王飛，趙文英，董瑩

摘要：依據(jù)中國(guó)城鎮(zhèn)化水平曲線變化的特點(diǎn)，在經(jīng)典的Logistic模型基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)相對(duì)增長(zhǎng)率函數(shù)，建立改進(jìn)的Logistic模型應(yīng)用于中國(guó)城鎮(zhèn)化水平的預(yù)測(cè).研究結(jié)果表明，預(yù)測(cè)結(jié)果同經(jīng)典Logistic模型和雙S曲線模型相比，擬合程度更高，其預(yù)測(cè)值可為相應(yīng)決策部門制定政策提供參考.

關(guān)鍵詞：Logistic模型;相對(duì)增長(zhǎng)率;城鎮(zhèn)化水平

[中圖分類號(hào)]F727/O29 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

Application of Improved Logistic Model in the

Prediction of Urbanization Level in China

WANG Fei，ZHAO Wenying，DONG Ying

（School of Mathematical Science，Mudanjiang Normal University，Mudanjiang 157011，China）

Abstract：According to the characteristics of China's urbanization rate curve，based on the classical Logistic model，the relative growth rate function is designed，and an improved Logistic model is established to predict the level of urbanization in China.The results show that the fitting degree of the prediction results is higher than that of the classical Logistic model and the known double S curve model，and its prediction value can provide a reference for the corresponding decisionmaking departments to formulate policies.

Key words：Logistic model;relative growth rate;urbanization level

城市化水平是一個(gè)國(guó)家或地區(qū)社會(huì)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展程度的重要評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)，也是城市發(fā)展規(guī)劃制定的重要依據(jù).[12]Logistic模型在經(jīng)濟(jì)、人口、流行病以及自然界描述種群數(shù)量等方面有著廣泛的應(yīng)用，是一些復(fù)雜模型的基礎(chǔ).[35]本文對(duì)Logistic模型進(jìn)行改進(jìn)，將改進(jìn)的Logistic模型應(yīng)用于中國(guó)城鎮(zhèn)化水平的預(yù)測(cè)，以期為加快中國(guó)城鎮(zhèn)化建設(shè)的進(jìn)程提供理論依據(jù).

1構(gòu)建改進(jìn)的Logistic模型

Logistic模型的基本假設(shè)為：（1）在確定的環(huán)境下考察某單一種群;（2）種群沒有遷入和遷出;（3）種群的相對(duì)增長(zhǎng)率dxxdt是種群規(guī)模x的線性減函數(shù);（4）K為定值.[6]

劉加奇和袁文燕認(rèn)為，空間飽和容量K在一些領(lǐng)域不是一成不變的，會(huì)隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展、技術(shù)革新、生產(chǎn)力水平的提升等外界條件的改變而改變.他們建立了改進(jìn)的Logistic模型[10]，既有兩個(gè)飽和值的、拉伸的雙S型曲線模型：

dxdt=rx1-xka1-xb2+c.（1）

式（1）中，dxxdt與x之間為特殊的三次多項(xiàng)式關(guān)系.本文將在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將方程擴(kuò)展為更一般化的一元三次多項(xiàng)式，最終形成拉伸的雙S型曲線.

針對(duì)雙S型曲線的特點(diǎn)，它的變化率表現(xiàn)為慢→快→慢→快→慢的上升過程，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值變化為：上升→下降→上升→下降，類似于M型曲線的變化過程.這個(gè)過程最簡(jiǎn)單的函數(shù)為四次多項(xiàng)式，考慮到當(dāng)x數(shù)量為0時(shí)，變化率為0，且開口向下，因此，四次多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為0，最高次項(xiàng)系數(shù)小于0.建立雙S曲線的最初微分模型：

dxdt=x（r1x3+r2x2+r3x+r4）

x（0）=x0.（2）

改進(jìn)的logistic模型（3）式有以下特征：

（1） 相對(duì)增長(zhǎng)率dxxdt=r1x3+r2x2+r3x+r4，當(dāng)滿足r1<0，且r3-r223r1≤0時(shí)，相對(duì)增長(zhǎng)率為非線性減函數(shù)，滿足經(jīng)典Logistic模型的假設(shè)條件（3）中減函數(shù)的特征.

（2）當(dāng)r1=r2=0，r3=-r0k，r4=r0時(shí)，改進(jìn)的模型（2）式簡(jiǎn)化為為經(jīng)典Logistic模型，此時(shí)飽和值xm=k.

（3）當(dāng)滿足r1=-arkb2

r2=rbab+2ak

r3=-r2ab+a+ck

r4=r（a+c）

時(shí)，改進(jìn)的模型（2）式簡(jiǎn)化為模型（1）式，此時(shí)兩個(gè)飽和點(diǎn)分別為x1m=k，x2m=b.

2改進(jìn)logistic模型的應(yīng)用

1978年，我國(guó)的城鎮(zhèn)化水平為17.55 %，隨著時(shí)間的推移，城鎮(zhèn)化水平穩(wěn)步增長(zhǎng)，到1995年第一個(gè)拉伸的S型曲線已經(jīng)顯現(xiàn)，第一個(gè)飽和值也越來越明顯.這個(gè)階段，我國(guó)改革開放政策已經(jīng)實(shí)施了十多年，其效果開始顯現(xiàn)，我國(guó)在經(jīng)濟(jì)、科技、工業(yè)、農(nóng)業(yè)等方面實(shí)現(xiàn)了大幅度的快速增長(zhǎng)，社會(huì)生產(chǎn)力水平明顯提升，各行各業(yè)的發(fā)展帶動(dòng)了城市的全面發(fā)展，城市的擴(kuò)建、城市基礎(chǔ)設(shè)施的完善，使得大批農(nóng)村剩余勞動(dòng)力涌向城市，城市出現(xiàn)了更大的容納空間，使得城鎮(zhèn)化水平在1995年趨向飽和的情況下出現(xiàn)快速增長(zhǎng)的態(tài)勢(shì).截止到2019年，我國(guó)城鎮(zhèn)化水平達(dá)到60.6%，未來還會(huì)進(jìn)一步增長(zhǎng).但城市在擴(kuò)展的同時(shí)也受到一些因素的限制，例如要保證國(guó)家正常耕地面積不受破壞、要保證城市的經(jīng)濟(jì)、教育、醫(yī)療等方面的協(xié)調(diào)發(fā)展等，所以城鎮(zhèn)化率不可能無限制的增長(zhǎng)下去，必然在一定的生產(chǎn)力、有限的城市環(huán)境下出現(xiàn)第二個(gè)空間容納值，即第二個(gè)城鎮(zhèn)化水平的飽和值，從而形成第二段拉伸的S型曲線.圖1為中國(guó)城鎮(zhèn)化水平隨時(shí)間的變化散

點(diǎn)圖.

2.1模型的應(yīng)用

對(duì)微分方程dxdt=x（r1x3+r2x2+r3x+r4）求解.考慮到解析解比較困難，這里對(duì)其進(jìn)行離散化，取Δ t=1年，則有改進(jìn)的logistic模型（2）式的離散解：

x（t+1）=x（t）+Δx=x（t）+x（t）r1x（t）3+

r2t（t）2+r3x（t）+r4，t=0，1，2，….（3）

其中，ri，i=1，2，3，4為參數(shù).對(duì)參數(shù)利用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，可知：r1=-1.80×10-7，r2=-5.71×10-6，r3=0.001 06，r4=0.011 310 022.得到中國(guó)城鎮(zhèn)化水平的預(yù)測(cè)模型為：

dxdt=x-1.80×10-7x3-5.71×10-6x2+

0.001 06x+0.011 310 022

x（0）=17.44.（4）

對(duì)應(yīng)的兩個(gè)飽和點(diǎn)可以從特征（3）的方程組求出，求解得到近似解飽和點(diǎn)x1m=35.229 1，x2m=

74.417 0.應(yīng)用模型（4）進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，得到19772030年中國(guó)城鎮(zhèn)化水平的擬合值與預(yù)測(cè)值.擬合曲線見圖2.

2.2改進(jìn)的logistic模型對(duì)未來城鎮(zhèn)化水平的

預(yù)測(cè)利用三種模型對(duì)中國(guó)19772019年城鎮(zhèn)化水平進(jìn)行了擬合，對(duì)三種模型的擬合誤差求平方.測(cè)試結(jié)果表明，經(jīng)典logistic模型預(yù)測(cè)相對(duì)誤差平方和為4.462 9，雙S曲線模型預(yù)測(cè)相對(duì)誤差平方和為3.780 1，改進(jìn)的logistic模型預(yù)測(cè)相對(duì)誤差平方和為3.692 3.改進(jìn)的logistic模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度高于經(jīng)典的logistic模型，略高于雙S曲線模型，預(yù)測(cè)更接近實(shí)際值.

改進(jìn)的logistic模型對(duì)我國(guó)20202030年城鎮(zhèn)化預(yù)測(cè)結(jié)果見表1.到2030年，我國(guó)的城鎮(zhèn)化水平增長(zhǎng)開始緩慢，接近第二個(gè)飽和點(diǎn).也就是說，想要使我國(guó)的城鎮(zhèn)化水平繼續(xù)快速增長(zhǎng)，達(dá)到發(fā)達(dá)國(guó)家水平，必須在2030年前創(chuàng)造社會(huì)生產(chǎn)力新的增長(zhǎng)方式，才能保證我國(guó)的城鎮(zhèn)化水平有更大的發(fā)展空間.

3小結(jié)

本文在經(jīng)典logistic模型的基礎(chǔ)上建立了改進(jìn)的logistic模型，模型具有更廣的應(yīng)用范圍.改進(jìn)的logistic模型準(zhǔn)確度相對(duì)更高，更可信.

參考文獻(xiàn)

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[2]廖飛，謝威，趙寶江，等.灰色模型在牡丹江市城鎮(zhèn)居民收入預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014（3）：34.

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編輯：琳莉