唐 驍, 葉繼坤, 李 旭

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

在對(duì)高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的末制導(dǎo)段,常把導(dǎo)彈與機(jī)動(dòng)目標(biāo)之間的最終脫靶距離作為設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的一個(gè)重要指標(biāo)。除此之外,還要實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的直接碰撞攔截,這就要求攔截彈以特定的攻擊角度攻擊目標(biāo),以提高直接碰撞的成功率,所以需要設(shè)計(jì)出滿足攻擊角約束的三維制導(dǎo)律。

在對(duì)滿足攻擊角約束的制導(dǎo)律的研究中通常把攻擊角約束轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的終端視線角約束，因?yàn)榛？刂茖?duì)系統(tǒng)不確定性具有魯棒性和易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn),許多具有終端視線角約束的制導(dǎo)律都是基于滑?？刂苼碓O(shè)計(jì)的。基于滑?？刂频闹茖?dǎo)律設(shè)計(jì)包括兩個(gè)部分:滑模面的設(shè)計(jì)和趨近律的設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)滑模面來保證構(gòu)成滑模面的各項(xiàng)可以收斂到預(yù)定的值,如系統(tǒng)狀態(tài)和跟蹤誤差,滑模面的形式是多樣的,常用的有線性滑模、非奇異終端滑模、積分滑模、分?jǐn)?shù)階滑模,滑模趨近律主要有等速趨近律、指數(shù)趨近律和一般趨近律,其目的是使滑模變量快速收斂以保證系統(tǒng)狀態(tài)快速到達(dá)滑模面。

在滑模制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中,滑模變量的收斂性能可以通過調(diào)整趨近律的參數(shù)實(shí)現(xiàn),但是基于李雅普諾夫理論和有限時(shí)間收斂理論設(shè)計(jì)的趨近律在不同攔截條件下同一組參數(shù)無法保證同樣的收斂效果,找到合適的參數(shù)來保證滑模變量的瞬態(tài)收斂性能并不容易,特別是在末制導(dǎo)開始的階段。

近年來,預(yù)設(shè)性能控制(prescribed performance control, PPC)已被廣泛應(yīng)用于制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,文獻(xiàn)[14]利用預(yù)設(shè)性能方法將航天器姿態(tài)跟蹤誤差限制在預(yù)設(shè)范圍內(nèi),文獻(xiàn)[15]針對(duì)高超聲速飛行器高度控制提出PPC方法,保證了期望的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度。

基于PPC理論,跟蹤誤差可以按性能函數(shù)預(yù)先定義的收斂范圍去收斂,為誤差收斂的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能提供了一種簡(jiǎn)便的方法,本文將一種改進(jìn)的性能函數(shù)應(yīng)用于具有視線角約束的三維制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中,使滑模變量按預(yù)設(shè)性能收斂。

為了提高制導(dǎo)律在實(shí)際應(yīng)用中的性能,設(shè)計(jì)了有限時(shí)間觀測(cè)器,結(jié)合微分跟蹤器,在存在測(cè)量噪聲的情況下精確估計(jì)目標(biāo)信息,補(bǔ)償制導(dǎo)律中由目標(biāo)加速度引起的不確定項(xiàng),保證制導(dǎo)律的有效執(zhí)行。

本文首先建立了視線坐標(biāo)系和三維攔截模型。然后,介紹了PPC理論,并給出所使用的性能函數(shù)形式。其次,詳細(xì)推導(dǎo)了預(yù)設(shè)性能制導(dǎo)律(prescribed performance control guidance law, PPCG),分析制導(dǎo)律的穩(wěn)定性。最后,介紹了干擾觀測(cè),并進(jìn)行了數(shù)值仿真。

1 三維空間內(nèi)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

相對(duì)于二維彈目運(yùn)動(dòng)模型,三維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述需要建立更復(fù)雜的空間坐標(biāo)系,如圖1所示。

圖1 三維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of three-dimensional relative motion of projectile

(1)

三維空間內(nèi)描述導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的矢量方程如下:

(2)

(3)

式中:和分別表示導(dǎo)彈與目標(biāo)的速度與加速度矢量。對(duì)式在視線坐標(biāo)系下投影可得

(4)

將式(4)代入式(3)可得到三維空間的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程:

(5)

(6)

2 PPC基礎(chǔ)理論

2.1 性能函數(shù)

通過引入性能函數(shù),對(duì)跟蹤誤差()的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行設(shè)定,性能函數(shù)定義如下。

連續(xù)函數(shù):→稱為性能函數(shù),滿足:

(1)()是正的且嚴(yán)格遞減;

在初始誤差(0)已知的前提下,給出如下形式的不等式約束:

(7)

式中:∈[0,∞);∈[0,1]。

本文選取性能函數(shù)的形式為

()=(-)exp(-)+

(8)

如果不等式(7)成立,則誤差曲線將被限制在-() 和()之間;另外,結(jié)合()的遞減特性可知,誤差()將在-() 和()的夾逼作用下迅速收斂到0的一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)。常數(shù)表示預(yù)先設(shè)定的穩(wěn)態(tài)誤差上界,()的衰減速度為跟蹤誤差()收斂速度的下界,同時(shí)跟蹤誤差的最大超調(diào)量不會(huì)大于(0),因此可以通過選擇適當(dāng)?shù)男阅芎瘮?shù)()和常數(shù)對(duì)跟蹤誤差的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)進(jìn)行限制。

2.2 誤差轉(zhuǎn)換

在系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中,直接對(duì)不等式約束進(jìn)行處理的難度非常大,均采用如下形式的誤差變換函數(shù)(),將不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束再進(jìn)行處理,定義誤差變換函數(shù)為

(9)

式中:,為設(shè)計(jì)的正常數(shù)。式(9)滿足:

-<()<

(10)

(11)

函數(shù)()除具有誤差變換函數(shù)所要求的所有性質(zhì)外,又因?yàn)?∈(-∞,+∞),d()d>0是有界的,所以()是充分光滑的且嚴(yán)格單調(diào)遞增有界。

跟蹤誤差和變換誤差的關(guān)系可以表示為

()=()()

(12)

對(duì)誤差變換函數(shù)()進(jìn)行化簡(jiǎn):

(13)

可以得到()的逆函數(shù):

(14)

令=表示函數(shù)的逆函數(shù),則式(12)可以等價(jià)表示為

=()

(15)

={∈∶-<()<}

3 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

帶攻擊角度約束的三維PPCG分別在視線俯仰平面和視線偏航平面內(nèi)設(shè)計(jì)滑模變量和:

=++

(16)

=++

(17)

式中:、、、分別為大于零的常數(shù)且滿足Hurwitz穩(wěn)定。當(dāng)=0,=0成立時(shí),、、、在有限時(shí)間內(nèi)趨近于0。

3.1 視線俯仰平面制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

在視線俯仰平面內(nèi)設(shè)計(jì)制導(dǎo)律,針對(duì)滑模變量,設(shè)跟蹤誤差為=-0,對(duì)跟蹤誤差求導(dǎo)可得

(18)

利用誤差轉(zhuǎn)換函數(shù):

(19)

()=(-)exp(-)+

(20)

對(duì)進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)化,,為設(shè)計(jì)的正常數(shù),為性能函數(shù),、、為設(shè)計(jì)的正常數(shù)。

(21)

對(duì)式(21)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得到

(22)

結(jié)合三維制導(dǎo)模型式(6)和轉(zhuǎn)換后的誤差方程式(22),可以得到視線俯仰平面內(nèi)的制導(dǎo)系統(tǒng)模型為

(23)

(24)

式中:=dd()>0;>0。

(25)

3.2 視線偏航平面制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

在視線偏航平面內(nèi),針對(duì)滑模變量,設(shè)跟蹤誤差為=-0,對(duì)求導(dǎo)可得

(26)

利用誤差轉(zhuǎn)換函數(shù):

(27)

(28)

對(duì)式(28)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得到

(29)

視線偏航平面內(nèi)的制導(dǎo)系統(tǒng)模型為

(30)

將式(26)代入式(29),得到

(31)

(32)

3.3 制導(dǎo)律穩(wěn)定性證明

選取Lyapunov函數(shù)為

(33)

對(duì)式(33)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得到

(34)

將式(24)和式(31)代入式(34),得到

(35)

(36)

(37)

對(duì)于視線俯仰平面內(nèi),由于有界,所以由誤差函數(shù)的性質(zhì)可得誤差狀態(tài)量滿足預(yù)設(shè)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能,將在有限的時(shí)間內(nèi)以預(yù)設(shè)性能收斂。

以此類推,對(duì)于在視線偏航平面內(nèi),有界,將在有限的時(shí)間內(nèi)以預(yù)設(shè)性能收斂。

4 目標(biāo)信息估計(jì)

在對(duì)目標(biāo)的攔截過程中,導(dǎo)引頭獲取的目標(biāo)信息有限且?guī)в袦y(cè)量噪聲,視線角的微分信號(hào)難以提取,目標(biāo)加速度更無法測(cè)量,通常利用觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì)。本文采用有限時(shí)間觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì),本節(jié)只給出視線俯仰平面中的有限時(shí)間觀測(cè)器具體形式。

根據(jù)第1節(jié)給出的含攻擊角度約束的制導(dǎo)模型:

(38)

構(gòu)建狀態(tài)估計(jì)方程:

(39)

為的估計(jì)值,估計(jì)誤差為

=-

(40)

構(gòu)建終端滑模面:

(41)

(42)

選擇Lyapunov函數(shù):

(43)

對(duì)式(43)求導(dǎo)可得

(44)

將式(41)、式(42)代入式(44)可得

(45)

取擾動(dòng)估計(jì)值為

(46)

代入式(45)可得

(47)

(48)

式中:>0,>0為目標(biāo)加速度的上界;max、max分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈最大速度,彈目距離滿足≥,為導(dǎo)引頭盲區(qū)距離,在盲區(qū)內(nèi),導(dǎo)彈依靠慣性飛行,由此可得

(49)

(50)

利用跟蹤微分濾波器,可得濾波后的視線角速率以及視線角速率的微分信號(hào):

(51)

(52)

5 仿真分析

為驗(yàn)證PPCG的有效性,本節(jié)將設(shè)置目標(biāo)圓弧機(jī)動(dòng)和螺旋機(jī)動(dòng)兩種模式下對(duì)PPCG進(jìn)行仿真;為了突出PPCG的特點(diǎn),在相同仿真條件下與快速終端滑模制導(dǎo)律進(jìn)行了對(duì)比,最后驗(yàn)證了有限時(shí)間觀測(cè)器對(duì)目標(biāo)信息的估計(jì)性能。

5.1 不同機(jī)動(dòng)模式對(duì)比仿真

(53)

預(yù)設(shè)性能參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 預(yù)設(shè)性能參數(shù)

目標(biāo)在縱向和側(cè)向平面分別做 =2, =2的圓弧機(jī)動(dòng),仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 圓弧機(jī)動(dòng)彈道軌跡曲線Fig.2 Arc maneuver ballistic trajectory curve

仿真結(jié)果如圖2～圖7所示,整個(gè)攔截過程持續(xù)時(shí)間為21.515 s,最終脫靶量為0.018 m,說明本文所設(shè)計(jì)的三維PPCG能夠滿足對(duì)常值機(jī)動(dòng)目標(biāo)的精確打擊需求。圖4表示視線俯仰和視線偏航平面的滑模變量變化曲線,可以看出在PPCG的作用下滑模變量可以在預(yù)設(shè)性能范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)收斂,收斂時(shí)間約為2.8 s,滑模變量在收斂過程中變化平緩,且收斂之后能繼續(xù)保持光滑且無抖振。由圖5可以看出,視線俯仰和視線偏航平面內(nèi)視線角速率的收斂特性與滑模變量基本一致。由圖6可以看出,視線傾角和視線偏角都能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到期望值附近,滿足攔截的末端視線角約束要求。圖7為導(dǎo)彈在視線俯仰和視線偏航平面過載變化曲線,在制導(dǎo)初始階段過載出現(xiàn)短暫的飽和,但隨著滑模面的收斂,兩個(gè)平面內(nèi)的過載曲線也都快速收斂,這反映了PPCG在攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)的有效性。

圖3 圓弧機(jī)動(dòng)彈目距離曲線Fig.3 Arc maneuver curve of projectile distance

圖4 圓弧機(jī)動(dòng)滑模面變化曲線Fig.4 Arc maneuver change curve of sliding surface

圖5 圓弧機(jī)動(dòng)視線角速率曲線Fig.5 Arc maneuver angular rate curve of line of sight

圖6 圓弧機(jī)動(dòng)視線角曲線Fig.6 Arc maneuver line of sight Angle curve

圖7 圓弧機(jī)動(dòng)導(dǎo)彈過載曲線Fig.7 Arc maneuver missile overload curve

目標(biāo)在兩個(gè)平面分別做 =5sin(π4), =5cos(π4)的螺旋機(jī)動(dòng)。

圖8～圖12給出了三維空間中攔截螺旋機(jī)動(dòng)目標(biāo)的仿真曲線,攔截時(shí)間為16.183 s,命中目標(biāo)時(shí)脫靶量為0.250 m,不難看出,在預(yù)設(shè)性能制導(dǎo)律的作用下,即使攔截螺旋機(jī)動(dòng)目標(biāo),也能保證滑模變量在預(yù)設(shè)性能范圍內(nèi)收斂,同時(shí)也能使視線角收斂到期望值,視線俯仰和視線偏航平面的過載曲線也都快速跟蹤上各自平面內(nèi)的目標(biāo)機(jī)動(dòng),體現(xiàn)了預(yù)設(shè)性能制導(dǎo)律良好的制導(dǎo)穩(wěn)定性。

圖8 螺旋機(jī)動(dòng)彈道軌跡曲線Fig.8 Spiral maneuve ballistic trajectory curve

圖9 螺旋機(jī)動(dòng)滑模面變化曲線Fig.9 Spiral maneuve change curve of sliding surface

圖10 螺旋機(jī)動(dòng)視線角曲線Fig.10 Spiral maneuver line of sight Angle curve

圖11 螺旋機(jī)動(dòng)導(dǎo)彈過載曲線Fig.11 Spiral maneuve missile overload curve

圖12 螺旋機(jī)動(dòng)視線角速率曲線Fig.12 Spiral maneuve angular rate curve of line of sight

5.2 不同制導(dǎo)律性能對(duì)比

為進(jìn)一步說明本文設(shè)計(jì)的PPCG的優(yōu)越性,將其與文獻(xiàn)[22]提出的基于非奇異快速終端滑模和改進(jìn)超螺旋算法的超螺旋終端滑模制導(dǎo)律(finite time superspiral sliding mode guidance law, FTSSMG)進(jìn)行仿真對(duì)比,仿真條件同情境2,仿真結(jié)果如圖13～圖15所示。

圖13 彈道軌跡曲線對(duì)比Fig.13 Ballistic trajectory curve comparison

圖14 導(dǎo)彈過載曲線對(duì)比Fig.14 Missile overload curve comparison

圖15 滑模面變化曲線對(duì)此Fig.15 Change curve of sliding surface comparison

由仿真結(jié)果可以看出,整體而言,FTSSMG和PPCG都具有良好的有限時(shí)間收斂特性,攔截時(shí)間和脫靶量相差不大,能夠滿足機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截要求。但具體來看,FTSSMG的滑模變量收斂的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能都不如PPCG, PPCG滑模變量按預(yù)設(shè)性能收斂,收斂精度要高于FTSSMG(見圖15),在收斂速度方面,PPCG也要快于FTSSMG,FTSSMG在制導(dǎo)初始階段的滑模變量變化和過載變化都不如PPCG平滑,FTSSMG的過載在正負(fù)飽和值之間出現(xiàn)跳變,而且飽和值持續(xù)時(shí)間更長(zhǎng),相比之下PPCG更有利于彈上執(zhí)行。

5.3 目標(biāo)信息估計(jì)仿真分析

為了驗(yàn)證第4節(jié)設(shè)計(jì)的有限時(shí)間觀測(cè)器的有效性,給視線角速率加均方差為1.06×10rad/s的高斯白噪聲,有限時(shí)間觀測(cè)器參數(shù)設(shè)置為=3,=0005,=1,=01,=3,=5,其余仿真條件同情境2,由于仿真結(jié)果相似,因此這里僅給出視線角速率及目標(biāo)加速度估計(jì)曲線,如圖16和圖17所示。

圖16 目標(biāo)螺旋機(jī)動(dòng)視線角速率Fig.16 Angular line of sight rate of target spiral maneuver

圖17 目標(biāo)加速度估計(jì)曲線Fig.17 Estimation curve of target acceleration

由圖18可知,估計(jì)誤差能夠在1.8 s內(nèi)收斂,利用有限時(shí)間觀測(cè)器輸出的目標(biāo)信息補(bǔ)償PPCG中的不確定項(xiàng),在有測(cè)量誤差的情況下仍能成功攔截目標(biāo),目標(biāo)做螺旋機(jī)動(dòng)時(shí)的脫靶量為0.361 m,攔截時(shí)間為16.333 s。因此,有限時(shí)間觀測(cè)器具有良好視線角速率濾波特性及不確定性補(bǔ)償能力。

圖18 估計(jì)誤差曲線Fig.18 Estimation error curve

6 結(jié) 論

針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截攻擊角度約束制導(dǎo)問題,本文基于預(yù)設(shè)性能控制理論,考慮三維空間內(nèi)的耦合制導(dǎo)模型,提出一種三維PPCG,并基于二次型Lyapunov函數(shù)證明了穩(wěn)定性。PPCG能夠提高制導(dǎo)指令的瞬態(tài)性能,避免了過載劇烈變化;滑模變量的收斂參數(shù)可以根據(jù)預(yù)先設(shè)計(jì)的性能函數(shù)進(jìn)行解析確定;同一組參數(shù),在不同攔截條件下,滑模變量仍能達(dá)到規(guī)定的收斂效果。其次,PPCG的實(shí)現(xiàn)需要較多的彈目運(yùn)動(dòng)信息,為了提高目標(biāo)攔截精度,提出了一種新的有限時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器來估計(jì)目標(biāo)加速度并對(duì)滑模制導(dǎo)律進(jìn)行補(bǔ)償,用Lyapunov函數(shù)證明了觀測(cè)器閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性。