郅倫海, 詹娟娟, 李阿龍

(合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009)

超高層建筑結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別是國內(nèi)外結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領域的熱點研究課題之一,其核心思想是:基于結(jié)構(gòu)振動響應信號,準確識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)(固有頻率、阻尼比等),進而評估結(jié)構(gòu)安全性、穩(wěn)定性[1]。在臺風、地震等自然環(huán)境激勵下,超高層建筑結(jié)構(gòu)的振動響應信號具有非線性、非平穩(wěn)、動態(tài)響應小且噪聲水平高的特性,基于這種數(shù)據(jù)難以準確地識別結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比[2]。

國內(nèi)外研究者提出了各種基于自然環(huán)境激勵下的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法,如小波變換(wavelet transform,WT)[3]和希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang transform,HHT)[4]等。WT理論基礎完善,在建筑結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別領域應用廣泛,但其僅適用于平穩(wěn)信號,對于小波基函數(shù)及其參數(shù)的選擇復雜,且易受噪聲信號影響。HHT主要分為經(jīng)驗模式分解(empirical mode decomposition,EMD)和希爾伯特變換(Hilbert transform,HT)2個部分,其核心是EMD。EMD能夠自適應地分解非線性、非平穩(wěn)信號,但缺乏完備的理論基礎,在信號分解時易出現(xiàn)端點效應明顯、模態(tài)混疊、虛假模態(tài)、分解不正交等問題。針對這些問題,文獻[5]提出經(jīng)驗小波變換(empirical wavelet transform,EWT),該方法綜合了WT和EMD的優(yōu)點,能夠自適應地分析噪聲信號的傅里葉頻譜,自適應地進行分割,以此構(gòu)建小波濾波器組,將多分量原始信號分解為若干調(diào)頻調(diào)幅分量。然而,在信噪比較低的情況下,傅里葉頻譜極易出現(xiàn)頻率泄露、對噪聲敏感和虛假極值等問題,導致EWT中頻譜的劃分出現(xiàn)誤差,無法準確地分離出有物理意義的各階模態(tài)。

針對上述情況,文獻[6]提出了一種改進的EWT,其核心在于用基于Burg算法的自回歸(autoregressive,AR)模型功率譜[7]代替傅里葉頻譜分割信號頻帶,以改善EWT中粗糙的頻譜分割問題；采用該方法處理低信噪比和不穩(wěn)定信號時,魯棒性好、自適應性強、可更準確地估計信號頻帶邊界,有效避免了過度分解和混疊現(xiàn)象,而且擬合結(jié)果十分優(yōu)越,能快速精確地識別出結(jié)構(gòu)的低階頻率和阻尼比。本文將該方法用于超高層建筑結(jié)構(gòu)領域,再結(jié)合自然激勵技術(shù)(natural excitation technique,NExT)[8-9]及歸一化的希爾伯特變換(normalized Hilbert transform, NHT)[10-11],發(fā)展一種環(huán)境風激勵下基于改進EWT的超高層建筑結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法;通過對4層框架結(jié)構(gòu)數(shù)值模型的模態(tài)參數(shù)識別驗證了其正確性和有效性,通過將其應用于臺風下臺北101大樓的模態(tài)參數(shù)識別,研究了其適用性。

1 理論基礎

1.1 EWT

EWT是一種能夠有效分析噪聲非穩(wěn)態(tài)和非線性信號的自適應時頻分析方法[5],可將原始信號f(t)分解為A+1個本征模函數(shù)fk(t)之和,即

(1)

分解過程主要有2步:① 對傅里葉譜進行自適應分割,以選擇合適的正交小波濾波器組;② 濾波器組構(gòu)建及信號重構(gòu)。信號f(t)經(jīng)過EWT分解得到的單分量調(diào)頻調(diào)幅函數(shù)fi為:

(2)

(3)

1.2 基于Burg算法的功率譜估計

為改進傳統(tǒng)EWT對于低信噪比信號頻帶邊界劃分不準確的問題,根據(jù)文獻[6],采用基于Burg算法的AR模型功率譜代替傅里葉譜劃分頻譜邊界。功率譜密度(power spectral density,PSD)反映了單位頻帶內(nèi)信號功率隨頻率的變化情況,信號功率譜的計算公式為:

(4)

其中:rx(m)為信號x(n)的自相關(guān)函數(shù);N為信號x(n)的長度。采樣數(shù)量為2M+1。

AR模型反映的是功率譜峰值,工程應用方便[12]。假定信號序列x(n)是由均值為0、方差為σ2的白噪聲u(n)激勵的線性系統(tǒng)輸出,AR參數(shù)模型的差分方程為:

n=0,1,2,…

(5)

其中:ak為AR系數(shù);p為預設的模型階數(shù)。AR模型的標準方程式為:

(6)

x(n)的AR功率譜P(ej ω)公式為:

(7)

1.3 NExT

采用文獻[8]提出的NExT,可以求出單分量信號的自由衰減響應。對于一個自由度為D的線性系統(tǒng),k、i為該系統(tǒng)的2個測點,測點i為參考點。當系統(tǒng)在k點受到脈沖激勵fk(t)時,i點產(chǎn)生的脈沖響應為:

(8)

其中:φir為測點i的第r階模態(tài)振型;akr為常數(shù)項,其數(shù)值只與參考點i和模態(tài)階數(shù)r有關(guān);eλi(t-p)fk(p)包含了結(jié)構(gòu)的響應信息,即模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比。

當結(jié)構(gòu)在k點受到單位脈沖激勵時,i點的脈沖響應函數(shù)hik(t)為:

(9)

當結(jié)構(gòu)在k點受近似白噪聲的激勵時,i、j點的互相關(guān)函數(shù)為:

(10)

其中,bjr為僅與參考點j的位置和模態(tài)階數(shù)r、s有關(guān)的常數(shù)。

對比(9)式、(10)式可以發(fā)現(xiàn),線性結(jié)構(gòu)任意兩點的響應互相關(guān)函數(shù)與脈沖響應函數(shù)都是一系列復指數(shù)函數(shù)的疊加,有同樣的數(shù)學形式。因此,在時域進行模態(tài)參數(shù)識別的過程中,使用響應互相關(guān)函數(shù)代替脈沖響應函數(shù)是可行的。

1.4 NHT

為改進HT受Bedrosian定理約束的問題,文獻[10]提出NHT。NHT首先對通過EMD分解得到的固有模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function,IMF)進行歸一化處理,再對歸一化后的IMF作HT,便可不再受Bedrosian定理的限制。處理流程[13-14]如下:

(1) 對響應信號進行EMD分解得到一系列IMF分量D(i),求每個D(i)的絕對值|D(i)|,尋找D(i)中的所有局部極大值,使用三次樣條曲線對所有局部極大值點進行擬合,得到經(jīng)驗包絡信號E1(i)。

(2) 用經(jīng)驗包絡信號E1(i)對IMF分量進行歸一化處理。y1(i)=D(i)/E1(i),若y1(i)≤1,結(jié)束歸一化處理;否則,重復步驟(1),直至滿足y1(i)≤1。由上述歸一化過程,可將IMF分量D(i)表示為調(diào)幅與調(diào)頻分量的乘積。

D(i)=Ae(i)yn(i)

(11)

其中,yn(i)為調(diào)頻分量;Ae(i)為調(diào)幅分量,該分量為瞬時幅值,即

Ae(i)=E1(i)E2(i)…En(i)

(12)

(3) 對yn(i)作HT求得瞬時相位,即

θ(t)=arctan(y(t)/x(t))

(13)

通過對瞬時相位函數(shù)求導可得到瞬時頻率,即

(14)

1.5 曲線擬合求出阻尼比

對單分量響應信號采用NExT技術(shù)后,得到自由衰減信號的包絡線,利用曲線擬合方法把衰減曲線擬合到包絡線上就可以估計出單模態(tài)信號的阻尼比,公式為:

f(t)=Aeb t,b=-2πωξ

(15)

其中:A為擬合包絡的幅值;b為指數(shù)衰減函數(shù)的功率值。則阻尼比ξ為:

ξ=-b/(2πω)

(16)

1.6 模態(tài)參數(shù)的識別過程

對待處理的多分量信號,首先用基于Burg算法的AR功率譜分割信號頻帶,以此構(gòu)建小波濾波器組,從而對響應作EWT得到一系列IMF,再使用NExT得到各個IMF的自由衰減響應,最后使用NHT得到瞬時幅值和瞬時頻率,并通過曲線擬合的方式擬合該模態(tài)的阻尼比和自振頻率。結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法的流程如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法流程

2 數(shù)值模擬驗證

以一個4層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)模型的數(shù)值算例,驗證上述模態(tài)參數(shù)識別方法的有效性和準確性,4層框架結(jié)構(gòu)的模型如圖2所示。該結(jié)構(gòu)模型的相關(guān)物理參數(shù)如下:每層樓的質(zhì)量為m1=m2=m3=m4=200 kg,每層樓剛度為k1=k2=k3=k4=1 000 kN/m,每層樓阻尼為c1=c2=c3=c4=1 kN·s/m。在結(jié)構(gòu)頂層施加一個非平穩(wěn)f(t)激勵持續(xù)作用1 000 s,f(t)表達式為:

(17)

采用輪次檢驗法檢驗該激勵的非平穩(wěn)性,結(jié)合Newmark-β法求得該結(jié)構(gòu)的加速度響應,如圖3所示,其中采樣頻率為20 Hz,響應信號f(x)的傅里葉頻譜如圖4所示。

圖2 4層框架結(jié)構(gòu)模型 圖3 數(shù)值算例加速度響應 圖4 數(shù)值算例響應信號的傅里葉頻譜

信號頻帶劃分邊界如圖5所示。從圖5a可以看出,用傳統(tǒng)的EWT方法劃分頻帶邊界,僅第1階信號可被明顯劃分,第2階、第3階的主峰和旁瓣被分割在不同的頻帶中,第4階和第3階信號混疊,沒有被單獨分割出來,無法準確地劃分頻譜區(qū)間。從圖5b可以看出,使用改進EWT方法劃分信號頻帶,結(jié)構(gòu)的每階模態(tài)都可被劃分到不同的頻帶中,不存在過度分解和模態(tài)混疊現(xiàn)象,能更加準確地提取出結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)響應。同時對比圖5a和圖5b可以看出,信號的AR功率譜比傅里葉譜曲線更加光滑,因此改進EWT方法的抗噪性更加優(yōu)越。

基于圖5b的頻帶劃分,并結(jié)合EWT方法對上述框架結(jié)構(gòu)加速度響應信號進行模態(tài)參數(shù)識別?？蚣芙Y(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)擬合結(jié)果如圖6所示，第2階至第4階模態(tài)擬合結(jié)果如圖7所示。

圖5 數(shù)值算例信號頻帶劃分邊界 圖6 數(shù)值算例第1階模態(tài)擬合結(jié)果

圖7 數(shù)值算例第2階至第4階模態(tài)擬合結(jié)果

從圖6、圖7可以看出,包絡線十分平滑,曲線擬合效果優(yōu)越,可提高識別結(jié)果的可信度。模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果與結(jié)構(gòu)動力學分析計算得到的理論值對比見表1所列。由表1可知,識別結(jié)果與理論值基本一致;對于自振頻率,識別結(jié)果精確度良好,每階誤差都在1%以內(nèi),尤其是第2階頻率計算值與理論值十分接近;對于阻尼比,最大誤差不超過14%,各階模態(tài)識別值的誤差分別為7.14%、3.57%、4.11%、13.04%。以上結(jié)果表明,本文提出的模態(tài)參數(shù)識別方法具有較好的準確性和適用性。

表1 模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果與理論值對比

3 臺北101大樓的模態(tài)參數(shù)識別

3.1 臺北101大樓及相關(guān)數(shù)據(jù)

臺北101大樓有一套健康監(jiān)測系統(tǒng),該監(jiān)測系統(tǒng)包括強震儀和數(shù)據(jù)采集設備2個部分,數(shù)據(jù)采集設備的采樣頻率為200 Hz,可以監(jiān)測主體結(jié)構(gòu)的加速度響應。強震儀布置立面圖如圖8所示[2]。

圖8 臺北101大樓健康監(jiān)測系統(tǒng)強震儀布置立面圖

臺北101大樓位于中國臺灣省臺北市信義區(qū),是臺北的地標性建筑,其主塔樓為101 層的辦公樓,地面以上總高度為508 m,其中包括448 m的結(jié)構(gòu)總高度和60 m高的頂部尖塔。主塔樓結(jié)構(gòu)的平面布置為正方形,各層邊長不等,以45.9 m為主,結(jié)構(gòu)高寬比接近于10,超過現(xiàn)行結(jié)構(gòu)規(guī)范規(guī)定的標準,屬于對風作用敏感的結(jié)構(gòu)。

本文基于臺北101大樓健康監(jiān)測系統(tǒng)2005年對臺風“海棠”影響下的風致響應監(jiān)測結(jié)果,利用其頂部(第101層,422.6 m)處28X方向和27Y方向的加速度響應數(shù)據(jù)對本文模態(tài)參數(shù)識別方法的準確性和適用性進行驗證。

3.2 模態(tài)參數(shù)的識別結(jié)果

臺風“海棠”作用下臺北101大樓X、Y方向的加速度響應時程及X方向頻譜如圖9所示,Y方向加速度響應頻譜如圖10所示。

圖9 X、Y方向加速度響應時程及X方向頻譜

圖10 Y方向加速度響應頻譜 圖11 傅里葉頻譜及頻帶邊界

X、Y方向加速度時程響應的傅里葉頻譜及頻帶邊界如圖11所示,X和Y方向加速度時程響應的AR功率譜及頻帶邊界如圖12所示。從圖11可以看出,傳統(tǒng)EWT頻帶邊界劃分方法存在過度分割問題,其中X和Y方向的第1階信號被多次分割,主峰和旁瓣被分割在幾個不同頻帶。從圖12可以看出,改進EWT中的邊界劃分方法避免了上述問題的產(chǎn)生,可以很好地劃分出各階信號頻帶,以便于后續(xù)準確地將信號分解為各個單分量信號,即每階模態(tài)響應。限于篇幅,本文給出Y方向加速度響應采用EWT的分解結(jié)果及相應頻譜圖,如圖13所示。從圖13可以看出,傳統(tǒng)EWT方法存在過度分解現(xiàn)象,其中第1階模態(tài)被過度分解為中心頻率相似的2個單分量信號。Y方向響應采用改進EWT的分解結(jié)果及相應頻譜如圖14所示。從圖14可以看出,加速度響應被明顯地分解為幾個單分量信號,且各個單分量信號的中心頻率、幅值與實際情況吻合。因此,改進EWT方法可更準確地估計信號頻帶邊界,且自適應更強,能有效避免過度分解現(xiàn)象。

圖12 AR功率譜及頻帶邊界

圖13 Y方向響應采用EWT的分解結(jié)果及相應頻譜

圖14 Y方向響應采用改進EWT的分解結(jié)果及相應頻譜

對于改進EWT方法分解得到的單分量信號,通過NExT、NHT和曲線擬合得到自振頻率和阻尼比。Y方向3階模態(tài)擬合結(jié)果如圖15所示。從圖15可以看出,各階包絡線十分平滑,包絡線符合指數(shù)自由衰減曲線。2種方法識別阻尼比和自振頻率對比見表2所列。

圖15 Y方向各階模態(tài)擬合結(jié)果

由表2可知:對于自振頻率，2種方法識別出的X、Y方向前2階頻率十分接近;對于阻尼比,2種方法識別出的X、Y方向前2階阻尼比都在合理范圍,但傳統(tǒng)EWT方法無法識別出第3階頻率和阻尼比。因此，本文基于改進EWT的模態(tài)參數(shù)識別方法可有效避免過度分解現(xiàn)象,能快速精確地識別出結(jié)構(gòu)的高階頻率和阻尼比。

表2 2種方法識別阻尼比和自振頻率對比

為一進步了解臺北101大樓的模態(tài)振型,本文利用第6層測點的加速度響應數(shù)據(jù),以地下第5層作為參考測點,通過NHT得到各個測點之間的振幅比及相位差特性,確定結(jié)構(gòu)的平動振型[15],平動振型的大小由結(jié)構(gòu)上任意2個測點瞬時幅值的比值α決定，其方向由相位差決定。分別用本文方法和有限元模型計算[16]得到結(jié)構(gòu)X、Y方向振型如圖16所示。從圖16可以看出:通過本文方法獲取的第1階振型整體平動,第2階振型上、下相對振動,第3階振型表現(xiàn)為頂部和底部同向平動,結(jié)構(gòu)中部反向平動。圖16結(jié)果表明,本文方法識別的前2階振型和有限元模型結(jié)果吻合較好。

圖16 X、Y方向振型本文方法和有限元模型計算結(jié)果對比

此外,本文通過模態(tài)置信準則(modal assurance criterion,MAC)來評估實測模態(tài)向量和理論模態(tài)向量的相關(guān)程度[17],其公式為:

(18)

4 結(jié) 論

本文基于改進EWT、NExT及NHT發(fā)展一種超高層建筑結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法,采用該方法對4層框架結(jié)構(gòu)模型和臺風“海棠” 激勵下臺北101大樓的模態(tài)參數(shù)進行識別,結(jié)果驗證了該方法的正確性、有效性和適用性。主要結(jié)論如下:

(1) 在處理低信噪比和不穩(wěn)定信號時,傳統(tǒng)EWT方法中的傅里葉頻譜分割效果欠佳;本文將改進EWT引入超高層建筑結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別領域,該方法用基于Burg算法的AR功率譜替代傅里葉頻譜劃分頻譜區(qū)間,可提高頻率邊界劃分準確性,有效避免過度分解和頻率混疊現(xiàn)象。

(2) 使用4層框架結(jié)構(gòu)模型對本文模態(tài)參數(shù)識別方法進行驗證,結(jié)果表明，該方法可準確識別結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼比,與理論值接近,驗證了該方法的準確性和有效性。

(3) 對2005年臺風“海棠”影響下臺北101大樓的結(jié)構(gòu)響應進行模態(tài)參數(shù)識別分析,識別出的頻率、阻尼比都在合理范圍，模態(tài)振型與有限元識別結(jié)果吻合較好,驗證了本文方法適用于自然環(huán)境激勵下的非線性非平穩(wěn)信號,抗噪性好。