【摘要】為了幫助學(xué)生順利完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)渡，各個(gè)版本高中數(shù)學(xué)新教材均設(shè)置了“預(yù)備知識(shí)”部分. 利用數(shù)學(xué)探究活動(dòng)分析框架，分析了三個(gè)版本高中數(shù)學(xué)新教材“預(yù)備知識(shí)”部分的微型探究活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)微型探究活動(dòng)的數(shù)量和種類較多、陳述性知識(shí)探究所占比重較大、開(kāi)放水平偏低、缺乏實(shí)驗(yàn)型探究方式. 建議增加模仿性數(shù)學(xué)應(yīng)用探究活動(dòng)、提升開(kāi)放水平;北師大版還應(yīng)提升微型探究活動(dòng)的數(shù)量和種類、蘇教版應(yīng)增加以“思想型”為完成方式的探究活動(dòng)，以更好落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)新教材;微型探究活動(dòng);預(yù)備知識(shí)

2020年秋季，全國(guó)有20多個(gè)省份開(kāi)始實(shí)施新課程，使用新教材. 為了幫助學(xué)生順利完成初高中學(xué)習(xí)的過(guò)渡，各個(gè)版本高中數(shù)學(xué)教材在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的指導(dǎo)下設(shè)置了“預(yù)備知識(shí)”部分，包括集合、常用邏輯用語(yǔ)、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式等內(nèi)容. “預(yù)備知識(shí)”部分關(guān)注的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要有數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)三種. 課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體＼[1＼]. 不過(guò)新教材中完整的數(shù)學(xué)探究欄目數(shù)量較少，如人教A版一共設(shè)置了兩處，分別是“用向量法研究三角形的性質(zhì)”和“楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用”，不能充分體現(xiàn)探究活動(dòng)的意義. 而各類數(shù)量眾多的“微型探究”活動(dòng)則可以貫穿新教材始終，能幫助學(xué)生了解概念和結(jié)論產(chǎn)生的過(guò)程，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 因此有必要比較不同版本新教材“預(yù)備知識(shí)”部分“微型探究”活動(dòng)的設(shè)置情況，并對(duì)教材編寫提出建議，以取長(zhǎng)補(bǔ)短，充分發(fā)揮各個(gè)版本新教材“預(yù)備知識(shí)”部分對(duì)高一新生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要作用.

1核心概念界定

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)與一般的探究類似：針對(duì)某個(gè)課題，發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問(wèn)題的思路與方案，通過(guò)自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.而微型數(shù)學(xué)探究指學(xué)生在一定指導(dǎo)下，經(jīng)歷猜想與驗(yàn)證的小型探究過(guò)程，是有指導(dǎo)的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng). 在教材中，其可以存在于教材中的知識(shí)引入、概念獲得、原理分析、問(wèn)題解決等環(huán)節(jié)＼[2＼]. 微型探究要滿足如下三個(gè)條件：①起點(diǎn)可以是真實(shí)問(wèn)題，也可以是數(shù)學(xué)問(wèn)題，還可以是數(shù)學(xué)結(jié)論;②終點(diǎn)是學(xué)生未知的知識(shí)或方法，學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng)經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過(guò)程;③關(guān)鍵點(diǎn)是科學(xué)探究方法與精神，即通過(guò)類比抽象和歸納概括方法推出某種可能性，并進(jìn)行驗(yàn)證. 驗(yàn)證的方法包括演繹推理，還包括在更多的例子中檢驗(yàn)猜想.

2新教材中微型數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的文本分析

迄今為止，我國(guó)高中數(shù)學(xué)新教材已經(jīng)有三個(gè)版本出版發(fā)行，包括人教A版、蘇教版和北師大版. 本研究使用內(nèi)容分析方法，依據(jù)劉云等人的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)分析框架＼[3＼]，從探究所在欄目、探究?jī)?nèi)容、開(kāi)放水平和探究方式四個(gè)方面對(duì)上述三個(gè)版本“預(yù)備知識(shí)”中的微型探究活動(dòng)進(jìn)行分析比較.

2.1呈現(xiàn)微型數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的欄目統(tǒng)計(jì)

微型探究任務(wù)可以出現(xiàn)在教材的“新知引入與呈現(xiàn)”“課后習(xí)題”“拓展”等部分. 但是不同版本教材對(duì)相似環(huán)節(jié)的命名有一定差異，如人教A版在“新知引入與呈現(xiàn)”部分設(shè)置的探究環(huán)節(jié)名稱多樣，有“思考”“觀察”“探究”以及沒(méi)有明確欄目名稱四種;而蘇教版在這個(gè)部分則設(shè)置了“思考”欄目以及沒(méi)有明確欄目名稱的形式引出探究任務(wù). 欄目具體分布情況如表1所示.

總體來(lái)看，人教A版和蘇教版新教材更傾向于引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)微型探究活動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí). 這是因?yàn)?，從?shù)量上看，北師大版微型探究性任務(wù)總數(shù)最少，僅為19處，低于人教A版的38處和蘇教版的31處;從種類上看，三個(gè)版本新教材在預(yù)備知識(shí)部分一共有9個(gè)小欄目設(shè)置微型探究任務(wù)，北師大版只安排了3個(gè)欄目，低于人教A版（7個(gè)）和蘇教版（6個(gè)）.

2.2微型數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的內(nèi)容類型

從內(nèi)容類型角度，微型數(shù)學(xué)探究活動(dòng)分為“數(shù)學(xué)知識(shí)的探究”和“應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的探究”兩類，其中“數(shù)學(xué)知識(shí)的探究”指向具體數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，又分為“陳述性知識(shí)探究”和“程序性知識(shí)探究”兩類. 陳述性知識(shí)探究指向數(shù)學(xué)陳述性知識(shí)的學(xué)習(xí)，而程序性知識(shí)探究則是對(duì)進(jìn)行某項(xiàng)操作活動(dòng)所需知識(shí)的探索. 如人教A版1.2節(jié)中“觀察”欄目要求學(xué)生觀察幾個(gè)例子，類比實(shí)數(shù)之間的相等與大小關(guān)系以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合的關(guān)系，是對(duì)數(shù)學(xué)概念的探究，屬于陳述性知識(shí)的探究活動(dòng);而人教A版2.1節(jié)中“思考”欄目要求類比等式的基本性質(zhì)，猜想不等式的基本性質(zhì)，并加以證明，則是通過(guò)探究活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷抽象、概括、猜想、驗(yàn)證的數(shù)學(xué)探究方法，屬于程序性知識(shí)的探究活動(dòng).

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的探究活動(dòng)指向數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，根據(jù)應(yīng)用的步驟是否已經(jīng)告訴學(xué)生，是否給學(xué)生提供了可供模仿的對(duì)象，將應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的探究活動(dòng)分為模仿性應(yīng)用和創(chuàng)造性應(yīng)用兩類. 如蘇教版習(xí)題3.3中的15題，首先提示學(xué)生可以將一元二次不等式求解問(wèn)題化歸為利用實(shí)數(shù)乘法法則推測(cè)因式符號(hào)的問(wèn)題，再要求學(xué)生嘗試用自己得出的方法求解其他一元二次不等式，是模仿性應(yīng)用的典型例子;而人教A版1.3節(jié)的“閱讀與思考”欄目中讓學(xué)生設(shè)計(jì)一種比較兩個(gè)無(wú)限集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法就屬于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造性應(yīng)用的探究，因?yàn)閷W(xué)生之前不知道如何比較無(wú)限集元素個(gè)數(shù)，沒(méi)有可供模仿的方法，需要提出猜測(cè)并加以證明才行.

根據(jù)上述分類，對(duì)三個(gè)版本高中數(shù)學(xué)新教材中微型探究性活動(dòng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表2所示.

在人教A版高中數(shù)學(xué)新教材的“預(yù)備知識(shí)”部分，探索數(shù)學(xué)知識(shí)的任務(wù)（0.63）多于應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的探究活動(dòng)（0.37）;在蘇教版中，兩者基本持平;但是北師大版探索數(shù)學(xué)知識(shí)（0.37）的任務(wù)卻少于應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的探究活動(dòng)（0.63）. 在數(shù)學(xué)知識(shí)的探究任務(wù)中，三個(gè)版本新教材中陳述性知識(shí)探究所占比重都比較大. 在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的探究活動(dòng)中，三個(gè)版本新教材中的模仿性應(yīng)用探究活動(dòng)均較少. 這一結(jié)果與劉云等人在“高中數(shù)學(xué)必修教科書中的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)分析”一文中對(duì)人教A版高中數(shù)學(xué)教材研究結(jié)果相反，可能由于本研究將教材中已經(jīng)明確告知學(xué)生解決問(wèn)題的步驟的任務(wù)排除在探究性任務(wù)之外，僅包含需要學(xué)生首先自主抽象出解決方法再加以應(yīng)用的任務(wù)，因此模仿性應(yīng)用探究活動(dòng)數(shù)量較少.

2.3微型數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的開(kāi)放水平

高中數(shù)學(xué)新教材中探究活動(dòng)的開(kāi)放水平分為4個(gè)層次：?jiǎn)栴}起始型、證據(jù)起始型、結(jié)論起始型、論證起始型. 如人教A版1.5節(jié)的“閱讀與思考”欄目要求學(xué)生梳理等腰三角形、直角三角形、平行四邊形的知識(shí). 相應(yīng)地，學(xué)生需要自行提出問(wèn)題：這些圖形相關(guān)命題的充分、必要條件是什么？并猜測(cè)結(jié)論、尋找證據(jù)、進(jìn)行論證，因此本探究任務(wù)屬于問(wèn)題起始型. 而人教A版1.4節(jié)的“探究”欄目要求學(xué)生給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件，是證據(jù)起始型的探究任務(wù). 人教A版1.4節(jié)的“思考”欄目：下列“若p，則q”形式的命題，哪些命題與它們的逆命題都是真命題，是結(jié)論起始型的探究任務(wù). 北師大版3.2節(jié)的“思考交流”欄目要求學(xué)生類比上述方法，說(shuō)明面積為16 cm2的所有不同形狀矩形中，邊長(zhǎng)為4 cm的正方形的周長(zhǎng)最小，則是論證起始型的探究任務(wù).

如表3所示，結(jié)論起始型的探究在每本教材中所占比例都最大，而問(wèn)題起始型的探究占比最少. 另外，按照探究任務(wù)的開(kāi)放水平，分別對(duì)問(wèn)題起始型、證據(jù)起始型、結(jié)論起始型、論證起始型賦值4、3、2、1，通過(guò)加權(quán)平均得出人教A版新教材的平均開(kāi)放水平2.16，高于北師大版的1.95和蘇教版的2.

2.4微型數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的完成方式

微型數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的完成方式，指在探究活動(dòng)中驗(yàn)證猜想所需要的方法類型. 其包括思想型探究活動(dòng)，如蘇教版1.2節(jié)的“思考”欄目，要求學(xué)生判斷AB與BA能否同時(shí)成立，學(xué)生單純依賴邏輯推理即可完成;觀察型探究活動(dòng)，如蘇教版1.2節(jié)的引入環(huán)節(jié)，要求學(xué)生觀察猜想第一組集合中集合A與B的關(guān)系，并在第二、三組中驗(yàn)證這一猜測(cè)，就是需在觀察基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象才能完成的探究活動(dòng);實(shí)驗(yàn)型探究活動(dòng)，需要通過(guò)操作實(shí)驗(yàn)、觀察抽象、并從收集的數(shù)據(jù)中驗(yàn)證假說(shuō).

從表4可知，三個(gè)版本新教材的“預(yù)備知識(shí)”部分中微型數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的完成以思想型最多，觀察型次之，實(shí)驗(yàn)型均沒(méi)有.

3思考與建議

3.1北師大版應(yīng)適當(dāng)增加探索數(shù)學(xué)知識(shí)的任務(wù)

如上所述，數(shù)學(xué)探究是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的核心載體，但是北師大版新教材的“預(yù)備知識(shí)”部分較不重視使用探究活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí). 首先，從整體視角來(lái)看，其設(shè)置的探究活動(dòng)的數(shù)量與欄目數(shù)量最少. 其次，北師大版新教材在呈現(xiàn)概念和原理時(shí)，很少設(shè)置探究性任務(wù)，往往首先給出若干個(gè)例子，緊接著給出確定的結(jié)論作為結(jié)尾，如圖1所示. 但是概念與原理是學(xué)習(xí)的核心和教學(xué)的重點(diǎn)，也是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的重要載體. 因此北師大版需要展示各種陳述性和程序性知識(shí)的探究過(guò)程、增加探索數(shù)學(xué)知識(shí)的任務(wù). 具體可參考蘇教版的做法（如圖2所示）：

在給出若干個(gè)具體例子之后，拋出探究性任務(wù)：你能說(shuō)出集合A、B、C之間的關(guān)系嗎？此外，教材還引導(dǎo)學(xué)生思考：首先抽象出例（1）的數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，并在例（2）和例（3）中驗(yàn)證這一猜測(cè)，最終順利完成一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的微型探究任務(wù).

3.2蘇教版應(yīng)適當(dāng)增加以“思想型”為完成方式的探究活動(dòng)

三個(gè)版本新教材“預(yù)備知識(shí)”部分的微型探究活動(dòng)均以“思想型”為主要完成方式，而且均沒(méi)有設(shè)置“實(shí)驗(yàn)型”的探究活動(dòng). 縱觀中學(xué)數(shù)學(xué)教材的探究活動(dòng)，以實(shí)驗(yàn)型作為完成方式的情況多見(jiàn)于使用信息技術(shù)手段驗(yàn)證，如人教A版5.5.1節(jié)中“利用信息技術(shù)制作三角函數(shù)表”. 而“預(yù)備知識(shí)”部分并沒(méi)有合適的探究?jī)?nèi)容可以使用信息技術(shù)，因此，三個(gè)版本在此部分均沒(méi)有出現(xiàn)以“實(shí)驗(yàn)型”作為探究活動(dòng)的完成方式. 但是人教A版和北師大版中以“思想型”為完成方式的探究活動(dòng)占比高于蘇教版. 考慮到初高中數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象程度不同，高中對(duì)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性要求更高＼[4＼]. 而通過(guò)觀察其他例子驗(yàn)證猜想的嚴(yán)謹(jǐn)性低于通過(guò)演繹性邏輯推理驗(yàn)證. 為此，蘇教版需要加大以“思想型”為完成方式的探究活動(dòng)比例，以符合高中數(shù)學(xué)“預(yù)備知識(shí)”部分對(duì)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的更高要求.

3.3三個(gè)版本均需增加模仿性數(shù)學(xué)應(yīng)用探究活動(dòng)，并提升開(kāi)放水平

在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的探究活動(dòng)中，三個(gè)版本新教材中模仿性應(yīng)用探究活動(dòng)的設(shè)置均較少：人教A版占0.03、北師大版占0.16，在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的四種內(nèi)容類型中均占比最少;蘇教版的模仿性數(shù)學(xué)應(yīng)用探究占比0.13，雖然不是最低比例，但依舊處于下游水平. 盡管創(chuàng)造性應(yīng)用探究活動(dòng)對(duì)學(xué)生問(wèn)題解決能力及創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)作用更大，但難度也更大. 而高難度的任務(wù)反而可能降低學(xué)習(xí)積極性. 考慮到安排“預(yù)備知識(shí)”的目的之一在于使學(xué)生在克服困難、掌握知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提高數(shù)學(xué)能力的過(guò)程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣＼[4＼]. 因此三個(gè)版本均應(yīng)該多設(shè)置一些難度稍低的模仿性數(shù)學(xué)應(yīng)用的探究活動(dòng)，讓高一學(xué)生經(jīng)歷抽象他人解決問(wèn)題方法的過(guò)程，并在更多的例子中驗(yàn)證自己抽象出的方法是否正確，這種數(shù)學(xué)應(yīng)用探究活動(dòng)的設(shè)置更能符合高一學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)以及教材安排“預(yù)備知識(shí)”的目的.

此外，對(duì)三個(gè)版本教材中微型數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的開(kāi)放水平分析表明，結(jié)論起始型居多，問(wèn)題起始型最少，說(shuō)明教材給學(xué)生提供的探究空間并不大. 這一結(jié)論與劉云在2012年得出的研究結(jié)論類似，也說(shuō)明新教材“預(yù)備知識(shí)”部分在探究開(kāi)放水平這方面并未有所改進(jìn). 但是只有問(wèn)題起始型探究活動(dòng)能提供完整的科學(xué)探究過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，因此三個(gè)版本教材應(yīng)注重對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)開(kāi)放水平的提升，在“閱讀與思考”等環(huán)節(jié)設(shè)置以數(shù)學(xué)問(wèn)題提出為起點(diǎn)的探究活動(dòng).

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作者簡(jiǎn)介褚小婧（1984—），女，安徽靈璧人，教育學(xué)博士，副教授;主要研究數(shù)學(xué)教育學(xué);主持省級(jí)和校級(jí)教學(xué)科研課題8項(xiàng)，發(fā)表論文10余篇.