適越通，秦華，白成昊，劉子祥

(山東理工大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

灰色理論首先由鄧聚龍教授[1]提出，國(guó)際上給予了很高的評(píng)價(jià)?；疑到y(tǒng)為部分清楚、部分未知的數(shù)據(jù)信息[2-5]，此理論認(rèn)為盡管信息復(fù)雜、朦朧，但有一定的發(fā)展趨勢(shì)和整體功能。本文研究分析了GM(1,1)[1]、基于緩沖算子和時(shí)間響應(yīng)函數(shù)優(yōu)化的GM(1,1)[2]、VWGM、FGM(1,1)[3]等理論有關(guān)的諸多模型，發(fā)現(xiàn)它們存在的不足之處，并采用FGM(1,1)和VWGM的混合模型即HGM(1,1)對(duì)數(shù)據(jù)處理?；旌系哪Ｐ筒粌H將變權(quán)緩沖算子引入灰色模型，并且基于灰色關(guān)聯(lián)分析和粒子群優(yōu)化算法確定模型最優(yōu)參數(shù)，不僅解決傳統(tǒng)緩沖算子作用強(qiáng)度不可調(diào)的問題[6]，還可能實(shí)現(xiàn)對(duì)原始數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)預(yù)處理，改善模型預(yù)測(cè)精度，保證預(yù)測(cè)結(jié)果盡可能地保持原有序列的內(nèi)在趨勢(shì)以及變化規(guī)律，提高模型擬合和預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性和綜合性能。

1 傳統(tǒng)GM(1,1)

灰色預(yù)測(cè)方法的特點(diǎn)：首先把離散數(shù)據(jù)看作連續(xù)曲線上的離散值，由于連續(xù)函數(shù)可微分，從而轉(zhuǎn)變?yōu)槲⒎址匠烫幚磉@些數(shù)據(jù)；其次由原始數(shù)據(jù)產(chǎn)生累加生成數(shù)，對(duì)累加生成數(shù)使用微分方程模型，以便找到數(shù)據(jù)的規(guī)律性?；疑到y(tǒng)理論的微分方程模型為GM(1,1)[1]，表示1階的、1個(gè)變量的微分方程。

設(shè)有原始數(shù)據(jù)列X(0)為

X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)} ,

(1)

式中n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。根據(jù)X(0)數(shù)據(jù)列建立GM(1,1)來實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)功能，得預(yù)測(cè)后數(shù)據(jù)為

(2)

可得

(3)

式中：a為灰色發(fā)展系數(shù)；μ為灰色作用量。

2 首輸入GM(1,1)

2.1 傳統(tǒng)GM(1,1)原始數(shù)據(jù)列的首項(xiàng)x(0)(1)無效

(4)

因此，由GM(1,1)得到的模擬值以及預(yù)測(cè)值，均與任意常數(shù)δ和原始數(shù)據(jù)列的首項(xiàng)無關(guān)。

2.2 FGM(1,1)建模方法

在原始數(shù)據(jù)首項(xiàng)前加入任意常數(shù)，以便獲取原始數(shù)據(jù)列首項(xiàng)的信息。FGM(1,1)的具體建模方法如下：設(shè)原始序列為

X(0)={X(0)(0),X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n)},

其中首項(xiàng)X(0)(0)為任意常數(shù)。由最小二乘法得

t=1,2，…,n。

這樣原始數(shù)據(jù)的首項(xiàng)信息也被利用，原始數(shù)據(jù)的整體性不被破壞，F(xiàn)GM(1,1)預(yù)測(cè)得到的數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確。

3 變權(quán)緩沖GM(1,1)

3.1 基于變權(quán)緩沖算子的數(shù)據(jù)預(yù)處理

傳統(tǒng)緩沖算子是一恒量，緩沖效果不是過弱就是過強(qiáng)，因此對(duì)于數(shù)據(jù)預(yù)處理適應(yīng)性不強(qiáng)。把緩沖算子進(jìn)行變權(quán)弱化以及運(yùn)用背景值優(yōu)化對(duì)傳統(tǒng)GM(1,1)進(jìn)行改進(jìn)[8]，可實(shí)現(xiàn)對(duì)原始數(shù)據(jù)預(yù)處理動(dòng)態(tài)化，增強(qiáng)數(shù)據(jù)適應(yīng)性。設(shè)X=[x(1),x(2),…,x(n)]為原始數(shù)據(jù)列，有

(5)

式中：0≤λ≤1；x(k)>0，k=1,2,…,n。當(dāng)X為單調(diào)增、單調(diào)減或振蕩序列時(shí)，稱D為變權(quán)弱化緩沖算子，λ為變權(quán)緩沖系數(shù)。設(shè)原始數(shù)列為非負(fù)序列系統(tǒng)，r(k)表示數(shù)據(jù)序列X中從x(k)到x(n)的平均變化率，X經(jīng)緩沖算子D作用后的數(shù)據(jù)序列為，XD=[x(1)d,x(2)d,…,x(n)d]，則稱

(6)

為緩沖算子D在k點(diǎn)的調(diào)節(jié)度[9]。緩沖算子D在各點(diǎn)調(diào)節(jié)度均為常數(shù)，且與變權(quán)緩沖系數(shù)相等，即δ(k)=λ。

3.2 變權(quán)緩沖GM(1,1)建模過程

構(gòu)建變權(quán)緩沖GM(1,1)(VWGM)建模，使用變權(quán)緩沖算子D對(duì)原始數(shù)據(jù)預(yù)處理，并構(gòu)造變權(quán)背景值Z(1)

(7)

式中η為背景值生成權(quán)重系數(shù)，0≤η≤1。通過最小二乘法求解，累減還原得預(yù)測(cè)值

(8)

上述模型是傳統(tǒng)GM(1,1)的拓展，當(dāng)λ和η取0.5時(shí)，模型退化為傳統(tǒng)GM(1,1)。

3.3 基于灰色關(guān)聯(lián)分析和粒子群優(yōu)化算法的模型參數(shù)優(yōu)化

為尋找最優(yōu)λ和η值，用粒子群優(yōu)化算法求解[10]，可得到最優(yōu)解。為確保預(yù)測(cè)結(jié)果最大限度保持原有數(shù)據(jù)內(nèi)在變化規(guī)律，避免陷入局部最優(yōu)，基于灰色關(guān)聯(lián)分析，以擬合值與實(shí)際值的灰色關(guān)聯(lián)度最大構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)。

(9)

(10)

4 混合GM(1,1)

由以上論述知，F(xiàn)GM(1,1)以及VWGM各有其優(yōu)點(diǎn)和其不足，經(jīng)分析驗(yàn)證，其優(yōu)缺點(diǎn)是可以互補(bǔ)的。將以上兩模型整合得到混合GM(1,1)(HGM(1,1))，這就可以充分利用兩者的優(yōu)點(diǎn)，避免缺點(diǎn)影響預(yù)測(cè)結(jié)果。HGM(1,1)的具體建模步驟如下：

1)基于灰色關(guān)聯(lián)分析和粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化模型參數(shù)。

(11)

式中：t為粒子當(dāng)前更新迭代次數(shù)；c1和c2為加速因子，均為常數(shù)；r1和r2為[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)；ω為慣性權(quán)重因子。粒子通過式(11)不斷更新速度和位置，直到到達(dá)最大迭代次數(shù)或搜索到的位置滿足預(yù)定適應(yīng)度值時(shí)停止搜索；

2)利用FGM(1,1)對(duì)原始數(shù)據(jù)列處理，步驟如3.2中所述。

3)利用1)中求解的最優(yōu)參數(shù)λ和η，對(duì)原始數(shù)據(jù)列進(jìn)行預(yù)處理并求出預(yù)測(cè)。

(1)使用變權(quán)緩沖算子D對(duì)原始數(shù)據(jù)列預(yù)處理，弱化隨機(jī)性增強(qiáng)趨勢(shì)性，得處理后

(12)

(2)一次累加生成，將預(yù)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行累加得

(13)

(3)構(gòu)造變權(quán)背景值Z(1)

(14)

式中η為背景值生成權(quán)重系數(shù)，0≤η≤1。構(gòu)建GM(1,1)模型y(0)(t)+az(1)(t)=μ式中a和μ為模型的灰色發(fā)展系數(shù)和灰色作用量，可通過最小二乘法求解,求得模型的解，累減還原得預(yù)測(cè)值

5 實(shí)例分析

為了檢驗(yàn)分析HGM(1,1)模型在中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中的有效性，用文獻(xiàn)[11]中的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。以某地1998—2005年負(fù)荷數(shù)據(jù)為建模數(shù)據(jù)(表1)，對(duì)2006—2008年的負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測(cè)。由表1可知建模負(fù)荷數(shù)據(jù)既有逐年增長(zhǎng)的趨勢(shì)，也有不確定的波動(dòng)。分別使用4種模型建模預(yù)測(cè)，擬合結(jié)果見表1，預(yù)測(cè)結(jié)果見表2。

表1 四種模型的擬合結(jié)果

表2 四種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果

模型1為傳統(tǒng)GM(1,1)，平均模擬相對(duì)誤差為3.02%，擬合效果不錯(cuò)，但沒有把握和弱化原始數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，平均預(yù)測(cè)相對(duì)誤差達(dá)到了12.43%，預(yù)測(cè)效果不好。

模型2為改進(jìn)模型FGM(1,1)，平均模擬相對(duì)誤差為3.05%，擬合效果也不錯(cuò)，但是平均預(yù)測(cè)相對(duì)誤差達(dá)到了12.04%，較傳統(tǒng)GM(1,1)有所改進(jìn)，預(yù)測(cè)效果仍不好，但它有充分利用原始數(shù)據(jù)列的優(yōu)點(diǎn)。

模型3 用粒子群優(yōu)化算法選擇最優(yōu)的變權(quán)緩沖系數(shù)，粒子群算法基本參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模m=30，最大迭代次數(shù)tmax=2 000，c1=c2=2，ωmax=0.9，ωmin=0.4，尋得模型最優(yōu)參數(shù)為λ=0.1144，η=0.756 7。擬合值較實(shí)際值的平均擬合相對(duì)誤差為7.32%，灰色關(guān)聯(lián)度為0.855 7，平均預(yù)測(cè)相對(duì)誤差為3.38%，擬合與預(yù)測(cè)效果較穩(wěn)定，對(duì)于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)精度較高。

模型4 仍采用模型3運(yùn)用的粒子群優(yōu)化算法選擇最優(yōu)的變權(quán)緩沖系數(shù)，粒子群優(yōu)化算法基本參數(shù)設(shè)置相同，尋得模型最優(yōu)參數(shù)為λ=0.099 7，η=0.754 6。然后與模型2進(jìn)行整合優(yōu)化，形成混合HGM(1,1)模型，由表可知，擬合值較實(shí)際值的平均擬合相對(duì)誤差僅為5.17%，灰色關(guān)聯(lián)度為0.857 8，平均預(yù)測(cè)相對(duì)誤差僅為2.93%。擬合與預(yù)測(cè)效果較以上模型均更加較穩(wěn)定可靠，與以上所有模型相比，無論在實(shí)際值擬合誤差，預(yù)測(cè)值擬合誤差，平均擬合誤差，灰色關(guān)聯(lián)度等等性能指標(biāo)均優(yōu)于以上所有模型，非常適用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，性能改進(jìn)明顯。

6 結(jié)束語

提出的模型引入粒子群優(yōu)化算法、變權(quán)緩沖算子以及FGM(1,1)模型，先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)處理，再通過變權(quán)緩沖系數(shù)對(duì)算子作用強(qiáng)度實(shí)現(xiàn)微調(diào)，這樣就有效解決了傳統(tǒng)緩沖算子作用強(qiáng)度不可調(diào)、緩沖效果過強(qiáng)或過弱的問題，以及忽略首項(xiàng)原始數(shù)據(jù)信息造成的信息不完整等問題，增強(qiáng)了模型的適應(yīng)性，充分利用原始數(shù)據(jù)信息，提高模型的預(yù)測(cè)精度，實(shí)用性很強(qiáng)。

其次，提出的模型以擬合值與實(shí)際值的灰色關(guān)聯(lián)度最大為目標(biāo)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)選，運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)分析和粒子群優(yōu)化算法，充分運(yùn)用所有原始數(shù)據(jù)信息，最大程度地保持了原始數(shù)據(jù)的內(nèi)在變化規(guī)律，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)預(yù)處理與原有預(yù)測(cè)問題的有機(jī)統(tǒng)一，模型擬合與預(yù)測(cè)效果均更加穩(wěn)定可靠。模型可以運(yùn)用到環(huán)境管理、資源管理、城市規(guī)劃等實(shí)際生活當(dāng)中。