李正杰, 謝軍偉, 張浩為, 邵 雷, 陳文鈺

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

集中式多輸入多輸出(multi-input and multi-output, MIMO)雷達(dá)具備良好的波形分集增益,可有效針對(duì)弱小目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)跟蹤。近年來,結(jié)合認(rèn)知雷達(dá)技術(shù)在接收端和發(fā)射端之間建立閉環(huán)反饋回路,實(shí)現(xiàn)發(fā)射資源自適應(yīng)分配已成為MIMO雷達(dá)資源分配領(lǐng)域的重要課題[1-3]。雷達(dá)跟蹤諸如飛機(jī)、艦艇等復(fù)雜擴(kuò)展目標(biāo)時(shí),不同相位散射點(diǎn)間的相互影響,將導(dǎo)致接收回波相位發(fā)生畸變產(chǎn)生角閃爍[4]。角閃爍噪聲是由角閃爍現(xiàn)象引起的固有測(cè)角噪聲,同時(shí)具備拖尾特性和非高斯特性[5]。在角閃爍噪聲下,由于跟蹤難度的提升,雷達(dá)資源分配任務(wù)面臨更大挑戰(zhàn)。

現(xiàn)有關(guān)于MIMO雷達(dá)資源分配的研究中,文獻(xiàn)[3]基于分布式MIMO雷達(dá)系統(tǒng),推導(dǎo)了關(guān)于目標(biāo)定位誤差的克拉美羅下界(Cramer Rao lower bound,CRLB),并利用CRLB與發(fā)射功率的關(guān)系,設(shè)計(jì)了面向單個(gè)靜止目標(biāo)定位場(chǎng)景的功率分配方法。文獻(xiàn)[6]將功率優(yōu)化模型推廣到了多個(gè)靜止目標(biāo)場(chǎng)景,并提出了一種標(biāo)準(zhǔn)化資源分配框架。文獻(xiàn)[7]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上,提出增加帶寬分配,并證明了功率和帶寬聯(lián)合分配能夠進(jìn)一步提高靜止目標(biāo)定位精度。文獻(xiàn)[8]對(duì)目標(biāo)跟蹤誤差的后驗(yàn)CRLB(posterior CRLB,PCRLB)進(jìn)行推導(dǎo),并利用其可預(yù)測(cè)性建立了中心式融合框架和去中心式融合框架下的兩類目標(biāo)跟蹤模型。文獻(xiàn)[9-10]在此基礎(chǔ)上,將研究范圍擴(kuò)展到了動(dòng)目標(biāo),并利用PCRLB構(gòu)建代價(jià)函數(shù)進(jìn)行功率分配。文獻(xiàn)[11]對(duì)分布式MIMO雷達(dá)跟蹤單個(gè)目標(biāo)的功率和帶寬聯(lián)合分配問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[12-13]基于集中式MIMO雷達(dá)系統(tǒng)開展了面向多目標(biāo)跟蹤的資源分配問題研究,分別針對(duì)理想探測(cè)條件和雜波條件構(gòu)建了兩類功率分配機(jī)制。上述工作為MIMO雷達(dá)資源分配研究打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),但是還存在一些不足:① 已有文獻(xiàn)多關(guān)注于對(duì)發(fā)射功率進(jìn)行配置,未對(duì)包含有效帶寬在內(nèi)的其他發(fā)射資源的優(yōu)化分配問題進(jìn)行深入研究;② 現(xiàn)有資源分配研究大多是在理想高斯噪聲下進(jìn)行的,而實(shí)際測(cè)量噪聲往往是非高斯的;③ 現(xiàn)有用于指導(dǎo)目標(biāo)跟蹤資源分配的優(yōu)化指標(biāo)通常為PCRLB,而PCRLB未與當(dāng)前時(shí)刻量測(cè)信息進(jìn)行關(guān)聯(lián),不能準(zhǔn)確地反映非理想條件下的目標(biāo)跟蹤性能。

對(duì)此,提出了一種針對(duì)集中式MIMO雷達(dá)在角閃爍場(chǎng)景下同時(shí)跟蹤多批目標(biāo)的自適應(yīng)發(fā)射資源分配算法。算法流程可簡述為:① 針對(duì)角閃爍噪聲特點(diǎn),結(jié)合平方根容積卡爾曼濾波(square-root cubature Kalman filter, SRCKF)算法和粒子濾波(particle filter, PF)的優(yōu)勢(shì),設(shè)計(jì)了適用于角閃爍場(chǎng)景的濾波算法對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)[14];② 根據(jù)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)信息,對(duì)下一時(shí)刻的條件克拉美羅下界(predicted conditional CRLB, PC-CRLB)進(jìn)行預(yù)測(cè),并構(gòu)建起關(guān)于功率和帶寬的非凸優(yōu)化模型;③ 運(yùn)用凸松弛和循環(huán)最小化方法[15]將原非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一系列凸優(yōu)化問題,再結(jié)合SDP算法[16]和Frank-Wolfe可行方向法[17]進(jìn)行求解,最后將求解結(jié)果反饋到雷達(dá)發(fā)射機(jī),從而構(gòu)建起自適應(yīng)資源分配機(jī)制。

1 系統(tǒng)建模

1.1 雷達(dá)工作機(jī)制

假設(shè)在二維平面內(nèi),一部收發(fā)共置的MIMO雷達(dá)部署于點(diǎn)(x0,y0)。雷達(dá)由M個(gè)發(fā)射陣元、N個(gè)接收陣元組成,采用均勻線陣布置方式,執(zhí)行對(duì)Q(Q

令雷達(dá)在多波束機(jī)制下工作,在發(fā)射端同時(shí)發(fā)射多個(gè)相互正交的寬波束,在接收端采用數(shù)字波束形成技術(shù)(digital beam forming, DBF)合成多個(gè)獨(dú)立的窄波束從而實(shí)現(xiàn)同時(shí)跟蹤多批目標(biāo)。

1.2 信號(hào)模型

假設(shè)k時(shí)刻雷達(dá)向目標(biāo)q發(fā)射的信號(hào)為

(1)

經(jīng)接收機(jī)匹配濾波后得到k時(shí)刻關(guān)于目標(biāo)q的回波信號(hào)為

(2)

1.3 運(yùn)動(dòng)及觀測(cè)模型

假設(shè)在二維平面內(nèi),存在Q個(gè)運(yùn)動(dòng)規(guī)律均滿足常速(constant velocity, CV)模型的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)。則k時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

(3)

(4)

(5)

式中:Δt是采樣間隔;sq代表過程噪聲強(qiáng)度,用以衡量目標(biāo)速度波動(dòng)大小。

假設(shè)k時(shí)刻,雷達(dá)對(duì)目標(biāo)q的觀測(cè)向量為

(6)

(7)

(8)

(9)

式中:βq,k和Tq,k分別代表有效帶寬和時(shí)寬;BNN為接收波束的寬度。

2 優(yōu)化模型建立

2.1 平方根容積粒子濾波算法

角閃爍噪聲具有拖尾特性,將影響雷達(dá)測(cè)角精度,在出現(xiàn)角閃爍現(xiàn)象時(shí),基于高斯噪聲假設(shè)的傳統(tǒng)濾波算法跟蹤性能將急劇下降。粒子濾波(particle filter, PF)算法突破了卡爾曼濾波理論框架,不受線性化誤差和高斯噪聲假設(shè)約束,為解決非線性、非高斯性濾波問題提供了新思路。

針對(duì)基本粒子濾波直接從狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)中獲得重要性函數(shù),可能導(dǎo)致出現(xiàn)粒子退化的問題。選取計(jì)算復(fù)雜度較低且精度較高的平方根容積卡爾曼濾波[14](square-root cubature Kalman filter, SCKF)為選取重要性函數(shù)提供參考。通過充分利用當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)信息不斷修正粒子權(quán)值,可顯著提高濾波精度。此外,為抑制閃爍噪聲相關(guān)建模誤差帶來的觀測(cè)擾動(dòng)和狀態(tài)擾動(dòng),將SCKF算法應(yīng)用于PF算法框架中,從而可充分結(jié)合兩者各自優(yōu)勢(shì),形成可應(yīng)用于角閃爍場(chǎng)景的平方根容積粒子濾波(square-root cubature particle filter, SCPF)。濾波算法流程可歸納為:

步驟 3權(quán)值計(jì)算及歸一化。

(10)

(11)

步驟 5狀態(tài)更新。根據(jù)上述計(jì)算,對(duì)目標(biāo)在k時(shí)刻的狀態(tài)和方差估計(jì)如下:

(12)

步驟 6遞歸。令k=k+1,返回步驟2。

2.2 基于PC-CRLB的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

(13)

(14)

(15)

但由于存在數(shù)學(xué)期望符號(hào),常常難以獲得式(15)的解析解。文獻(xiàn)[21]提出了一種可獲得精確數(shù)值解的計(jì)算方法:

(16)

(17)

2.3 優(yōu)化模型的建立

鑒于目標(biāo)位置的PC-CRLB與功率和帶寬均相關(guān),而PC-CRLB又為跟蹤誤差提供下界,因此可通過合理分配功率和帶寬資源實(shí)現(xiàn)減小目標(biāo)跟蹤誤差的目的?？紤]跟蹤目標(biāo)的整體跟蹤精度,將各目標(biāo)的位置的PC-CRLB求和作為代價(jià)函數(shù),建立優(yōu)化模型如下:

(18)

至此,在角閃爍噪聲背景下,建立起了以最小化各目標(biāo)距離的PC-CRLB之和為優(yōu)化準(zhǔn)則的集中式MIMO雷達(dá)資源自適應(yīng)分配模型。

3 優(yōu)化模型求解

顯然,式(18)是一個(gè)包含兩個(gè)優(yōu)化變量的非凸優(yōu)化問題。并且由于帶寬這一二次項(xiàng)的存在,給求解帶來了更大難度。本節(jié)利用凸松弛技術(shù),將原非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列凸優(yōu)化問題,再通過SDP算法進(jìn)行求解。為減小引入凸松弛帶來的系統(tǒng)誤差,通過循環(huán)最小化算法控制整體求解精度。求解過程如下:

步驟 1初始化,將帶寬資源均勻分配。

步驟 2固定帶寬為均勻分配后,原式(18)的優(yōu)化模型可描述為

(19)

由文獻(xiàn)[12]可知,式(19)是凸優(yōu)化問題,可將其轉(zhuǎn)化為SDP問題并通過Frank-Wolfe可行方向法進(jìn)行求解。具體轉(zhuǎn)化過程如下:

(20)

(21)

(22)

(23)

步驟 3.1初始化。輸入一個(gè)可行的起點(diǎn)x(k),設(shè)置允許誤差ε>0并且令k=1;

步驟 3.2求解如下線性規(guī)劃模型:

s.t.x∈S

然后,得到優(yōu)化解y(k);

否則進(jìn)入步驟3.4;

步驟 3.4求解:

minf(x(k)+λ(y(k)-x(k)))

s.t. 0≤λ≤1

求得優(yōu)化解λ(k);

步驟 3.5令x(k+1)=x(k)+λ(k)(y(k)-x(k),并且設(shè)置k=k+1,返回步驟3.2。

步驟 4將所求得的資源分配結(jié)果代入PC-CRLB進(jìn)行計(jì)算后保存結(jié)果,再跳轉(zhuǎn)至步驟2。直到前后兩次的PC-CRLB之差滿足終止條件ε后,得到最終的功率分配方案Pk,opt和帶寬分配方案βk,opt。至此,便可求解閃爍噪聲下集中式MIMO雷達(dá)的功率和帶寬聯(lián)合分配問題，具體方法見下節(jié)。

4 仿真結(jié)果及分析

(24)

表1 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)初態(tài)

4.1 高斯白噪聲影響場(chǎng)景

設(shè)置所有目標(biāo)RCS值為1,且將角閃爍噪聲強(qiáng)度設(shè)置為0,此時(shí)量測(cè)噪聲為理想情況的高斯白噪聲。

圖2(a)和圖2(b)展示了高斯白噪聲影響場(chǎng)景下4種不同分配方法計(jì)算下的PC-CRLB和RMSE性能。由圖2(a)和圖2(b)可知,在距離影響場(chǎng)景下,功率和帶寬聯(lián)合優(yōu)化分配算法性能最佳,等功率等帶寬分配方式性能最差。圖2(c)展示了各時(shí)刻功率和帶寬的優(yōu)化分配結(jié)果,不同顏色的方塊代表對(duì)應(yīng)時(shí)刻相應(yīng)目標(biāo)獲取的資源比率,并將其定義為

(25)

由圖2(c)可知,由于距離目標(biāo)越遠(yuǎn)目標(biāo)估計(jì)誤差越大,系統(tǒng)將更多的功率和帶寬分配給了距雷達(dá)較遠(yuǎn)的目標(biāo)(如目標(biāo)1)。

4.2 角閃爍噪聲影響場(chǎng)景

為探究角閃爍現(xiàn)象對(duì)資源分配結(jié)果的影響,設(shè)置角閃爍噪聲時(shí)變場(chǎng)景。在該場(chǎng)景下,令目標(biāo)1和目標(biāo)3的角閃爍噪聲強(qiáng)度恒定為0.1,目標(biāo)2的角閃爍強(qiáng)度系數(shù)發(fā)生起伏如圖3所示。

圖4(a)和圖4(b)展示了角閃爍噪聲模型下各算法的PC-CRLB和RMSE性能對(duì)比,體現(xiàn)了所提優(yōu)化分配算法在角閃爍場(chǎng)景下的有效性。此外,隨著目標(biāo)角閃爍噪聲強(qiáng)度的增大,跟蹤精度也受到了相應(yīng)的影響,使得目標(biāo)PC-CRLB值與RMSE值均出現(xiàn)波動(dòng),但算法性能結(jié)論仍與距離影響場(chǎng)景一致。圖4(c)展示了角閃爍噪聲影響下的各目標(biāo)資源分配的結(jié)果。結(jié)果表明,由于目標(biāo)2的角閃爍強(qiáng)度最高,因此相較場(chǎng)景1而言獲得了更多的發(fā)射資源。相反地,由于目標(biāo)3的角閃爍噪聲強(qiáng)度較低且徑向距離最小,相較其余目標(biāo)獲得的資源最少。

4.3 算法收斂性檢驗(yàn)

由圖5可知,所提優(yōu)化算法在距離影響場(chǎng)景和角閃爍噪聲影響場(chǎng)景均有較好的收斂性能。并且隨著自適應(yīng)跟蹤時(shí)間的增加,算法收斂性能有所提升。此外,從仿真結(jié)果得出,在迭代次數(shù)為40次時(shí),算法的平均計(jì)算時(shí)間約為0.79 s,小于仿真步長1 s。因此,在配備性能較強(qiáng)的計(jì)算機(jī)后,所提算法完全可保證資源分配任務(wù)的穩(wěn)定性和時(shí)效性要求。

5 結(jié) 論

本文基于集中式MIMO雷達(dá)系統(tǒng),提出了一種適用于角閃爍噪聲下進(jìn)行多目標(biāo)跟蹤的自適應(yīng)資源分配算法。該算法通過合理分配功率和帶寬資源,能夠有效提高多目標(biāo)跟蹤精度。仿真結(jié)果表明,本文所提面向角閃爍噪聲的資源優(yōu)化分配算法具有良好的穩(wěn)定性和時(shí)效性。