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關(guān)鍵詞：課程體系；C無符號數(shù)；帶符號數(shù)；原碼；反碼；補碼

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）36-0154-03

1 引言

在《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》《微機原理與接口技術(shù)》《匯編語言程序設(shè)計》等課程中，數(shù)制系統(tǒng)都是非常重要的內(nèi)容，是要求學(xué)生理解和掌握的重要知識點[1]。對于學(xué)習(xí)高級語言程序設(shè)計的學(xué)生來說，掌握好數(shù)制系統(tǒng)也有利于更深入地理解和分析程序?qū)?shù)據(jù)處理的實質(zhì)。在數(shù)制系統(tǒng)中，對學(xué)生較難的是原碼、反碼和補碼，也是數(shù)制系統(tǒng)教學(xué)的重點和難點。經(jīng)過多年的研究與實踐，對原碼、反碼和補碼的教學(xué)取得了一定的經(jīng)驗，提出了基于課程體系的原碼、反碼和補碼的教學(xué)觀點。文中僅討論整數(shù)的原碼、反碼和補碼的表示及教學(xué)方法，小數(shù)的表示對大多數(shù)專業(yè)而言是不需要掌握的，需要處理小數(shù)時在匯編語言中可以設(shè)計算法用整數(shù)模擬小數(shù)，或者直接用高級語言處理。

2 無符號數(shù)和帶符號數(shù)

原碼、反碼和補碼是帶符號數(shù)的表示方法，要掌握好原碼、反碼和補碼知識，首先要清楚無符號數(shù)和帶符號數(shù)的區(qū)別，以便正確使用這兩類數(shù)據(jù)。日常生活中，例如：電話號碼、房間的門牌號碼、計算機內(nèi)存單元的地址等，這些數(shù)值沒有數(shù)學(xué)上的正負含義，是無符號數(shù)。但是身高體重之類的數(shù)就必須為正數(shù)，在銀行存取款時，存進去的金額是正數(shù)，會使得銀行余額增加，取出來的金額是負數(shù)，使得銀行余額減少，這類數(shù)據(jù)就是帶符號數(shù)。

在數(shù)字系統(tǒng)中采用二進制數(shù)，只要將無符號數(shù)用二進制數(shù)表示，高位用0補到規(guī)定的位數(shù)就可以了。帶符號數(shù)有正負符號，符號要數(shù)碼化，且有原碼、反碼和補碼多種表示方法，比無符號數(shù)要復(fù)雜很多。反過來說，學(xué)習(xí)原碼、反碼和補碼知識就是學(xué)習(xí)帶符號數(shù)在數(shù)字系統(tǒng)中的表示方法。

此外，如果給出一個二進制數(shù)，這個數(shù)究竟是帶符號數(shù)還是無符號數(shù)，該怎么看待怎么處理呢？很多學(xué)生也是迷惘的。實際上，這個數(shù)可以將它視為無符號數(shù)，也可以視為帶符號數(shù)。在匯編語言中，當將這個數(shù)看作無符號數(shù)時，就用無符號數(shù)的指令去處理，將這個數(shù)看作帶符號數(shù)時，就用帶符號數(shù)的指令去處理，兩類數(shù)用匯編指令加以區(qū)分，分別處理。在高級語言例如C語言中，用數(shù)據(jù)類型區(qū)分。如unsignedchar、unsigned int之類的處理無符號數(shù)，用char、signed char、int、signed int之類的處理帶符號數(shù)。

由于符號位的問題，導(dǎo)致位數(shù)相同的二進制數(shù)，作為無符號數(shù)和帶符號數(shù)時表示的數(shù)值范圍是不相同的。例如十六位二進制數(shù)，表示的無符號數(shù)范圍為0～65535，用補碼表示的帶符號數(shù)范圍為-32768～+32767。這個特點在數(shù)字電子技術(shù)、微機原理與接口技術(shù)、C語言等課程及各類嵌入式處理器中都是相同的，實現(xiàn)了把多門課程的知識串在一起，有利于學(xué)生構(gòu)建課程體系，打通課程之間的壁壘。

3 原碼表示方法

原碼是用來表示帶符號數(shù)的，這就需要將正、負符號數(shù)碼化。在二進制數(shù)的前面增加一位符號位，符號位為0表示這個數(shù)是正數(shù)，符號位為1表示這個數(shù)是負數(shù)，這種形式的數(shù)稱為原碼[2]。對原碼，可以用數(shù)學(xué)公式嚴格定義：一個數(shù)連同符號位一起用n位二進制數(shù)表示，某一個數(shù)X的原碼為：

要使學(xué)生理解補碼的概念及引入補碼的優(yōu)越性，通常從日常生活中的實例入手，常用的一個案例就是鐘表，如下圖1所示。

表盤上時針指向10點鐘，而正確的時間是5點鐘，要把時針撥回到5點鐘有兩種方法：第一種方法是將時針往回撥5個小時指向5點鐘，第二種方法是將時針往前撥7個小時指向5點鐘。用數(shù)學(xué)式表示出來，第一種方法為10-5=5；第二種方法為10+7=12+5=5，由于表盤上最大的數(shù)是12，當時間超過12點以后，12自動丟失，只保留減去12以后的余數(shù)5。從效果上來看，10-5與10+7是等價的，都使時針指向了5點，12 稱為模，“?！笔侵敢粋€計數(shù)系統(tǒng)的進位基數(shù)[4]。7是-5 對模12的補數(shù)，也稱為補碼。該實例說明了對模12 而言，10-5減法運算可以通過10+7加法運算來實現(xiàn)。這意味著，模確定以后，在舍棄進位的條件下，減去一個數(shù)可以通過加上該數(shù)的補碼來實現(xiàn)，也意味著在電路中，減法運算可以通過加法電路來實現(xiàn)，從而簡化了電路設(shè)計。

將上例加以拓展，設(shè)某表盤有16個刻度，則刻度值為1～16，模為16，刻度0與16是重合的，與上例中0 點與12點是重合的道理相同。在二進制數(shù)中，因24=16，即四位二進制數(shù)的模是16，依此類推，對于n位二進制數(shù)，其模為2n，對于任意負數(shù)X，其對于模2n的補碼為2n-|X|。

通過對這個實例的分析，可以使學(xué)生理解模的概念，補碼的概念以及通過補碼將減法運算轉(zhuǎn)換為加法運算，有利于簡化硬件電路的設(shè)計。

5.2 補碼的特點

通過分析補碼的定義及前面的生活實例，可以得到補碼的特點。

（1）最高位為符號位，為0表示這個數(shù)是正數(shù)，為1表示這個數(shù)是負數(shù)。

（2）對于正數(shù)，[X]=[X]，即正數(shù)的補碼與原碼相同，且能表示的數(shù)值范圍也相同。

（3）對于負數(shù)，補碼的值等于模減去該數(shù)的絕對值，再對照負數(shù)補碼和反碼的數(shù)學(xué)定義式可知，負數(shù)的補碼等于該數(shù)的反碼加1。

（4）對于零，設(shè)n=8，則[+0]=00000000，[-0]=00000000，0的表示是唯一的，解決了+0和-0的表示問題。

（5）使用補碼表示，可以將真值的減法運算變?yōu)闄C器中的加法運算，從而使CPU內(nèi)部不再需要設(shè)計減法器[5]，簡化了CPU的設(shè)計。

（6）補碼表示時，有少數(shù)特殊數(shù)的補碼對學(xué)生比較難以理解。如，當n=8時，-128的補碼是10000000，當n=16時，-32768的補碼是1000000000000000，這些數(shù)補碼的符號位和數(shù)值位合二為一，可以根據(jù)補碼的定義式來理解，對非計算機專業(yè)的學(xué)生而言，還可以把這幾個數(shù)的補碼表示簡單地看作是一種規(guī)定，計算機程序的編譯軟件也是按這種方法處理的，學(xué)生就容易理解了，否則容易造成困惑。

5.3 幾個需要說明的問題

（1）補碼運算的結(jié)果仍為補碼，類似于二進制數(shù)運算的結(jié)果仍為二進制數(shù)，不可能變成了十進制數(shù)。

如果運算結(jié)果的符號位為0，說明結(jié)果是正數(shù)，該補碼值等于其原碼，可以由補碼值求出真值。如果運算結(jié)果的符號位為1，說明結(jié)果是負數(shù)，要獲得其真值，需要由該補碼數(shù)求出其原碼，再依據(jù)原碼求出真值。

在求負數(shù)補碼對應(yīng)的原碼時，一般采用的方法是[[X]]=[X]，即對負數(shù)的補碼再求補碼，得到負數(shù)的原碼。有些同學(xué)會想當然地認為將負數(shù)補碼的數(shù)值位按位求反，再減去1，這種方法不僅結(jié)果錯誤，而且再一次產(chǎn)生了減法運算。

（2）關(guān)于數(shù)據(jù)溢出的理解

如果做的是有符號數(shù)的運算，例如，78-54=24，因78-54=78+（-54），使用補碼表示時，設(shè)n=8，則有[78]+[-54]=01001110+11001010=00011000，補碼運算的結(jié)果仍為補碼，舍棄進位，符號位為0，說明該補碼對應(yīng)的真值是正數(shù)，正數(shù)的補碼等于原碼，故該補碼數(shù)對應(yīng)的真值為24，結(jié)果正確。

如果沒有明確是無符號數(shù)或者帶符號數(shù)運算，該如何判斷是否溢出。例如，已知兩個二進制數(shù)的加法運算，01001110+11001010=00011000，因硬件只有8位，故最高位產(chǎn)生的進位自動丟失，有沒有產(chǎn)生溢出取決于如何看待這兩個數(shù)。在計算機中，如果把這兩個數(shù)看作是無符號數(shù)，則產(chǎn)生了溢出，為了防止數(shù)據(jù)出錯，在CPU的標志寄存器中，設(shè)置了進借位標志CF，并置CF=1，編程者要根據(jù)CF位進行處理以得到正確的數(shù)據(jù)。如果把這兩個數(shù)看作帶符號數(shù)，在CPU 的標志寄存器中，設(shè)置了溢出標志OF，且OF位等于次高位與最高位產(chǎn)生的進位異或運算的結(jié)果，即OF=C⊕C=1⊕1=0，故沒有產(chǎn)生溢出。

（3）關(guān)于數(shù)據(jù)位數(shù)的理解

在數(shù)字電子技術(shù)課程的學(xué)習(xí)中，二進制數(shù)的位數(shù)可以根據(jù)需要來設(shè)定，沒有特別規(guī)定。但是，在計算機中是不可以的。例如，5位二進制數(shù)，在數(shù)字電子技術(shù)中可以使用，但是在計算機中不可以采用5位，因為沒有字長為5位的CPU。早期有4位的CPU，現(xiàn)在已經(jīng)淘汰了，現(xiàn)在CPU的字長有8位、16位、32位和64位，這些字長的數(shù)據(jù)在計算機語言中有相應(yīng)的數(shù)據(jù)類型去處理。例如，在C語言中，用char處理8位數(shù)，早期用int處理16位數(shù)，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在的編譯軟件將int型數(shù)據(jù)編譯成了32位甚至64位，這與編譯軟件有關(guān)。如果只需要使用5位二進制數(shù)，該數(shù)據(jù)也必須采用一個字節(jié)或者一個字來存儲，然后通過編程來處理這5位二進制數(shù)。

（4）關(guān)于符號擴展的理解

設(shè)有十進制數(shù)+23和-23，在數(shù)字電子技術(shù)中，可以用6 位二進制數(shù)表示，其補碼分別為：[+23]=010111，[-23]=101001。現(xiàn)要求將這兩個數(shù)用8位二進制數(shù)表示，則有[+23] =00010111，[-23] =11101001；若要求將這兩個數(shù)用16位二進制數(shù)表示，則有[+23] =0000000000010111， [-23]=1111111111101001。比較發(fā)現(xiàn)：對于帶符號數(shù)，當需要將位數(shù)較少的補碼數(shù)采用更多位表示時，只需要將位數(shù)較少的補碼數(shù)的符號位向高位擴展，符號位為0 則向高位補0，符號位為1則向高位補1，補齊到所需的位數(shù)即可；對于無符號數(shù)，直接在高位補0，補齊到所需的位數(shù)即可。

（5）關(guān)于補碼與求補的區(qū)別

某些CPU提供了求補的指令，例如在8086 CPU中提供了NEG指令。假設(shè)AL寄存器的值為15H，對AL求補得到EBH，將兩個數(shù)寫成8位二進制數(shù)后比較發(fā)現(xiàn)，EBH是將15H所有位求反后加1而得，將這兩個數(shù)看作補碼數(shù)，15H的真值是21，EBH的真值是-21。假設(shè)AL寄存器的值為E9H，對AL求補以后得到17H，將兩個數(shù)寫成8位二進制數(shù)后比較發(fā)現(xiàn)，17H是將E9H所有位求反后加1而得，將這兩個數(shù)看作補碼數(shù)，E9H的真值是-23，17H的真值是+23，可見，執(zhí)行求補指令可以得到被求補的數(shù)據(jù)相反數(shù)的補碼。

假設(shè)AL寄存器的值為80H，BX 寄存器的值為8000H，對AL、BX求補以后的值分別為80H、8000H，將這兩個數(shù)看作補碼數(shù)，80H的真值是-128，8000H的真值是-32768，符合補碼的數(shù)學(xué)定義式。

結(jié)論：已知某個負數(shù)X的原碼，求其補碼時符號位是不變的，如果X是正數(shù)，則其補碼等于其原碼。已知某個帶符號數(shù)Y，對Y做求補運算，會得到其相反數(shù)的補碼，即-Y的補碼，從二進制運算的角度來看，是將Y的二進制的所有位求反，最后在末尾加1。

6 結(jié)語

討論了在原碼、反碼和補碼知識的教學(xué)中，按照無符號數(shù)和帶符號數(shù)的區(qū)別；無符號數(shù)在數(shù)字系統(tǒng)中的表示方法；帶符號數(shù)的原碼、反碼和補碼的表示方法及其特點；并通過實例分析了如何將所學(xué)知識與C語言、匯編語言及相關(guān)硬件知識聯(lián)系在一起，將知識學(xué)習(xí)放置于由相關(guān)課程組成的課程體系背景中，有利于幫助學(xué)生建立課程體系的觀念，在不同課程之間將相關(guān)知識融會貫通，避免了在不同課程中對相同的知識內(nèi)容割裂開而孤立地學(xué)習(xí)，從而促進對知識的理解、記憶和應(yīng)用。