王 鵬，左 磊，朱 旭

(長(zhǎng)安大學(xué) 電子與控制工程學(xué)院,西安 710064)

0 引言

近幾年來(lái)，車(chē)輛隊(duì)列控制由于在改善交通環(huán)境方面的突出表現(xiàn)越來(lái)越受?chē)?guó)內(nèi)外學(xué)者的青睞[1-4]。研究表明，車(chē)輛以隊(duì)列形式在道路上行駛，可有效提高道路通行效率、車(chē)輛燃油經(jīng)濟(jì)性和行駛安全性[5-6]。

現(xiàn)有車(chē)輛隊(duì)列控制的研究，大部分是在車(chē)輛傳感器能夠準(zhǔn)確獲得其他車(chē)輛信息的前提下展開(kāi)的[7]。而在實(shí)際中，傳感器大多會(huì)受到噪聲的干擾，存在一定的測(cè)量誤差，而這勢(shì)必會(huì)對(duì)車(chē)輛隊(duì)列的穩(wěn)定行駛造成嚴(yán)重影響[8-9]。為了解決這一問(wèn)題，眾多學(xué)者紛紛對(duì)其展開(kāi)了研究。文獻(xiàn)[10-11]采用觀測(cè)器對(duì)車(chē)輛狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，避免了傳感器測(cè)量誤差對(duì)車(chē)輛行駛的影響；文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了一種基于噪聲控制信號(hào)的分布式診斷算法，以確保車(chē)輛隊(duì)列行駛不受傳感器測(cè)量誤差的影響；文獻(xiàn)[13-15]利用卡爾曼濾波器對(duì)傳感器測(cè)量誤差進(jìn)行了濾波處理；文獻(xiàn)[16]利用粒子濾波器來(lái)消除傳感器測(cè)量誤差。文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)了一種切換控制策略在保證車(chē)輛隊(duì)列穩(wěn)定行駛的同時(shí)解決了傳感器測(cè)量誤差問(wèn)題。上述文獻(xiàn)的研究均以車(chē)輛的線性模型作為研究對(duì)象。然而實(shí)際中車(chē)輛模型大多為非線性，在線性化描述的車(chē)輛模型中，難免會(huì)出現(xiàn)更多的不確定性和模型精準(zhǔn)度降低等問(wèn)題。另外，在處理傳感器測(cè)量誤差時(shí)，對(duì)測(cè)量誤差的設(shè)定也過(guò)于理想化，導(dǎo)致所設(shè)計(jì)控制方法的實(shí)際應(yīng)用效果較差。

對(duì)于車(chē)輛隊(duì)列而言，若既能加強(qiáng)車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性，又同時(shí)能夠?qū)④?chē)輛跟蹤誤差始終約束在預(yù)設(shè)范圍內(nèi)，則可大幅度提升車(chē)輛隊(duì)列的控制效果。預(yù)設(shè)性能控制(prescribed performance control, PPC)是一種約束系統(tǒng)跟蹤誤差的有力工具，最早由希臘學(xué)者Bechlioulis等[18]提出，是指在跟蹤誤差收斂到一個(gè)預(yù)先設(shè)定的任意小區(qū)域的同時(shí)，保證收斂速度及超調(diào)量滿足預(yù)先設(shè)定的條件[19]。PPC與其他控制方法相結(jié)合可進(jìn)一步提升車(chē)輛隊(duì)列的行駛性能[20-21]。目前基于PPC理論的車(chē)隊(duì)控制方法可以對(duì)跟蹤誤差進(jìn)行全過(guò)程約束，但在保證車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性方面還存在進(jìn)一步改善的空間。

鑒于此，本文將以非線性車(chē)輛隊(duì)列為研究對(duì)象，令綜合考慮有界傳感器測(cè)量誤差與有向通信拓?fù)?，利用滑模控制理論設(shè)計(jì)一種新型的車(chē)輛隊(duì)列控制算法，保證車(chē)輛隊(duì)列行駛穩(wěn)定性不受傳感器測(cè)量誤差的影響。并通過(guò)預(yù)設(shè)性能控制理論，進(jìn)一步約束車(chē)輛隊(duì)列跟蹤誤差，以確保車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性。相對(duì)于其他車(chē)輛隊(duì)列控制文獻(xiàn)，本文解決了僅滿足有界測(cè)量誤差與有向通信拓?fù)湎碌能?chē)輛隊(duì)列控制問(wèn)題，彌補(bǔ)了現(xiàn)有文獻(xiàn)針對(duì)不服從任何已知分布的傳感器測(cè)量誤差而無(wú)有效處理方法的不足，打破了在有向通信模式下無(wú)法保證車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性的限制，且車(chē)輛隊(duì)列的動(dòng)力學(xué)模型為非線性，有效地提高了控制算法的應(yīng)用性與適用性。

1 問(wèn)題描述

考慮N輛車(chē)在道路上以隊(duì)列形式朝同一方向行駛。車(chē)間通信方式為有向通信，即每輛車(chē)所搭載的傳感器只能探測(cè)到前車(chē)的信息。具體的通信拓?fù)淙鐖D1所示。

圖1 前車(chē)跟隨式通信拓?fù)?/p>

車(chē)輛的非線性動(dòng)力學(xué)模型為：

(1)

式中，pi(t),vi(t)分別車(chē)輛的位置和速度，ui(t)為車(chē)輛的控制輸入。fi(t)為非線性不確定項(xiàng)，具體表示為:

其中:mi,Ai,cdi分別為第i輛車(chē)的質(zhì)量、橫截面面積、拽力系數(shù)；Ω為車(chē)輪負(fù)荷，k為輪胎附著率；a,b為滾動(dòng)阻力系數(shù)；σ為空氣質(zhì)量密度。

由于傳感器測(cè)量誤差的存在，每輛車(chē)所搭載的傳感器并不能獲得準(zhǔn)確的車(chē)輛位置信息，所得的車(chē)間距信息也是不準(zhǔn)確的[22-23]。因此第i和第j輛車(chē)的車(chē)間距應(yīng)該表示為：

dij(t)=pj(t)-pi(t)-(i-j)L+Δij(t)

(2)

其中:L表示車(chē)身長(zhǎng)度，Δij(t)表示傳感器位置測(cè)量誤差，滿足|Δij(t)|≤Δi,max，Δi,max為正常數(shù)。

基于上述分析，定義存在傳感器測(cè)量誤差的車(chē)間距誤差為：

(4)

將式(2)代入式(4)可得：

(5)

其中:ei(t)為實(shí)際車(chē)間距誤差，具體表示為：

ei(t)=pj(t)-pi(t)-(i-j)(dij+L)

(6)

經(jīng)過(guò)上述分析，本文將設(shè)計(jì)一種滑?？刂扑惴ㄒ詫?shí)現(xiàn)如下控制目標(biāo)：

1)傳感器測(cè)量誤差Δij(t)被有效消除，車(chē)輛隊(duì)列行駛穩(wěn)定性不受其影響。

2)車(chē)輛之間保持安全距離，并能穩(wěn)定地行駛。

3)車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性得以保證。

為了便于后續(xù)的分析與論證，現(xiàn)給出以下兩個(gè)引理。其中，引理1用于車(chē)輛模型中非線性不確定項(xiàng)的估計(jì)，引理2用于車(chē)輛內(nèi)部穩(wěn)定性的證明。

引理1[24]：對(duì)于任意非線性函數(shù)f，可用如下RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行逼近：

f(x)=W*TH(x)

式中，x為網(wǎng)絡(luò)的輸入信號(hào)；H=[h,1]T，其中h為徑向基函數(shù)；W*=[w*,ε]T，其中w*為理想神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，ε為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差，滿足|ε|≤εmax，εmax為常數(shù)。

非線性函數(shù)f的估計(jì)值可表示為：

2 預(yù)設(shè)性能控制

考慮到車(chē)間有向通信，即每輛車(chē)只能接收到前車(chē)的信息,車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性因此難以得到維持。為了進(jìn)一步提高車(chē)輛隊(duì)列的穩(wěn)定性，利用PPC理論在約束車(chē)輛跟蹤誤差的同時(shí)，可以保證車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性。

首先，設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)性能函數(shù)：

ρi(t)=(ρ0-ρ∞)exp(-φit)+ρ∞

(7)

跟蹤誤差ei(t)的約束范圍可表述為：

(8)

其中:參數(shù)ξ滿足0<ξ≤1。

結(jié)合式(6)定義重構(gòu)誤差：

(9)

(10)

式中，ei(0)為跟蹤誤差初值，滿足|ei(0)|<ρi(0)。函數(shù)ψi(·)有界，滿足：

基于式(10)和式(11)可知：

(11)

為了提高車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性，對(duì)預(yù)設(shè)性能函數(shù)ρi(t)中的衰減系數(shù)φi的取值進(jìn)行進(jìn)一步的分析。衰減系數(shù)φi的大小決定著預(yù)設(shè)性能函數(shù)ρi(t)約束車(chē)輛跟蹤誤差ei(t)的強(qiáng)弱，即φi越大，對(duì)車(chē)輛跟蹤誤差的抑制能力越強(qiáng)。因此，令每輛車(chē)的衰減系數(shù)滿足φi≤φi+1，可防止誤差不擴(kuò)散，車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性因此可得到保證。

3 基于滑模的車(chē)輛隊(duì)列控制器

為了保證車(chē)輛隊(duì)列行駛穩(wěn)定性不受傳感器測(cè)量誤差的影響，且車(chē)隊(duì)能夠按照期望軌跡安全行駛，設(shè)計(jì)一種滑模的車(chē)輛隊(duì)列控制器，并對(duì)車(chē)輛隊(duì)列的穩(wěn)定性進(jìn)行證明。

(12)

其中:c>0。

結(jié)合式(1)、(7)、(9)，對(duì)式(12)進(jìn)行求導(dǎo)，并經(jīng)整理可得：

(13)

其中：

ωi(t)=Ri1[cni1(t)-ni2(t)]+

式(13)中的ωi(t)為由傳感器測(cè)量誤差造成的車(chē)輛系統(tǒng)內(nèi)部干擾項(xiàng)，由于Δi,i-1(t),ρi(t)有界，因此ωi(t)有界，滿足ωi(t)≤|ωmax|,ωmax≥0。為了消除ωi(t)對(duì)車(chē)輛隊(duì)列穩(wěn)定性的影響，設(shè)計(jì)車(chē)輛控制器：

(14)

其中:K,η,λ為正常數(shù)。

值得注意的是，在滑?？刂浦?，一般采用趨近律的方式使系統(tǒng)能夠按照預(yù)定的滑動(dòng)模態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng)。車(chē)輛控制器(14)中采用的趨近律為指數(shù)趨近律-Ksi(t)-ηsi(t)/(|si(t)|+λ)，但傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律為-Ksi(t)-ηsgn(si(t))，其中sgn(si(t))為符號(hào)函數(shù)。這里將符號(hào)函數(shù)sgn(si(t))連續(xù)化為si(t)/(|si(t)|+λ)，可避免符號(hào)函數(shù)sgn(si(t))給車(chē)輛系統(tǒng)帶來(lái)的抖振，從而可以減弱甚至消除由抖振給車(chē)輛執(zhí)行器帶來(lái)的損壞。

對(duì)于車(chē)輛系統(tǒng)中的非線性不確定項(xiàng)fi(t)，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逼近，以提高車(chē)輛的控制精度。根據(jù)引理1，第i輛車(chē)非線性不確定項(xiàng)的估計(jì)誤差可表示為：

(15)

根據(jù)式(15)，可確定用來(lái)逼近車(chē)輛模型中非線性不確定項(xiàng)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)自適應(yīng)律：

(16)

其中:γ>0。

為了證明所設(shè)計(jì)的控制算法的有效性，給出如下定理。

定理1:考慮由若干車(chē)輛組成的隊(duì)列，其動(dòng)力學(xué)模型可由式(1)所描述。在車(chē)間有向通信拓?fù)涞那疤嵯?，?chē)輛跟蹤誤差可由式(5)表示。在此基礎(chǔ)上，利用式(14)中的控制律和式(16)中的參數(shù)自適應(yīng)律，在滿足η≥ωi(t)[sgn(si(t))+λ/si(t)]的條件下可消除傳感器測(cè)量誤差對(duì)車(chē)輛隊(duì)列行駛穩(wěn)定性的影響，并使車(chē)輛隊(duì)列滿足：

(17)

證明：考慮如下Lyapunov函數(shù)：

(18)

對(duì)式(18)進(jìn)行求導(dǎo)：

(19)

將式(14)代入式(19)，并結(jié)合式(7)、(15)、(16)可知：

ωi(t)si(t)-ηsi2(t)/(|si(t)| +λ)} =

ηsi2(t)/(|si(t)| +λ)}

特別地，對(duì)于由傳感器測(cè)量誤差Δi,i-1(t)造成的車(chē)輛系統(tǒng)內(nèi)部干擾項(xiàng)ωi(t)，可通過(guò)調(diào)節(jié)控制器(15)中的參數(shù)η消除。因此，上式中,

ωi(t)si(t)-ωi(t)[sgn(si(t))+

ωi(t)si(t)-ωi(t)si(t)=0

(22)

由Young’s不等式可知：

因此，式(22)可化簡(jiǎn)為：

由于車(chē)間的通信方式為有向通信，即每輛車(chē)只能接收到前車(chē)信息，而后車(chē)信息無(wú)法獲得，因此不能通過(guò)構(gòu)建耦合滑模面的方式保證車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性。本文通過(guò)設(shè)計(jì)不同衰減速率φi來(lái)保證車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性。具體的控制方法如定理2所示。

定理2:若車(chē)輛隊(duì)列里的所有車(chē)間距初值滿足d1,2(0)≥d2,3(0)≥…dN-1,N(0)，且每輛車(chē)對(duì)應(yīng)的衰減速率φi滿足φ1≤φ2≤…φN，則|e1|≥|e2|≥…|eN|，車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性因此得以保證。

證明:當(dāng)d1,2(0)≥d2,3(0)≥…dN-1,N(0)時(shí)，則跟蹤誤差初值滿足e1(0)≥e2(0)≥…eN(0)。在控制器的作用下，車(chē)輛跟蹤誤差ei(t)可以此趨勢(shì)進(jìn)行收斂。當(dāng)φ1≤φ2≤…φN時(shí)，預(yù)設(shè)性能函數(shù)滿足ρ1(t)≥ρ2(t)≥…ρN(t)。由式(9)可知，沿著車(chē)隊(duì)越靠后，預(yù)設(shè)性能函數(shù)ρi(t)對(duì)第i輛車(chē)的跟蹤誤差ei(t)的抑制能力越強(qiáng)，ei(t)的變化范圍也因此變得越小，可在一定條件下滿足|e1|≥|e2|≥…|eN|。因此，車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性得以保證。

將PPC與積分滑模相結(jié)合所設(shè)計(jì)的控制器，可大幅提高車(chē)輛隊(duì)列的行駛性能，車(chē)輛隊(duì)列的穩(wěn)定性和安全性也因此得到了極大的提升。

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證本文所提出的控制算法的有效性和可行性，對(duì)由1輛領(lǐng)航車(chē)和5輛跟隨車(chē)組成的車(chē)輛隊(duì)列進(jìn)行仿真?？刂破鲄?shù)如表1所示，車(chē)輛參數(shù)Ⅰ和車(chē)輛參數(shù)Ⅱ分別如表2和表3所示。

表1 控制器參數(shù)

表2 車(chē)輛參數(shù)Ⅰ

表3 車(chē)輛參數(shù)Ⅱ

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的徑向基函數(shù)取高斯基函數(shù)，其具體形式如下：

其中:m為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)；ck,i為中心向量；bk,i為基寬參數(shù)。

第i輛車(chē)對(duì)應(yīng)的衰減速率φi依次為：0.3,0.35,0.4,0.45,0.5。

所有跟隨車(chē)的初始位置和初始速度為：

領(lǐng)航車(chē)初始位置為：p0(0)=41.5 m。領(lǐng)航車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡為：

傳感器測(cè)量誤差Δij(t)可具體表示為：

Δij(t)=[1+3sin(0.001ωit+10(j-i)θi)]Δi,max/4

其中:ωi,θi都為正常數(shù)。

傳感器相關(guān)參數(shù)：第i輛車(chē)對(duì)應(yīng)的ωi依次為：

1.5,12,8,0.5,2.1；θi依次為：π/6,π/3,π/2,π/4,π/5；Δi,max依次為：0.32,0.24, 0.45,0.18,0.36。

值得注意的是，傳感器測(cè)量誤差Δij(t)中的Δi,max代表誤差的上下界，ωi代表誤差變化的頻率。兩者值越大，誤差波動(dòng)范圍越大，變化頻率越高，則測(cè)量誤差對(duì)車(chē)輛隊(duì)列行駛穩(wěn)定性的影響就越大。

仿真結(jié)果如圖2～8所示。其中，圖2為傳感器位置測(cè)量誤差；圖3為傳感器速度測(cè)量誤差；由圖2和圖3可知，傳感器所測(cè)量的位置誤差和速度誤差始終未收斂，且伴隨著高頻的振蕩，這勢(shì)必對(duì)車(chē)輛隊(duì)列的穩(wěn)定性造成較大的影響。

圖2 傳感器位置測(cè)量誤差

圖3 傳感器速度測(cè)量誤差

圖4～7分別為車(chē)輛位置、車(chē)輛速度、車(chē)輛位置誤差和車(chē)輛速度誤差。由仿真結(jié)果可知，即使在圖2和圖3那樣的采樣誤差下，本文所設(shè)計(jì)的控制器依然能夠使車(chē)輛隊(duì)列的實(shí)際位置誤差和速度誤差在短時(shí)間內(nèi)收斂(如圖6和圖7所示)，車(chē)輛狀態(tài)最終趨于一致(如圖5所示)，車(chē)輛隊(duì)列的行駛穩(wěn)定性因而得到保證。另外，在PPC的作用下，車(chē)輛位置誤差始終被約束在允許的范圍內(nèi)，同時(shí)車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性也得以保證(如圖6所示)。因此，本文所設(shè)計(jì)的控制算法可以確保車(chē)輛隊(duì)列不受傳感器測(cè)量誤差的影響，在保證車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性方面是有效且可行的。

圖4 車(chē)輛位置

圖5 車(chē)輛速度

圖6 車(chē)輛位置誤差

圖7 車(chē)輛速度誤差

圖8為車(chē)輛隊(duì)列的控制輸入。從圖8中可以看到，在初始時(shí)刻，由于車(chē)輛跟蹤誤差為非0值，控制輸入在該時(shí)段內(nèi)隨著車(chē)輛狀態(tài)的收斂而收斂。當(dāng)車(chē)輛趨于穩(wěn)定后，所有車(chē)輛對(duì)應(yīng)的控制輸入趨于同一恒值。值得注意的是：當(dāng)車(chē)輛為勻速狀態(tài)時(shí)，控制輸入為0；當(dāng)車(chē)輛為非勻速狀態(tài)時(shí)，控制輸入不為0。由此可知，控制輸入的變化與車(chē)輛的速度狀態(tài)有著密切的關(guān)系。文中所設(shè)計(jì)的控制算法可保證無(wú)論車(chē)輛狀態(tài)如何變化，車(chē)輛的控制輸入可始終保持在允許的范圍內(nèi)。

圖8 車(chē)輛控制輸入

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)有向通信下車(chē)載傳感器中存在測(cè)量誤差的問(wèn)題，本文主要研究了傳感器測(cè)量誤差對(duì)車(chē)輛隊(duì)列的影響及對(duì)應(yīng)的非線性控制方法。首先，考慮到傳感器測(cè)量誤差只滿足有界條件和車(chē)間有向通信拓?fù)?，設(shè)計(jì)了一種基于滑?？刂评碚摰能?chē)輛控制器，可保證車(chē)輛隊(duì)列的行駛穩(wěn)定性不受傳感器測(cè)量誤差的影響。其次，利用PPC理論，在有效約束車(chē)輛跟蹤誤差的同時(shí)，保證了車(chē)輛隊(duì)列的隊(duì)列穩(wěn)定性，車(chē)輛隊(duì)列的行駛穩(wěn)定性因此得到了進(jìn)一步的提升。最后，通過(guò)數(shù)字仿真驗(yàn)證了所提出的控制算法的可行性和有效性。