張伶霞

(首都師范大學(xué)物理系 北京 100048)

1 問題的提出

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)最為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，也是中學(xué)物理教學(xué)難度較大的一種運(yùn)動(dòng).其中一個(gè)重要原因是根據(jù)振動(dòng)圖像獲得振動(dòng)規(guī)律的教學(xué)實(shí)施存在困境.新、舊兩版教材在“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”一節(jié)中均提出了兩種方法：

方法一，經(jīng)驗(yàn)公式法，即根據(jù)振動(dòng)圖像猜想彈簧振子的位移與時(shí)間的關(guān)系滿足正弦函數(shù)關(guān)系，測(cè)量曲線的振幅和周期，根據(jù)數(shù)學(xué)課中已經(jīng)學(xué)過的正弦函數(shù)有關(guān)知識(shí)，寫出對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)表達(dá)式，然后在曲線中選小球的若干位置，用刻度尺在圖中測(cè)量它們的縱坐標(biāo)(位移)獲得測(cè)量值，再將每個(gè)位移對(duì)應(yīng)的振動(dòng)時(shí)間代入到寫出的正弦函數(shù)表達(dá)式中，求出位移的計(jì)算值，比較測(cè)量值與計(jì)算值，若近似相等，則這條曲線為正弦曲線.

方法二，圖像擬合法，即測(cè)量小球在各個(gè)位置的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，把測(cè)量值輸入計(jì)算機(jī)，作出曲線，看小球的位移-時(shí)間關(guān)系是否可以用正弦函數(shù)表示.

但新、舊兩版教材對(duì)方法二中“作出曲線后，如何證實(shí)小球的位移-時(shí)間關(guān)系滿足正弦函數(shù)?”的操作未作具體闡述，教學(xué)難以實(shí)施.

通過對(duì)一線中學(xué)物理教師進(jìn)行訪談發(fā)現(xiàn)，極少有教師采用過圖像擬合法獲得振動(dòng)規(guī)律，主要原因是沒有進(jìn)行正弦圖像擬合的工具.中學(xué)物理教師常通過Excel對(duì)圖像進(jìn)行擬合，但Excel無法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行三角函數(shù)的擬合.GoeGebra是一款綜合幾何和代數(shù)的數(shù)學(xué)軟件，可對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行繪圖，也可對(duì)三角函數(shù)圖形進(jìn)行擬合，解決了對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像進(jìn)行擬合的技術(shù)難題.

2 基于GoeGebra對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像進(jìn)行擬合

2.1 將振動(dòng)圖像轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)

我們以2018年人民教育出版社出版的普通高中教材《物理·選擇性必修1》(簡(jiǎn)稱“新教材”)中的彈簧振子頻閃照片為例.首先，將頻閃照片旋轉(zhuǎn)90°；然后，建立直角坐標(biāo)系，畫振動(dòng)圖像(即x-t圖)，如圖1所示；頻閃儀每隔0.05 s閃光一次，從而得到小球相鄰兩位置之間的時(shí)間間隔為0.05 s,從t=0時(shí)刻開始，用刻度尺測(cè)量圖片中各個(gè)時(shí)刻小球的位移，并記錄在Excel中，數(shù)據(jù)如表格1所示.

圖1 彈簧振子的頻閃照片

表1 振動(dòng)圖像(x-t圖)的數(shù)據(jù)

t/s0.550.600.650.700.750.800.850.900.951.00x/cm-0.40-1.05-1.70-2.10-2.40-2.60-2.45-2.10-1.65-1.05

2.2 代入數(shù)據(jù)進(jìn)行圖像擬合

打開GoeGebra經(jīng)典版軟件，點(diǎn)擊“表格區(qū)”，將Excel中記錄的各組時(shí)間和位移數(shù)據(jù)復(fù)制、粘貼到新建的表格區(qū)里；選中全部數(shù)據(jù)，點(diǎn)擊“點(diǎn)列”圖標(biāo)，繪制各個(gè)點(diǎn)，如圖2所示；在左下角“輸入…”框里輸入Fit指令，選擇Fitsin()，我們將點(diǎn)列修改為“Fitsin(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T)”,點(diǎn)擊回車鍵，即可生成x-t圖和擬合的正弦函數(shù)表達(dá)式g(x)=-0.06+2.49sin(5.83x+0.05)，如圖3所示，從而證實(shí)了彈簧振子模型中小球的位移-時(shí)間關(guān)系滿足正弦函數(shù).

圖2 繪制各點(diǎn)

圖3 繪圖和擬合正弦函數(shù)表達(dá)式

3 結(jié)束語

通過上面的實(shí)例可見，借助GoeGebra軟件對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像進(jìn)行擬合，解決了中學(xué)物理教師難以根據(jù)振動(dòng)圖像(x-t圖)利用擬合法獲得振動(dòng)規(guī)律的困境.GoeGebra軟件是一個(gè)結(jié)合了幾何、代數(shù)、微積分、數(shù)據(jù)表、圖形、統(tǒng)計(jì)和計(jì)算的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，同時(shí)具備處理代數(shù)和幾何的功能，在物理教學(xué)中具有直觀、簡(jiǎn)潔、生動(dòng)的特性，有待廣大物理教師進(jìn)一步開發(fā)利用[1].