孫風(fēng)建 管慧慧

(江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué),210003)

正方體是學(xué)生最熟悉的簡單幾何體,它不但包含了立體幾何中研究的點、線、面的位置關(guān)系,更因其完美的對稱性具備其他圖形難以企及的優(yōu)越性質(zhì).如果能挖掘題設(shè)條件,展開聯(lián)想,巧妙地將隱形正方體顯性化,使其特性即可得到充分利用,問題常能變得豁然開朗.構(gòu)建正方體模型,不僅是一種解題方法,其中更蘊含豐富的數(shù)學(xué)思想,更是數(shù)學(xué)建模能力的有力體現(xiàn),在立體幾何領(lǐng)域有著極其重要的地位.本文示例說明其常見類型.

一、構(gòu)建幾何體外接隱形正方體模型,求解截面最值問題

截面問題是立體幾何作圖的一大難點,截面的最值問題更難.截面問題即共面問題,在立體幾何中將一個平面放大的常用方式有兩種:一是將其中一條或兩條直線延伸,二是過平面的一點,作平面內(nèi)某一條直線的平行線.另外，作截面涉及到直線與平面的交點,這通常轉(zhuǎn)化為線與線的交點,因此截面問題可綜合考察線面位置關(guān)系.

例1如圖1,已知四面體ABCD的各條棱長均等于4,E,F分別是棱AD,BC的中點.若用一個與直線EF垂直,且與四面體的每一個面都相交的平面α去截該四面體,由此得到一個多邊形截面,則該多邊形截面面積的最大值為______.

建模分析此題求解的關(guān)鍵是如何尋找與直線EF垂直的平面α.其次是當(dāng)平面α平行移動時截面如何變化.這兩個問題對學(xué)生來說都有很大的挑戰(zhàn).但由正四面體與正方體具有的天然關(guān)系,把正四面體放置到正方體中,這兩個問題就易于解決.

解如圖2,將正四面體放置到正方體中,則易知平行于底面的平面α與直線EF垂直.記平面α與正四面體的各條邊的交點分別為I,J,M,N.根據(jù)平行平面的性質(zhì),得IN∥BC,JM∥BC,IJ∥AD,MN∥AD,所以IN∥JM,IJ∥MN,四邊形IJMN為平行四邊形.又AD⊥BC,所以四邊形IJMN為矩形.

評注此解法中的正方體起到很好的襯托作用.借助于正方體,能非常直觀地看到與EF垂直的平面,以及平面α變化時截面變化過程中保持矩形的形狀不變.

二、構(gòu)建隱形正方體內(nèi)(外)切球的一般模型

正方體的內(nèi)切球或者外接球是立體幾何的經(jīng)典模型,對培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、建構(gòu)模型能力是非常有幫助的.正方體的內(nèi)切球或外接球又因其直觀、簡單,學(xué)生大都易掌握和熟悉.

建模分析AB,CD的長度是變化的,異面直線AB,CD所成的角以及“距離”也是變化的,這些量如何確定四面體ABCD是解決問題的第一步,也是最為關(guān)鍵的一步;其次,確定AB,CD的位置關(guān)系后,再計算異面直線所成角的半角.由此構(gòu)造一個正方體,使小球為正方體的內(nèi)切球,大球為正方體的外接球,這樣確定AB與CD的位置后,方便計算異面直線所成角的半角.

解首先解決第一個問題.直觀感知是AB,CD的長度以及它們的所成角和距離(公垂線段)都是獨立的量,當(dāng)AB,CD最長,公垂線段最長,AB,CD所成角為90°時,四面體ABCD的體積最大.但是事實是不是這樣呢?需要先論證如下的引理.

證明如圖5,過點C,A分別作AD,CD的平行線交于點E,則四邊形ECDA為平行四邊形,異面直線AB與CD所成角為∠EAB或其的補(bǔ)角,且S?ACD=S?ACE.

如圖7,A,C為正方體對面的中心,顯然AB與CD滿足條件,在正方體中顯然有AB∥EC,且AB=EC.因此，四邊形BAEC為平行四邊形,從而AE∥BC.故異面直線AD與BC的所成的角,即為AD與AE的夾角或其補(bǔ)角θ.

評注在教學(xué)過程中,很多學(xué)生獲得了最終結(jié)果.但在求VABCD的最大值時,大部分學(xué)生僅憑借直觀想象后建立模型；有的學(xué)生用空間向量處理.對于空間問題,直覺思維或空間想象力非常重要,應(yīng)鼓勵學(xué)生先大膽猜想,然后憑借嚴(yán)密的邏輯推理進(jìn)一步論證,從而實現(xiàn)對問題更深層次的認(rèn)知.只有這樣的思維鍛煉,才能靈活進(jìn)行空間幾何體的建模.

三、構(gòu)建球面幾何中的隱形正方體模型

球面幾何是幾何學(xué)的一個重要分支,在航海、航空、衛(wèi)星定位、鏡面成像等方面都有廣泛的應(yīng)用.另一方面,球面幾何不是歐氏幾何,而是一個重要的非歐幾何模型,對拓展學(xué)生的視野,讓學(xué)生感知自然界中存在豐富多彩的數(shù)學(xué)模型大有益處,不僅能增強(qiáng)學(xué)生的好奇心,也可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

評注本題是一道球面幾何文化題,對學(xué)生來說非常陌生,學(xué)生通過閱讀獲得球面三角形的面積公式后,面臨的難點就是怎么計算球面三角形的“內(nèi)角”.根據(jù)定義,必須知道球面三角形中任意兩個點所在大圓的平面,不僅要計算二面角,還要正確判斷是銳角還是鈍角.因此沒有確定的、清晰的位置關(guān)系,問題將難以解決,而根據(jù)三點的長度關(guān)系構(gòu)造正方體,有效化解了上述難點,方便了解題.

三、結(jié)束語

涉及隱形正方體的問題背景非常豐富,常涉及空間幾何的體積、長度、距離、異面直線所成角、解三角形等知識,對考生的邏輯推理、運算、建模等綜合應(yīng)用能力要求較高. 用隱形正方體建模求解,我們可以先通過直觀想象、數(shù)學(xué)抽象認(rèn)識問題背景,獲得隱形正方體的關(guān)鍵模型要素,再通過類比、聯(lián)想、特殊化、一般化等推理活動理順建模思路、找到研究方法,也可通過單元式主題探究形成整體思維,最終幫助學(xué)生實現(xiàn) “四基”、“四能”向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展[1].