張桐松，邵雪卷，張井崗，趙志誠，陳志梅

(太原科技大學電子信息工程學院，山西 太原 030024)

0 引言

橋式吊車屬于典型的非線性欠驅(qū)動設備，被廣泛應用于工業(yè)、港口、建筑工地、露天倉庫等場合，執(zhí)行貨物的運輸。對于橋式吊車系統(tǒng)的定位防擺控制，一般采用狀態(tài)反饋的方法實現(xiàn)[1-4]。其狀態(tài)信息通常經(jīng)過傳感器直接測量得到。但在實際工作現(xiàn)場，吊車系統(tǒng)的小車速度及擺角速度等信號不容易直接測量。即使可測，也摻雜著大量的噪聲，且安裝速度傳感器也會增加硬件的成本。

為了解決橋式吊車狀態(tài)信息難以測量的問題，國內(nèi)外學者進行了一系列研究。崔建偉等[5]和鐘斌等[6]針對實際工程中擺角與擺角角速度信息難以測量的問題，利用小車位置信息設計了全維線性狀態(tài)觀測器。曾少航等[7]針對吊車吊重系統(tǒng)設計了降維觀測器，用可測的小車位移和速度信息估計出擺角與擺角角速度信息。以上文獻均基于線性化模型構建觀測器。一旦系統(tǒng)狀態(tài)遠離平衡點，所設計的觀測器便會失效。因此，根據(jù)非線性模型設計狀態(tài)觀測器更符合工程實際需要。

鐘斌等[8]利用神經(jīng)網(wǎng)絡能對任意函數(shù)逼近的原理，以吊重擺角變量作為可測輸入，設計了神經(jīng)網(wǎng)絡觀測器。杜鵬等[9]以擺角信息作為可測輸入量，針對吊車吊重擺角子系統(tǒng)，設計了非線性擴張狀態(tài)觀測器。但這兩種方法沒有同時觀測小車的位置與速度信息。為此，F(xiàn)eng等[10]和鐘斌等[11]以小車位置信息為輸入，分別設計了不同形式的擴張狀態(tài)觀測器，成功估計了吊車系統(tǒng)的狀態(tài)。

以上文獻都是橋式吊車在定繩長情況下觀測器的構建問題。在工程實際中，當小車水平運動和負載升降同時進行時，上述方法的狀態(tài)估計偏差漸近收斂時間都會增大，甚至有可能發(fā)散。為了解決這個問題，本文給出了一種橋式吊車系統(tǒng)在繩長變化時非線性擴張狀態(tài)觀測器的設計方法，用于重構橋式吊車系統(tǒng)的狀態(tài)。仿真結果證明了該觀測器的可行性和有效性。

1 模型描述

實際橋式吊車系統(tǒng)比較復雜。一般假設吊車系統(tǒng)滿足以下條件。

①鋼絲吊繩質(zhì)量相對于負載質(zhì)量可以忽略不計，吊繩的剛度足夠大。

②負載只在二維平面內(nèi)運動，且被看成一個無體積的質(zhì)點。

③小車和地面之間的摩擦力與速度成正比。

④忽略小車與吊繩連接處的摩擦力。

二維橋式吊車系統(tǒng)物理模型如圖1所示。

圖1 二維橋式吊車系統(tǒng)物理模型Fig.1 Physical model of two-dimensional overhead crane system

圖1中：M為橋吊系統(tǒng)的小車質(zhì)量；小車在驅(qū)動電機的水平驅(qū)動力fx的作用下沿X軸方向運動；fr為小車運動時所受的摩擦力；μ為摩擦系數(shù)；fd為小車所受到的外部干擾；m為負載質(zhì)量；負載在升降電機的驅(qū)動力fl的作用下沿Y軸方向運動；l為吊繩長度，負載通過吊繩與小車相連；小車在運動的過程中會造成負載擺動，擺角幅度用θ表示。

由拉格朗日方程可得含有擾動的二維變繩長橋式吊車系統(tǒng)動力學模型，為：

(1)

將q=[xlθ]T選作廣義坐標向量，則可將式(1)表示為以下矩陣形式：

(2)

標稱值矩陣為：

(3)

(4)

G0(q)=[0 -mgcosθmglsinθ]T

(5)

控制向量為：

U=[fxfl0]T

(6)

外部干擾向量為：

(7)

式(2)可進一步改寫為：

(8)

(9)

2 擴張狀態(tài)觀測器的設計

(10)

基于式(10)的非線性擴張狀態(tài)觀測器設計為：

(11)

式(11)的非線性函數(shù)定義為：

(12)

其中：

(13)

式中：E1i為估計誤差向量e1的第i個分量，E11為小車位置的估計誤差，E12為吊繩長度的估計誤差，E13為負載擺角的估計誤差，0<α<1。

假設：總擾動D(t)及其導數(shù)h(t)都是有界的。

(14)

在參數(shù)滿足一定條件的情況下，擴張狀態(tài)觀測器的輸出量將在有限時間收斂至實際狀態(tài)的鄰域內(nèi)。關于擴張狀態(tài)觀測器的收斂性證明，詳見文獻[12]中的推論2.1。

(15)

如果|E1i|≤1、|E2i|≤1、|E3i|≤1，則估計誤差可以表示為:

(16)

如果|E1i|>1、|E2i|>1、|E3i|>1，則估計誤差可以表示為:

(17)

3 仿真研究

為了驗證本文方法的可行性，在Matlab/Simulink中對所設計的非線性擴張狀態(tài)觀測器進行仿真，并與線性擴張狀態(tài)觀測器的估計效果進行比較。

橋吊模型的相關仿真參數(shù)如下：小車質(zhì)量M=6.16 kg，負載質(zhì)量m=1 kg，重力加速度g=9.81 m/s2，摩擦力系數(shù)μ=20.37。為了保證擴張狀態(tài)觀測器的漸近穩(wěn)定性，觀測器增益取L1=L2=L3=diag[3 3 1]，非線性函數(shù)的參數(shù)α1=α=0.7、α2=0.4、α3=0.1、r=70。小車驅(qū)動力fx=1 N。吊繩驅(qū)動力fl=1 N。系統(tǒng)的初始狀態(tài)設計為(0,0.4,1.7,0,0,0)。擴張狀態(tài)觀測器的初始狀態(tài)為(0,0,0,0,0,0)。系統(tǒng)內(nèi)部的參數(shù)攝動是通過增加橋吊模型參數(shù)值的10%來實現(xiàn)的。橋吊系統(tǒng)受到的慢時變外部干擾fd取值為：

(18)

圖2給出了非線性擴張狀態(tài)觀測器在慢時變擾動下，系統(tǒng)狀態(tài)的非線性估計曲線及誤差曲線。圖2中，系統(tǒng)狀態(tài)的實際值曲線用黑色實線表示，估計曲線用黑色虛線表示，誤差曲線用黑色點劃線表示。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)的非線性估計曲線及誤差曲線Fig.2 Nonlinear estimation curves and error curves of system state

為了進一步說明本文所給出的非線性擴張狀態(tài)觀測器的有效性，下面給出線性擴張狀態(tài)觀測器的仿真結果。用于觀測橋吊系統(tǒng)(8)狀態(tài)的線性擴張狀態(tài)觀測器設計為：

(19)

線性擴張觀測器(19)選取與非線性擴張觀測器(11)相同的參數(shù)值。

系統(tǒng)狀態(tài)的線性估計曲線及誤差曲線如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)的線性估計曲線及誤差曲線Fig.3 Linear estimation curves and error curves of system state

將圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)、圖2(e)與圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)、圖3(e)進行對比，可以發(fā)現(xiàn)非線性擴張狀態(tài)觀測器的線性部分與線性擴張狀態(tài)觀測器的仿真結果基本相同。從圖2(d)和圖3(d)的比較中可以看出，在繩長變化速度上，非線性擴張狀態(tài)觀測器的估計值超調(diào)量明顯小于線性擴張狀態(tài)觀測器的。對于擺角角速度的估計，圖2(f)的估計峰值不超過19°/s，而圖3(f)的角速度估計峰值接近87°/s，且可從其誤差曲線觀察到輕微振蕩，說明非線性擴張狀態(tài)觀測器的估計效果優(yōu)于線性擴張狀態(tài)觀測器。盡管線性擴張狀態(tài)觀測器的收斂時間短，即快速性優(yōu)于非線性擴張觀測器，但它的估計峰值過高，使用到控制器中會產(chǎn)生更為不利的影響。綜合來說，所設計的非線性擴張狀態(tài)觀測器更能滿足實際需求。

4 結論

本文利用小車位置和負載擺角等測量信息設計非線性擴張狀態(tài)觀測器，合理選取觀測器參數(shù)，使觀測器能以有限時間和微小誤差對橋吊系統(tǒng)的狀態(tài)進行實時估計，從而解決了吊繩繩長變化時狀態(tài)收斂時間長以及擾動估計偏差大的問題。在相同條件下，非線性擴張狀態(tài)觀測器的收斂過程更為平緩，沒有出現(xiàn)高頻的振蕩，估計性能和抗擾性能也比線性擴張狀態(tài)觀測器更為實用。仿真結果表明，橋吊系統(tǒng)狀態(tài)在0.3 s內(nèi)可得到準確估計值，觀測器設計合理且有效。