fā)散；濾波算法本身精度不高，會降低處理問題的能力。因此本文借鑒遺忘算法因子的濾波算法與AICKF相結(jié)合，這樣既可以發(fā)揮遺忘因子的作用，減少歷史數(shù)據(jù)對濾波結(jié)果的影響避免發(fā)散，又可以提高濾波精度和處理非線性問題的能力。

2 改進后KF算法結(jié)構(gòu)損傷識別

2.1 AICKF算法

借鑒AIUKF算法的思想，在CKF基礎上加入自適應迭代，在濾波算法上CKF精度就高于UKF，在加入自適應迭代后一方面迭代再次提高了濾波的精度，另一方面自適應省去了人工去設置迭代的問題。

考慮如下離散時間非線性動態(tài)系統(tǒng)

式中，xk為系統(tǒng)狀態(tài)向量；zk為量測值。假設過程噪聲wk-1和量測噪聲vk相互獨立，是均值為零，協(xié)方差分別為Qk-1和Rk的高斯白噪聲。

容積卡爾曼濾波算法首先計算加權(quán)函數(shù)為標準正態(tài)分布密度的積分的基本容積點和對應的權(quán)值

m為系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù)；ζj為第j個容積點；基本容積點按照下列方式產(chǎn)生，記n維單位向量為e=[1,0,…,0]T，使用[1]表示對的元素進行全排列和改變元素符號產(chǎn)生的點集，稱為完整全對稱點集，[1]j表示點集中[1]的第j個點；wj為對應點的權(quán)值。

2.2 遺忘因子的計算

遺忘因子[13-14]是為了限制濾波器的長度，讓濾波值中的歷史數(shù)據(jù)占的權(quán)重變小，新數(shù)據(jù)權(quán)重變大。

2.3 遺忘因子和AICKF結(jié)合的濾波算法

該算法的不同之處在于方差預測加入遺忘因子，即

這就意味著隨著過程噪聲協(xié)方差矩陣不準確時，加入遺忘因子不會對預測協(xié)方差產(chǎn)生較大影響，遺忘因子降低了歷史數(shù)據(jù)對濾波結(jié)果的影響，增加了當前測量值在估計中的比例，提高了濾波精度[15-16]。具體算法步驟如下。

（1）初始化。初始化公式

（2）時間更新。首先，計算容積點及經(jīng)非線性狀態(tài)方程傳播的容積點

式中：Sk-1=chol（Pk-1），chol（）表示矩陣的喬列斯基分解。

然后，計算狀態(tài)和方差預測，見下式

（3）計算容積點經(jīng)量測方程的傳遞值和測量值。見下式。

（4）判斷是否迭代。計算出預測值與實際觀測值的適應度函數(shù)，體積點的傳遞值與實際觀測值的適應度函數(shù)，并根據(jù)適應度函數(shù)的比值確定采樣點與目標真實估計值的偏差，從而自適應確定是否進行迭代重采樣。具體步驟，首先是定義適應度函數(shù)，預測測量值與實際觀測值的適應度函數(shù)為

容積點傳遞值與實際觀測值的適度函數(shù)為

適應度函數(shù)比

其中：zk為實際觀測值；z^k為預測測量值；Zj，k為容積點傳遞值；Rk為觀測噪聲方差。

然后，判斷是否迭代數(shù)據(jù)。

（5）若ρ＜1，表示采樣點有效逼近真實估計，則不進行迭代；接著往下計算量測更新。首先，計算新息方差和協(xié)方差

然后，計算增益。見下式

最后，計算系統(tǒng)的狀態(tài)更新和協(xié)方差更新。見下式

（6）若ρ≥1，表示采樣點與真實估計偏差較大，則進行迭代，步驟如下。

第二，重新時間更新。

第四，重新量測更新。

設迭代終止時的迭代次數(shù)為N，則k時刻的狀態(tài)估計與協(xié)方差估計為

3 數(shù)值模擬分析

采用簡支梁為數(shù)值算例驗證所提方法的有效性和可靠性。該簡支梁共20個單元，每個單元長1 m，梁截面尺寸0.5 m×1 m，結(jié)構(gòu)的彈性模量2×107Pa，泊松比0.2，密度2 500 kg/m3。利用有限元分析軟件ABAQUS建立了相應的有限元模型。通過降低單元剛度來模擬結(jié)構(gòu)損傷狀況，簡支梁模型如圖1所示。

圖1 簡支梁模型

對各節(jié)點輸入不同的高斯白噪聲，模擬環(huán)境激勵。激勵頻率為500 Hz，激勵時長20 s。每個單元的初始剛度為103 136 N/m。首先模擬單元3處發(fā)生損傷，剛度損傷5%，損傷后剛度值為97 980 N/m?？紤]噪聲影響，以白噪聲激勵模擬隨機荷載，作用各節(jié)點，取噪聲水平5%。圖2是以上述工況為例，得到3號節(jié)點的加速度響應信號；圖3是3號單元KF剛度識別曲線；圖4是改進后KF剛度識別曲線。

圖2 3號節(jié)點的加速度響應

從圖3可看出，簡支梁模型發(fā)生損傷時，傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法對損傷狀況較為敏感，能夠有效識別其損傷。圖4表明改進后的卡爾曼濾波識別損傷結(jié)果。通過圖3和圖4的比較能夠很直觀的看出改進后的卡爾曼濾波識別值能夠快速且穩(wěn)定地收斂到真實值。表1是選取簡支梁的部分單元參數(shù)識別結(jié)果對比。可以看出改進后的卡爾曼濾波誤差值普遍降低了2%左右，說明改進后的卡爾曼濾波更能夠準確有效的識別損傷。

表1 簡支梁參數(shù)識別結(jié)果對比

圖3 3號單元KF剛度識別曲線

圖4 3號單元改進后KF剛度識別曲線

圖5是噪聲下剛度收斂時程曲線。從圖5可以看出，改進后的卡爾曼濾波相比于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波的剛度識別曲線能夠更快，更穩(wěn)定的收斂到真實值。表2可以看出改進后的卡爾曼濾波算法在5%噪聲水平時，剛度參數(shù)識別誤差為1%左右，相比于傳統(tǒng)卡爾曼濾波誤差降低了5%，說明改進后的卡爾曼濾波對于結(jié)構(gòu)損傷識別具有較強的抗噪性能。

表2 噪聲下簡支梁參數(shù)識別結(jié)果對比

圖5 噪聲下剛度收斂時程曲線

為了研究改進后的卡爾曼濾波不僅能識別單點損傷，還能識別多點損傷，假定單元2和單元4模擬損傷，模擬剛度下降10%，剛度值和為92 822 N/m，取噪聲水平為5%。

表3是多點損傷簡支梁結(jié)構(gòu)參數(shù)識別結(jié)果。從表3可以不難看出，簡支梁模型發(fā)生兩點損傷時，改進后的卡爾曼濾波識別精度相比于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波識別能力更強，它能夠有效地提取結(jié)構(gòu)的損傷信號，進而準確的識別結(jié)構(gòu)損傷狀況，說明改進后的卡爾曼濾波具有多點損傷識別的能力。

表3 多點損傷簡支梁結(jié)構(gòu)參數(shù)識別結(jié)果

4 結(jié)論

（1）新改進的算法與傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法相比較，通過數(shù)值模擬的簡支梁進行參數(shù)識別，結(jié)果表明能夠更加精確的識別結(jié)構(gòu)構(gòu)件的剛度進而診斷結(jié)構(gòu)損傷位置和程度效果。

（2）通過上述數(shù)據(jù)結(jié)果表明該方法還可以有效減少誤差，提高濾波精度。數(shù)值模擬結(jié)果表明該方法可以排除噪聲因素的干擾，識別結(jié)構(gòu)損傷發(fā)生的部位和程度，具有較好的抗噪性。