郭興甫

(云南省會(huì)澤縣東陸高級(jí)中學(xué) 云南萬(wàn)人計(jì)劃教學(xué)名師張國(guó)坤研修工作坊)

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)新舊教材中的重要內(nèi)容.在高中數(shù)學(xué)課程中，二項(xiàng)式定理安排在計(jì)數(shù)原理、排列組合知識(shí)之后，隨機(jī)變量及其分布列之前，它既是計(jì)數(shù)原理和組合知識(shí)的應(yīng)用，又是探究相關(guān)概率公式的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要載體，也是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容.幾乎每年的高考試題都有涉及，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏下，是高考容易得分的試題.為了幫助廣大師生更好地復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容，本文以近年全國(guó)各地的高考題及模擬試題為例說(shuō)明二項(xiàng)式定理常見(jiàn)題型及處理策略.

1 求解形如(a+b)n(n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的問(wèn)題

例1(1)(2019年天津卷理的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________.

A.－210 B.－960 C.960 D.210

解析

(2)依題意得2n＝1024，解得n＝10.又易知展開(kāi)式的通項(xiàng)為

由2r－10＝4，得r＝7，從而有－960，所以x4的系數(shù)是－960.故選B.

點(diǎn)評(píng)

求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量的處理策略:先將展開(kāi)式的通項(xiàng)公式化為只含有一個(gè)字母的形式.求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)可依據(jù)條件寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，再根據(jù)特定項(xiàng)的特點(diǎn)建立方程求出r的值即可.已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)，可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r的值，進(jìn)而求出參數(shù).

2 求解形如(a+b)m(c+d)n(m，n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的問(wèn)題

例2(1)已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0，則該展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是( ).

A.－10 B.－7 C.10 D.9

A.72 B.60 C.48 D.36

(3)(x＋y)2(x－2y)4的展開(kāi)式中x2y4的系數(shù)為( ).

A.88 B.－24 C.－40 D.104

解析

令3－r＝1，得r＝2;令(舍);令3－r＝2，得r＝1.故的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為(－2)2C26＋(－2)1×＝60－12＝48.故選C.

(3)由題設(shè)，(x＋y)2展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)m＋1＝x2－m·ym，(x－2y)4展 開(kāi) 式 的 通 項(xiàng) 為T(mén)n＋1＝x4－n(－2y)n，所以原多項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)可寫(xiě)為

點(diǎn)評(píng)

求一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式積的展開(kāi)式的相關(guān)問(wèn)題，可以先求二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再結(jié)合條件確定通項(xiàng)公式中的項(xiàng)使之滿足條件，進(jìn)而解決問(wèn)題.求兩個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式積的相關(guān)問(wèn)題，可以先分別用不同的指數(shù)表示出兩個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，再把兩個(gè)通項(xiàng)公式的積化為只含一個(gè)未知數(shù)的通項(xiàng)公式的形式，利用通項(xiàng)公式結(jié)合條件建立方程組求出指數(shù)值，進(jìn)而代入通項(xiàng)公式求出相應(yīng)結(jié)果.求幾個(gè)二項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題的處理方法，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式計(jì)算指定項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，注意利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式和多項(xiàng)式的乘法判斷出指定項(xiàng)的系數(shù)是由哪些項(xiàng)的系數(shù)相乘所得到的，進(jìn)而利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解.

3 求解形如(a+b+c)n(n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的問(wèn)題

例3(1)(x2＋3x＋2)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為( ).

A.625 B.800 C.750 D.600

(2)在(x2＋2x＋y)5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為( ).

A.60 B.30 C.15 D.12

A.32 B.－32 C.33 D.－33

解析

(1)方法1(x2＋3x＋2)5＝[(1＋x)(2＋x)]5＝(1＋x)5(2＋x)5，(1＋x)5展開(kāi)式的通項(xiàng) 為展 開(kāi) 式 的 通 項(xiàng) 為所以(x2＋3x＋2)5展開(kāi)式的通項(xiàng)為，其中0≤r≤5，0≤k≤5，且r，k∈N.

令r＋k＝2，可得

因此，(x2＋3x＋2)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為C05C2523＋C15C1524＋C25C0525＝800，故選B.

方法2因?yàn)?x2＋3x＋2)5表示5個(gè)因式(x2＋3x＋2)的乘積，它展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)需滿足1個(gè)因式取x2，其余因式都取2，或2個(gè)因式取3x，其余因式都取2，故(x2＋3x＋2)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為C1524＋C2532×23＝800，故選B.

(2)方法1(x2＋2x＋y)5＝[(x2＋2x)＋y]5，由通項(xiàng)公式可得Tr＋1＝Cr5(x2＋2x)5－ryr，要求x5y2的系數(shù)，故r＝2，此時(shí)(x2＋2x)3＝x3·(x＋2)3，其對(duì)應(yīng)x5的系數(shù)為C23·x2·21＝6，所以x5y2的系數(shù)為C25×6＝60，故選A.

方法2因(x2＋2x＋y)5表示5個(gè)因式(x2＋2x＋y)的乘積，故它的展開(kāi)式中含x5y2的項(xiàng)需滿足2個(gè)因式取y，2個(gè)因式取x2，1個(gè)取2x，故x5y2的系數(shù)為C25×C23×2＝60，故選A.

(3)方法1在的展開(kāi)式中，令x＝1，可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為(1＋2－1)4＝24＝16，展開(kāi)式的通項(xiàng)為展開(kāi)式的通項(xiàng)為展開(kāi)式的通項(xiàng)為且r，k∈N).

令r－2k＝0，可得所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為因此，展開(kāi)式中除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)系數(shù)的和為－33，故選D.

方法2表 示4個(gè) 因式的乘積，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)滿足1個(gè)因式取x，1個(gè)取個(gè)?。?，或2個(gè)取x，2個(gè) 取或4個(gè)因式都?。?，即展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

又各項(xiàng)系數(shù)和為(1＋2－1)4＝24＝16，所以展開(kāi)式中除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)系數(shù)的和為－33，故選D.

(4)根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，要得到x8，則在10個(gè)因式中需要8個(gè)選x，其余兩個(gè)選a，或9個(gè)選x，1個(gè) 選即由題意得(－1)＝170，又a＞0，解得a＝2，故選C.

點(diǎn)評(píng)

對(duì)于多項(xiàng)式(三項(xiàng)或以上)的n次方的展開(kāi)式，求特定項(xiàng)的相關(guān)問(wèn)題的處理策略:一是將三項(xiàng)式或多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式積的形式，然后利用多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題的處理方法求解;二是將其中某兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，直接利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，然后分類考慮產(chǎn)生特定項(xiàng)的所有可能情形，再逐一求出每種情形對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，最后合并即可;三是利用二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)排列組合的兩個(gè)原理解決問(wèn)題，即在多項(xiàng)式的n次方的展開(kāi)中，可把式子看作n個(gè)多項(xiàng)式相乘，乘積的項(xiàng)是由每個(gè)多項(xiàng)式中選取一項(xiàng)相乘所得到的.

4 求解二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和的問(wèn)題

例4(1)(x2＋2ax－a)5的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為1024，則a的值為( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

(2)已知(x＋2)(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，則a0＋a2＋a4＝( ).

A.123 B.91 C.－120 D.－152

(3)(1＋ax)10(a≠0)的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)與其各項(xiàng)系數(shù)之和相等，則其展開(kāi)式中x2的系數(shù)為( ).

A.－45 B.45 C.－180 D.180

解析

(1)賦值法:令x＝1，可知展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和(a＋1)5＝1024，解得a＝3，故選C.

(2)方法1令x＝1，得

令x＝－1，得

①＋②，得a0＋a2＋a4＋a6＝－120.

又a6為(2x－1)5中25項(xiàng)的系數(shù)，所以a6＝C0525＝32，所以a0＋a2＋a4＝－152，故選D.

方法2因?yàn)?2x－1)5展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Cr5(2x)5－r(－1)r(r＝0，1，2，3，4，5)，所以

所以a0＋a2＋a4＝－152，故選D.

(3)因(1＋ax)10(a≠0)展開(kāi)式的通項(xiàng)為

令r＝0，得常數(shù)項(xiàng)為1.

令x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)之和為(1＋a)10，由題意知(1＋a)10＝1，又a≠0，所以a＝－2，所以Tr＋1＝(－2)rCr10xr(r＝0，1，2，…，10)，所以其展開(kāi)式中x2的系數(shù)為故選D.

點(diǎn)評(píng)

本題主要考查利用賦值法解決二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)和的相關(guān)問(wèn)題，同時(shí)考查方程思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).利用賦值法求展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和，對(duì)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)n(a，b，c∈R)的式子，只需令x＝1;對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，只需令x＝y(tǒng)＝1.若f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋…＋anxn展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)，則奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為

5 求解幾個(gè)二項(xiàng)式和(或差)的相關(guān)問(wèn)題

例5(1)在(x＋1)3＋(x＋1)4＋(x＋1)5＋(x＋1)6＋(x＋1)7的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是( ).

A.45 B.53 C.54 D.55

(2)已 知 多 項(xiàng) 式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，則a1＝_________，a2＋a3＋a4＝_____.

(3)已知(1＋x)m＋(1＋3x)n(m，n∈N*)展開(kāi)式中x的系數(shù)為11，當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí)，x4的系數(shù)是________.

解析

(1)顯然x≠0，在(x＋1)3＋(x＋1)4＋(x＋1)5＋(x＋1)6＋(x＋1)7＝的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)是C38－1＝55，故選D.

(2)(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1，(x＋1)4＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1，所以a1＝1＋4＝5，a2＝－3＋6＝3，a3＝3＋4＝7，a4＝－1＋1＝0，則a2＋a3＋a4＝10.

(3)由已知得C1m＋3C1n＝11，即m＋3n＝11，所以m＝11－3n，x2的系數(shù)為

當(dāng)n＝2時(shí)，x2系數(shù)取得最小值19，則m＝11－3×2＝5，即(1＋x)5＋(1＋3x)2中x4的系數(shù)為C45＝5.

點(diǎn)評(píng)

幾個(gè)二項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題的處理方法:先分別求出每一個(gè)多項(xiàng)式中的特定項(xiàng)，再合并.計(jì)算時(shí)注意利用組合數(shù)公式或組合數(shù)性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)化.

6 求解二項(xiàng)式系數(shù)或項(xiàng)的系數(shù)的最值問(wèn)題

例6(1)設(shè)(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a1＋a2＋…＋an＝255，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是( ).

A.240x4B.160x3

C.70x4D.20x3

(3)已知(1＋2x)8展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，系數(shù)的最大值為b，則的值為( ).

解析

(1)已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，當(dāng)x＝1時(shí)，a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，當(dāng)x＝0時(shí)，a0＝1.所以

解得n＝8，則(1＋x)8展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為C48，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C48·x4＝70x4，故選C.

(2)因?yàn)檎归_(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n＝6.令x＝1，則展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是故選D.

(3)由題意可得a＝C48＝70，又(1＋2x)8展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝Cr82rxr，設(shè)第r＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，則

點(diǎn)評(píng)

解答本題的關(guān)鍵在于求解n的值以及確定二項(xiàng)式系數(shù)的最大值.求展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法:如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)(第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大;如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)(第項(xiàng)與第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大.求解形如(ax＋by)n(a＞0，b＞0)展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法:設(shè)展開(kāi)式中的第r＋1項(xiàng)是系數(shù)最大項(xiàng)，其系數(shù)記為Ar，則由可求出r的值，從而求出展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

7 利用二項(xiàng)式定理解決整除性問(wèn)題

例7(1)5555除以8，所得余數(shù)是( ).

A.7 B.1 C.0 D.－1

(2)已知742020＋a能夠被15整除，則a的最小正數(shù)為_(kāi)________.

(3)記X＝1－90Cn1＋902Cn2－903Cn3＋…＋(－90)kCkn＋…－90nCnn(n為正奇數(shù))，則X除以88的余數(shù)為_(kāi)________.

解析

(1)5555＝(56－1)55，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為Cr555655－r(－1)r，不能被8整除，即r＝55時(shí)，余數(shù)為(－1)55＝－1，由于余數(shù)要為正數(shù)，故加8，得－1＋8＝7.故選A.

(2)由題可知，742020＋a＝(75－1)2020＋a＝，而75能被15整除，要使742020＋a能夠被15整除，只需1＋a能被15整除即可，所以a的最小正數(shù)為14.

(3)由組合數(shù)的性質(zhì)知

則X除以88的余數(shù)為－1＋88＝87.

點(diǎn)評(píng)

本題主要考查利用二項(xiàng)式定理解有關(guān)整除問(wèn)題，關(guān)鍵在于將原式轉(zhuǎn)化為除數(shù)的倍數(shù)再進(jìn)行展開(kāi)，即通常先把底數(shù)寫(xiě)成除數(shù)(或和除數(shù)有密切關(guān)系的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，再考慮后面或者前面一、二項(xiàng)進(jìn)行判斷.解決求余數(shù)問(wèn)題，必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式.要注意余數(shù)的范圍，對(duì)形如m＝pr＋n，其中r是除數(shù)(r是正整數(shù))，n是余數(shù)，0≤n＜r，利用二項(xiàng)式定理對(duì)展開(kāi)式進(jìn)行變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，則需要轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù).特別地，余數(shù)可以為0，余數(shù)為0表示整除.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年2020年修訂)》指出“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)”.主要包括:理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.無(wú)論是在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，還是在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)中，要把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力作為課堂教學(xué)的重要任務(wù).高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)不但要科學(xué)合理地滲透解題策略，還要讓學(xué)生掌握知識(shí)方法的來(lái)龍去脈，感悟其本質(zhì)，歸納總結(jié)解題思路及適用范圍，拓展學(xué)生知識(shí)視野，以不變應(yīng)萬(wàn)變，從而提高解題能力，揭開(kāi)解題的神秘感.

鏈接練習(xí)

A.20 B.－120 C.60 D.－60

2.(x2＋2y)(1＋y－x)5展開(kāi)式中x3y4的系數(shù)是( ).

A.10 B.－5 C.5 D.－10

3.已知(x＋1)6(ax－1)2的展開(kāi)式中，x3系數(shù)為56，則實(shí)數(shù)a的值為( ).

A.6或－1 B.－1或4

C.6或5 D.4或5

4.設(shè)(3x－1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5，則a1＋a2＋a4＋a5＝( ).

A.2010 B.2011

C.2012 D.2013

5.(1－2x)5(1＋3x)的展開(kāi)式中按x的升冪排列的第3項(xiàng)為_(kāi)________.

6.已知(ax＋1)6的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為A，(x－1)(x＋a)6的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為B，A＋B＝15，則非零常數(shù)a的值為_(kāi)_______.

9.已知(1＋2x)n的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

(1)求n的值；

(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

鏈接練習(xí)參考答案

1.C.2.B.3.A.4.D.

5.10x2.6.±1.7.481.8.60.

9.(1)n＝11.

(2)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即第8項(xiàng)42240x7和第9項(xiàng)42240x8.