(重慶理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，重慶400054)

0 引 言

在正交頻分復(fù)用系統(tǒng)中，相干檢測(cè)要求精確的信道估計(jì)。傳統(tǒng)的信道估計(jì)需要大于信道長(zhǎng)度的導(dǎo)頻數(shù)去恢復(fù)完整的信道估計(jì)，并沒(méi)有考慮多徑無(wú)線信道的特性。事實(shí)上，在信道時(shí)延擴(kuò)展中，大多數(shù)信道脈沖響應(yīng)系數(shù)為零或近乎為零，即寬帶無(wú)線信道一般呈現(xiàn)稀疏結(jié)構(gòu)[1-2]。近年來(lái)，壓縮感知(Compressed Sensing,CS)技術(shù)在信道估計(jì)的應(yīng)用引起了許多學(xué)者的關(guān)注，稀疏信道估計(jì)可以表述為稀疏恢復(fù)問(wèn)題，在接收端僅用較少的測(cè)量值就能夠恢復(fù)原始信號(hào)。與傳統(tǒng)的最小二乘(Least Square,LS)法和最小均方誤差(Minimum Mean Square Error,MMSE)法相比，基于CS的導(dǎo)頻輔助信道估計(jì)能夠呈現(xiàn)更好的信道估計(jì)質(zhì)量，且能夠有效節(jié)省導(dǎo)頻數(shù)量，其中導(dǎo)頻圖案設(shè)計(jì)是信道估計(jì)中的關(guān)鍵難題之一。

傳統(tǒng)導(dǎo)頻圖案都是要求導(dǎo)頻等間隔放置才能夠獲得最優(yōu)信道估計(jì)效果，但在基于CS的導(dǎo)頻輔助信道估計(jì)中，同樣的導(dǎo)頻放置方法并不適用。文獻(xiàn)[3]從實(shí)現(xiàn)最小測(cè)量矩陣互相關(guān)值的意義上證明，只有基于循環(huán)差集(Cyclic Difference Set,CDS)的導(dǎo)頻設(shè)計(jì)才是最優(yōu)的。對(duì)于循環(huán)差集不滿足的情況下，提出了許多方案去尋找接近最優(yōu)的導(dǎo)頻圖案。文獻(xiàn)[4]將矩陣互相關(guān)定義為采樣矩陣中的任意兩列之間最大內(nèi)積值，通過(guò)隨機(jī)導(dǎo)頻搜索算法生成一定數(shù)量的導(dǎo)頻組，計(jì)算每組導(dǎo)頻中的最大互相關(guān)值，從中挑選最小的一組作為最優(yōu)導(dǎo)頻。雖然該算法復(fù)雜度較低，但算法精度取決于隨機(jī)次數(shù)及隨機(jī)概率。文獻(xiàn)[5]提出一種基于導(dǎo)頻位置差異方差最小化(Positions Differences Occurrences,PDO)的貪婪算法來(lái)尋找合適的導(dǎo)頻索引集。文獻(xiàn)[6]提出雙循環(huán)導(dǎo)頻搜索算法，每一次外循環(huán)導(dǎo)頻都作為內(nèi)循環(huán)的初始導(dǎo)頻，通過(guò)設(shè)置內(nèi)外循環(huán)次數(shù)可以靈活控制算法的精度與時(shí)長(zhǎng)，但該算法還是屬于貪婪算法，每次循環(huán)都是獨(dú)立進(jìn)行，算法效率并不高效，可能存在局部最優(yōu)的情況，估計(jì)效果不夠理想。文獻(xiàn)[7]采用基于樹(shù)的反向迭代算法搜索導(dǎo)頻位置，保留每次迭代中最小互相關(guān)值的導(dǎo)頻，但該迭代樹(shù)并不是完備樹(shù)，也可能存在收斂到局部最優(yōu)的情況。

本文提出一種新的采樣矩陣互相關(guān)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則并將使用該準(zhǔn)則的導(dǎo)頻圖案應(yīng)用于信道估計(jì)；同時(shí)，通過(guò)分析相鄰導(dǎo)頻之間的間隔大小關(guān)系，提出一種新的高效導(dǎo)頻搜索算法，能夠快速收斂到較小的互相關(guān)值。從仿真結(jié)果看，對(duì)比現(xiàn)有互相關(guān)準(zhǔn)則及導(dǎo)頻搜索算法，本文新提出的準(zhǔn)則和算法具有一定的優(yōu)勢(shì)。

1 基于CS的信道估計(jì)模型

假設(shè)一個(gè)包含N個(gè)子載波的正交頻分復(fù)用系統(tǒng)，令其中Np個(gè)作為導(dǎo)頻子載波，p1,p2,…,pNp表示導(dǎo)頻位置，規(guī)定1≤p1

yP=XPWPh+nP=Ah+nP。

(1)

式中:yP=Sy是P×1維向量，接收信號(hào)y=[y(0),y(1),…,y(N-1)]T；XP=SXST是P×P對(duì)角矩陣；WP=SW是P×L矩陣；h=[h0,h1,…,hL-1]T為信道的時(shí)域沖激響應(yīng)采樣值；nP=Sn是P×1維噪聲向量；A=XPWP是P×L維測(cè)量矩陣；S矩陣由N×N維單位矩陣中與導(dǎo)頻位置對(duì)應(yīng)的P行組成，[η(1),η(2),…,η(Np)]T～CN(0，σ2INp)滿足獨(dú)立同分布的高斯白噪聲；WNp×L為從一個(gè)矩陣維度為N×N的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)矩陣中挑選Np個(gè)導(dǎo)頻所在的行和前L列所構(gòu)成的部分DFT矩陣，

(2)

傳統(tǒng)的LS信道估計(jì)問(wèn)題針對(duì)的是采樣矩陣A中行數(shù)大于列數(shù)的情況，即Np≥L。通常情況下，無(wú)線信道中的大部分能量?jī)H分布在少量抽頭上，因此可認(rèn)為信道h具有稀疏結(jié)構(gòu)。此時(shí)，再用LS信道估計(jì)不能很好估計(jì)信道質(zhì)量，故可通過(guò)壓縮感知理論去解決稀疏信號(hào)問(wèn)題，利用少量導(dǎo)頻即可恢復(fù)原始信號(hào)，即Np

2 導(dǎo)頻設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

2.1 傳統(tǒng)的最小互相關(guān)準(zhǔn)則

由壓縮感知理論可得，在沒(méi)有噪聲的情況下，若想通過(guò)測(cè)量值y和采樣矩陣A以很高概率恢復(fù)h，則矩陣A必須滿足有限等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property,RIP)[8]，即

(3)

式中：常數(shù)δs∈(0,1)。

然而，驗(yàn)證矩陣A是否滿足RIP特性是個(gè)NP-難問(wèn)題，目前還沒(méi)有一種公認(rèn)確定的辦法能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)得出結(jié)論，因此可以比較矩陣列之間的互相關(guān)準(zhǔn)則來(lái)代替RIP。文獻(xiàn)[9]證明采樣矩陣互相關(guān)準(zhǔn)則強(qiáng)于RIP，互相關(guān)值越小稀疏重構(gòu)的概率就越高。

采樣矩陣互相關(guān)定義如下：

(4)

式中：〈·,·〉為內(nèi)積；A(i)代表采樣矩陣A的第i列。

倘若Np個(gè)導(dǎo)頻功率相同，即

|x(p1)|2=|x(p2)|2=…=|x(pNp)|2，

(5)

將式(2)代入式(4)中，可得

(6)

對(duì)矩陣A每個(gè)列向量進(jìn)行歸一化，并令G=abs(AHA)，可得G是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，其對(duì)角線元素gij,i=j為1，非對(duì)角線元素gij代表矩陣A中的第i列和第j列的互相關(guān)值大小。因此，式(6)又可表示為

(7)

由式(6)可以看出，導(dǎo)頻分布P=[p1,p2,…,pNp]決定了最大互相關(guān)值μ(A)的大小。因此，導(dǎo)頻圖案設(shè)計(jì)就是尋找合適的Np個(gè)導(dǎo)頻位置使得μ(A)足夠小，即

(8)

文獻(xiàn)[3]指出采用較小μ(A)值的導(dǎo)頻圖案不一定能有更好的估計(jì)效果，從互相關(guān)定義上看，該準(zhǔn)則只能反映測(cè)量矩陣兩列間的局部相關(guān)性，并不能很好體現(xiàn)所有列之間的全局相關(guān)性。文獻(xiàn)[10]認(rèn)為任意兩列之間相關(guān)性為零的采樣矩陣才是最優(yōu)的，即矩陣G越接近單位矩陣，評(píng)價(jià)性能越準(zhǔn)確。

γ(A)=‖G-I‖2。

(9)

然而，根據(jù)循環(huán)差集設(shè)計(jì)的理想矩陣并不是單位矩陣，而是矩陣中每個(gè)非對(duì)角線元素接近于零且大小相等，因此該準(zhǔn)則不能很好評(píng)價(jià)采樣矩陣的恢復(fù)性能。文獻(xiàn)[11]僅考慮G中相關(guān)值較大的元素，選取t=0.15作為閾值，將超過(guò)閾值的元素三次方和作為矩陣的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則。

(10)

該方法雖簡(jiǎn)化了采樣矩陣整體相關(guān)性，但并沒(méi)有包含所有的元素，不能夠完全正確有效地評(píng)價(jià)整體相關(guān)性好壞。另外，文獻(xiàn)[11]只針對(duì)N=512、Np=24、L=50的特殊情況，并沒(méi)有一定的普適性。因此，如何定義合適的導(dǎo)頻設(shè)計(jì)準(zhǔn)則去準(zhǔn)確評(píng)價(jià)采樣矩陣的重建性能仍是一個(gè)有待研究的問(wèn)題。

2.2 新的導(dǎo)頻圖案設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

通常情況下，好的信道估計(jì)要求采樣矩陣A各列之間相關(guān)性越小越好，且較大互相關(guān)值個(gè)數(shù)越少越好，盡可能滿足G中各個(gè)非對(duì)角線元素較小且相等。若G中除最小元素外的每個(gè)元素與最小元素的距離越近，就說(shuō)明A中各列之間的相關(guān)程度就越小。因此，本文提出一種新的導(dǎo)頻圖案準(zhǔn)則，即最小互相關(guān)距離立方和準(zhǔn)則。

首先搜尋G中最小元素的值:

(11)

接著，計(jì)算剩余每個(gè)元素與該最小元素的距離立方和。因?yàn)镚為一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，且對(duì)角線上元素均為1，故可僅考慮G下三角元素。

(12)

式中：c=k-l，k、l分別代表為G的第k行和第l列。

導(dǎo)頻圖案設(shè)計(jì)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求解以下最優(yōu)化問(wèn)題：

(13)

從式(12)可以看出，求解式(13)僅與導(dǎo)頻位置索引集合Popt有關(guān)。而在N個(gè)空閑位置選擇P個(gè)確定位置是個(gè)組合優(yōu)化問(wèn)題，且子載波數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于導(dǎo)頻數(shù)，即N?P，故窮盡所有可能導(dǎo)頻位置去選擇最優(yōu)位置解是不切實(shí)際的，可通過(guò)導(dǎo)頻搜索算法尋找次優(yōu)解，盡可能地接近最優(yōu)解。

3 基于樹(shù)的順序替換導(dǎo)頻間隔搜索算法

現(xiàn)有導(dǎo)頻搜索算法都從導(dǎo)頻位置考慮。文獻(xiàn)[10]采用基于并行樹(shù)的循序替換導(dǎo)頻位置搜索算法，即在每一個(gè)導(dǎo)頻位置上都循環(huán)遍歷所有可能取值，并分別計(jì)算其互相關(guān)值，若子載波數(shù)量N較大，將會(huì)造成導(dǎo)頻搜索時(shí)長(zhǎng)過(guò)長(zhǎng)。

由文獻(xiàn)[4]附錄可得，適當(dāng)?shù)膶?dǎo)頻間隔能擁有較好的互相關(guān)值，過(guò)大或過(guò)小的導(dǎo)頻間隔都會(huì)影響估計(jì)質(zhì)量。根據(jù)2.2節(jié)提出的新導(dǎo)頻圖案設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，本文從導(dǎo)頻間隔角度考慮導(dǎo)頻圖案位置，提出一種新的導(dǎo)頻搜索算法，即基于樹(shù)的順序替換導(dǎo)頻間隔搜索算法。算法具體步驟如下：

初始化：設(shè)樹(shù)的數(shù)量為Ntree=M1，存活分枝數(shù)量為Nsuv=M2；導(dǎo)頻數(shù)量Np，OFDM子載波數(shù)目N，根節(jié)點(diǎn)號(hào)l=1。

Step1 根節(jié)點(diǎn)號(hào)為l，從N個(gè)子載波中隨機(jī)挑選Np個(gè)位置，得到一組導(dǎo)頻圖案P作為初始導(dǎo)頻圖案。

Step3 選擇存活分枝。根據(jù)式(12)計(jì)算所有新生成導(dǎo)頻圖案對(duì)應(yīng)的ξ值，升序排列所有ξ值，選擇前M2個(gè)導(dǎo)頻圖案PM2作為下一次替換父節(jié)點(diǎn)。令存活分枝序號(hào)j=1，m=m+1。

Step5 判斷是否替換完所有存活分枝。若j滿足為M2，則一共至多可以產(chǎn)生M2×((a+70)-(a+5)+1)個(gè)新的導(dǎo)頻圖案，并繼續(xù)執(zhí)行Step 6；若不滿足，則使得j=j+1，并返回Step 4。

Step6 根據(jù)式(12)計(jì)算新的M2×((a+70)-(a+5)+1)個(gè)導(dǎo)頻圖案對(duì)應(yīng)的ξ值，升序排列所有ξ值，選擇前M2個(gè)導(dǎo)頻圖案PM2作為下一個(gè)位置替換父節(jié)點(diǎn)。

Step7 判斷是否替換完所有導(dǎo)頻位置。若m滿足為Np，則記錄當(dāng)前最小ξ值及其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)頻圖案Pl，并繼續(xù)執(zhí)行Step 8；若不滿足，則使j=1，m=m+1并返回Step 4繼續(xù)循環(huán)。

Step8 判斷是否循環(huán)完所有樹(shù)。若l滿足為M1，則繼續(xù)執(zhí)行Step 9；若不滿足，則執(zhí)行l(wèi)=l+1并返回Step 1。

Step9 輸出結(jié)果。從M1個(gè)可選圖案P1,P2,…,PM1中選擇最小ξ值對(duì)應(yīng)的導(dǎo)頻圖案Popt作為最優(yōu)導(dǎo)頻圖案。

圖1 二分支樹(shù)結(jié)構(gòu)

4 仿真分析

4.1 均方誤差和誤碼率比較

圖2 不同導(dǎo)頻設(shè)計(jì)中的誤碼率

圖3 不同導(dǎo)頻設(shè)計(jì)中的均方誤差

由仿真結(jié)果可得，在導(dǎo)頻數(shù)較少的條件下，通過(guò)傳統(tǒng)的LS算法恢復(fù)得到的信道估計(jì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如基于壓縮感知的信道估計(jì)；在基于壓縮感知的信道估計(jì)中，等間隔均勻?qū)ьl并不是最優(yōu)的，傳統(tǒng)導(dǎo)頻搜索算法與文獻(xiàn)[6]提出的SSS算法均采用采樣矩陣最小互相關(guān)準(zhǔn)則，通過(guò)該準(zhǔn)則選取出來(lái)的導(dǎo)頻位置能夠比均勻?qū)ьl更好地估計(jì)出真實(shí)信道；與采樣矩陣最小互相關(guān)準(zhǔn)則相比，采用新準(zhǔn)則設(shè)計(jì)出的導(dǎo)頻圖案信道估計(jì)均方誤差更低，在相同的誤碼率情況下最多能夠節(jié)省約4 dB信噪比,與基于壓縮感知的均勻?qū)ьl信道估計(jì)相比信道估計(jì)均方誤差減小約16 dB；與文獻(xiàn)[10]提出的算法相比，本文算法誤碼率和均方誤差曲線均略低于文獻(xiàn)[10]算法，然而兩者性能相差很小，算法曲線近乎一致，最大僅有約0.1 dB性能差距。在復(fù)雜度方面，本文算法的計(jì)算復(fù)雜度更低，算法效率上具有相對(duì)優(yōu)勢(shì)。仿真結(jié)果表明，與其他采樣矩陣評(píng)價(jià)準(zhǔn)則相比，本文提出的最小互相關(guān)距離立方和準(zhǔn)則能夠得到更優(yōu)的信道估計(jì)質(zhì)量。

4.2 不同導(dǎo)頻搜索算法性能比較

為了比較不同導(dǎo)頻搜索算法之間的性能差異，本節(jié)從ξ值優(yōu)化結(jié)果和導(dǎo)頻優(yōu)化效率兩個(gè)方面分析評(píng)價(jià)。由于考慮到實(shí)驗(yàn)結(jié)果會(huì)受循環(huán)次數(shù)的影響，外循環(huán)次數(shù)設(shè)置為1，初始導(dǎo)頻均為[14,16,21,23,77,84,122,126,170,172,174,175,176,191,221,224,282,366,373,386,423,426,432,436]，待替換導(dǎo)頻個(gè)數(shù)為24個(gè)。從圖4可以看出，兩種導(dǎo)頻搜索算法在前一半導(dǎo)頻位置時(shí)ξ值收斂速度較快；隨著導(dǎo)頻不斷替換更新，在后一半導(dǎo)頻位置中ξ值收斂速度逐漸放緩。從第8個(gè)導(dǎo)頻位置處開(kāi)始，本文提出的新算法仍能保持較大的收斂趨勢(shì)，與文獻(xiàn)[6]提出的SSS算法相比，能夠找到更小的ξ值。

圖4 不同導(dǎo)頻搜索算法中ξ值的下降曲線

導(dǎo)頻搜索效率關(guān)鍵在于導(dǎo)頻搜索算法時(shí)長(zhǎng)，每一個(gè)待替換導(dǎo)頻都需計(jì)算一次ξ值。為了保證算法公平，SSS算法外循環(huán)次數(shù)和TSS算法樹(shù)個(gè)數(shù)均為M1，SSS算法內(nèi)循環(huán)次數(shù)和TSS算法存活分枝個(gè)數(shù)均為M2。不同算法優(yōu)化后的ξ值及運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)如表1所示。從表1可得，與SSS算法相比，本文算法的收斂速度更快，且能獲得更小的ξ值。綜合導(dǎo)頻優(yōu)化效率和ξ值優(yōu)化結(jié)果，本算法具有更優(yōu)的導(dǎo)頻搜索能力。

表1 不同算法優(yōu)化后的ξ值及運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)

4.3 互相關(guān)準(zhǔn)則運(yùn)算選擇比較

為了確定哪種運(yùn)算更加符合導(dǎo)頻準(zhǔn)則，利用5 000組不同導(dǎo)頻集合仿真獲得在不同信噪比條件下的MSE，并對(duì)每個(gè)導(dǎo)頻在5 dB到20 dB內(nèi)的所有MSE取平均。將5 000組不同導(dǎo)頻集合對(duì)應(yīng)的最小平均MSE按順序排序，選擇前10個(gè)導(dǎo)頻集合，其對(duì)應(yīng)序號(hào)分別為2540，956，1937，979，320，199，261，3588，2643，1233。同時(shí)將這5 000組導(dǎo)頻集合分別采用和、平方和、立方和與四次方和運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，順序排列所有互相關(guān)值，取前10個(gè)最小互相關(guān)值的序號(hào)，將這些序號(hào)與最小平均MSE序號(hào)相一致的序號(hào)列在表2中。從表2可以得出，立方和與四次方和都能夠與最小平均MSE序號(hào)保持較好的一致性，而在復(fù)雜度上，四次方和的計(jì)算量較大，因此選擇立方和作為準(zhǔn)則較為合適。

表2 不同運(yùn)算與具有最小平均MSE相重合的序號(hào)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)基于CS的OFDM稀疏信道估計(jì)中的導(dǎo)頻設(shè)計(jì)問(wèn)題，提出新的采樣矩陣互相關(guān)定義和導(dǎo)頻設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。不同于傳統(tǒng)互相關(guān)準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則能夠更好地反映采樣矩陣全局相關(guān)性。同時(shí)，本文在基于樹(shù)的循序?qū)ьl位置搜索算法的基礎(chǔ)上，考慮了相鄰導(dǎo)頻之間的間隔關(guān)系，提出一種新的基于樹(shù)的順序替換導(dǎo)頻間隔搜索算法。仿真結(jié)果表明，本文算法能夠在較短的時(shí)間內(nèi)快速收斂到更小的互相關(guān)值，通過(guò)該算法所搜索得到的導(dǎo)頻應(yīng)用于信道估計(jì)中具有更小的誤碼率和均方誤差。

本文的采樣矩陣是傅里葉采樣矩陣，下一步將研究高斯矩陣、伯努利矩陣等作為采樣矩陣時(shí)如何準(zhǔn)確評(píng)價(jià)采樣矩陣的重建性能的問(wèn)題。