吳朝俊 ,祁永偉 ,劉 璋 ,楊寧寧

(1.西安工程大學 電子信息學院,陜西 西安 710048;2.西安理工大學 電氣工程學院,陜西 西安 710048)

20 世紀70 年代,由科學家蔡少棠[1]提出了一種描述電荷量與磁通量關(guān)系的非線性電路元件(憶阻器),該元件成為了除電阻、電容和電感之外的第四種基本電路元件。自2008 年Hewlett-Packard(HP)實驗室的研究員Strukov 等[2]成功研制出憶阻器實物以后,憶阻器的研究與應用受到了來自不同研究領(lǐng)域?qū)＜液蛯W者們的極大關(guān)注。目前,憶阻器被廣泛應用到人工智能[3-4]、神經(jīng)網(wǎng)絡[5-8]、電子芯片[9-10]、混沌電路[11-14]等不同領(lǐng)域中。一般來說,若一個電路端口的伏安特性符合文獻[15]中所描述的三個基本特性,則該器件可以定義為憶阻器。文獻[16]提出了一種由二極管橋級聯(lián)一個RC 濾波器的廣義憶阻器,通過利用不同周期激勵下的收縮磁滯回線,對憶阻器的特性進行分析研究。文獻[17]提出了基于二極管橋和串聯(lián)RL 濾波器的憶阻電路模型,通過建立相應的數(shù)學模型以及實驗驗證,表明該電路模型符合憶阻器的基本特性,為實際的電路設計與應用提供了基礎。

憶阻器具有記憶特性以及非線性特性,因此很適合用于構(gòu)造具有復雜結(jié)構(gòu)的混沌電路,并且基于憶阻器的混沌電路通?？梢员憩F(xiàn)出相對復雜的動力學特性。例如,文獻[18]提出了一個基于有源憶阻器的最簡單的混沌電路。文獻[19]通過平滑磁通控制型憶阻器代替蔡氏電路中的二極管,構(gòu)成了新型的憶阻混沌電路。文獻[20]報道了具有無限多個穩(wěn)定平衡點的四維憶阻混沌電路,并分析了電路中表現(xiàn)出的復雜動力學特性。

過去對于憶阻混沌電路的研究大多都是基于整數(shù)階的電路模型,對于分數(shù)階憶阻混沌電路的報道較少。而分數(shù)階微積分是一種研究任意階次微分與積分算子的數(shù)學理論,有關(guān)研究表明,分數(shù)階微分方程能夠更加準確地描述自然現(xiàn)象,因此將憶阻混沌電路推廣到分數(shù)階可以得到更精確的電路模型。

為了研究分數(shù)階憶阻器的電路特性,本文建立了一種由二極管橋級聯(lián)RLC 濾波器的分數(shù)階廣義憶阻器,并對分數(shù)階憶阻器的動態(tài)特性進行了分析。進一步,在蔡氏振蕩器的電路模型基礎上,將分數(shù)階廣義憶阻器模型引入到振蕩器中,并將電路模型中的所有動態(tài)器件推廣到分數(shù)階次,建立了分數(shù)階憶阻混沌電路模型。通過研究電路參數(shù)對系統(tǒng)動力學的影響,表明了分數(shù)階系統(tǒng)具有復雜的動力學行為。最后,在PSpice 中搭建了分數(shù)階憶阻混沌電路的等效電路模型,并進行仿真實驗,實現(xiàn)了基于分數(shù)階廣義憶阻器的混沌電路。

1 基于分數(shù)階廣義憶阻器的混沌電路

1.1 分數(shù)階微積分理論

分數(shù)階微分算子的三種常用的定義是Grunwald-Letnikov(GL),Riemann-Liouville(RL)和Caputo 定義。在零初始條件下,Caputo 定義的分數(shù)階導數(shù)和整數(shù)階微分具有相同的形式,并且具有明確的物理意義,適合工程問題的求解,本文的分數(shù)階模型都采用Caputo 定義的微分算子。Caputo 定義的分數(shù)階導數(shù)為:

式中:n表示正整數(shù);t表示時間變量;τ表示積分自變量;q表示分數(shù)階階次;表示函數(shù)f(t)的q階Caputo 微分算子;f(n)(t)表示f(t)的n階導數(shù);Γ 表示Gamma 函數(shù),它的表示形式為:

Caputo 分數(shù)階導數(shù)的Laplace 變換可以表示為:

式中:S表示復頻率;k表示正整數(shù)變量。

通過式(3)可以看出分數(shù)階導數(shù)只涉及函數(shù)f(t)及其整數(shù)階導數(shù)的初值。當函數(shù)f(t)的初始值為0 時,公式(3)可以簡化為:

1.2 分數(shù)階廣義憶阻器模型

文獻[21]提出了一種由電容、電感和二極管橋構(gòu)成的廣義憶阻器,其電路結(jié)構(gòu)如圖1 所示。從圖1 可以看出,該憶阻器電路由四個二極管、一個電感和一個電容構(gòu)成。其電路結(jié)構(gòu)簡單,可以用一個電路實現(xiàn)。其中圖1(a)表示憶阻器的電路模型,圖1(b)表示憶阻器的等效符號。

圖1 廣義憶阻器模型Fig.1 Generalized memristive model

實際中的電容和電感都表現(xiàn)為分數(shù)階特性,本文在圖1 的廣義憶阻器電路模型基礎上,將電容和電感擴展到分數(shù)階次,并且并聯(lián)一個電阻與二極管橋電路構(gòu)成一種分數(shù)階廣義憶阻器,其電路等效模型如圖2所示。

圖2 分數(shù)階廣義憶阻器模型Fig.2 Fractional-order generalized memristive model

對于圖2 所示的分數(shù)階廣義憶阻器電路模型,根據(jù)電路原理以及基爾霍夫定律,其數(shù)學模型可以表示為:

式中:r=1/(2nVT),其中n和VT分別表示二級管的發(fā)射系數(shù)和熱電壓;Is表示二極管的反向飽和電流;vin和iin分別表示二極管的輸入電壓和輸入電流。本文將二極管參數(shù)設置為Is=2.682 nA,n=1.836,VT=25 mV。

根據(jù)上面建立的數(shù)學模型,通過Matlab 軟件進行數(shù)值仿真,驗證分數(shù)階廣義憶阻器的本質(zhì)特征以及動態(tài)特性。這里給定一個正弦激勵信號vin=Vmsin(2 πft),并將分數(shù)階電容和電感設置為Lq=170 mH,Cq=4.7 nF,電阻值為R=1000 Ω。當輸入信號的幅值為Vm=1.5 V,頻率分別為500,1000 和2000 Hz 時,可以得到q=0.97 階下憶阻器的緊磁滯回線,如圖3(a)所示。從圖3(a)可以看出,分數(shù)階憶阻器上的電壓電流關(guān)系軌跡圖是通過原點收縮的回線,并且隨著頻率的增大,緊磁滯回線包圍的面積將變小,當頻率無窮大時,形成一條非線性的單值函數(shù)。同樣地,為了驗證分數(shù)階次對憶阻器的影響,頻率定為1000 Hz (其他參數(shù)不變),繪制出憶阻器在不同分數(shù)階次下的緊磁滯回線,如圖3(b)所示。不難發(fā)現(xiàn),分數(shù)階階次對憶阻器的動態(tài)特性有一定的影響,并且在相同參數(shù)下,隨著分數(shù)階階次的減小,緊磁滯回線包圍的旁瓣面積會逐漸變大。

圖3 分數(shù)階廣義憶阻器的緊磁滯回線Fig.3 Tight hysteresis loop of the fractional-order generalized memristor

1.3 分數(shù)階憶阻混沌電路建模

本文采用分數(shù)階廣義憶阻器替換掉蔡氏振蕩器中的蔡氏二極管,并且將蔡氏振蕩器中的非線性元件用分數(shù)階的電容和電感表示,組合成一種新型的分數(shù)階憶阻混沌電路。分數(shù)階電路等效模型如圖4 所示?？梢园l(fā)現(xiàn),該系統(tǒng)中包括七個電路元件,其中分數(shù)階元件就有四個,它們分別是兩個分數(shù)階電容與、一個分數(shù)階電感Lq和一個分數(shù)階憶阻器Mq,其他元件為兩個線性電阻和一個負電導。根據(jù)圖4,可以寫出分數(shù)階憶阻混沌電路的數(shù)學模型如下:

圖4 分數(shù)階廣義憶阻混沌電路Fig.4 Fractional-order generalized memristor-based chaotic circuit

式中:vc1和vc2分別表示兩個分數(shù)階電容和上的電壓;i3表示分數(shù)階電感上的電流;vc表示憶阻器負載中的分數(shù)階電容Cq上的電壓;iL表示憶阻器負載中的分數(shù)階電感Lq上的電流;R表示憶阻器的內(nèi)阻。

根據(jù)上面建立的數(shù)學模型,在MATLAB 軟件中對模型進行數(shù)值仿真。將系統(tǒng)的參數(shù)值設置為電容=0.01 nF,電容=0.1 nF,電感=30 mH,電阻R1=2 Ω,電阻R=1800 Ω,電導G=0.6667 mS,分數(shù)階廣義憶阻器的參數(shù)保持不變。在系統(tǒng)初始值為(0.1,0.1,0,0,0)的情況下,通過求解系統(tǒng)在階次q=0.97時的數(shù)值解,可以繪制出系統(tǒng)的相位圖,如圖5 所示。由相位圖可以看出,分數(shù)階系統(tǒng)的運動軌跡具有不確定性,表明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖5 分數(shù)階憶阻混沌電路在不同平面上的相位圖Fig.5 Phase diagrams of fractional-order memristor chaotic circuits on different planes

1.4 分數(shù)階憶阻混沌電路建模

1.4.1 分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性

為了研究分數(shù)階憶阻混沌電路的動力學行為,這里對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析。首先求解系統(tǒng)的平衡點,將上面系統(tǒng)的方程公式(6)設置為0,通過整理簡化后,則方程組變?yōu)槿缦碌男问?

顯然,分數(shù)階憶阻混沌電路只有一個平衡點,即Q1=(0,0,0,0,0)。在Q1處的雅可比矩陣為:

這里,通過對Jacobian 矩陣進一步處理,可以得到在平衡點Q1處的特征值為:

可以看出計算得到的特征值有一個正的實根,由分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論[22],可以判斷該平衡點為指數(shù)為1 的不穩(wěn)定的鞍點。

1.4.2 分數(shù)階系統(tǒng)的動力學行為

為了研究憶阻器參數(shù)對分數(shù)階憶阻混沌系統(tǒng)的動力學行為的影響,這里選擇將憶阻器中的分數(shù)階電感Lq的值作為變量,當系統(tǒng)的其他參數(shù)都不變,分數(shù)階電感Lq的參數(shù)值從140 mH 增加到200 mH 時,可以得到系統(tǒng)的分岔圖如圖6 所示。

從圖6 可以看出,隨著參數(shù)值Lq的改變,系統(tǒng)可以表現(xiàn)出周期和混沌兩種不同的狀態(tài)。當分數(shù)階電感的值的變化范圍是140 mH

圖6 分數(shù)階電感Lq變化的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram changed with fractional-order inductance Lq

圖7 分數(shù)階系統(tǒng)在不同電感Lq 時的相位圖Fig.7 Phase diagrams of fractional-order systems changed with inductance Lq

2 分數(shù)階憶阻混沌電路的等效實現(xiàn)

2.1 分數(shù)階電感電容的建模

為了實現(xiàn)分數(shù)階廣義憶阻混沌電路,需要建立分數(shù)階電容和分數(shù)階電感的等效電路模型。這里采用樹型結(jié)構(gòu)的分數(shù)階模型來等效實現(xiàn)電容和電感,其實現(xiàn)原理主要是通過Oustaloup[23]濾波算法獲得分數(shù)階模塊的傳遞函數(shù),然后把傳遞函數(shù)化簡為零極點的形式,并且通過電阻和電容或者電感進行串并聯(lián)從而等效實現(xiàn)。分數(shù)階電容和分數(shù)階電感的實際等效電路如圖8所示。

圖8 分數(shù)階電容和分數(shù)階電感等效實現(xiàn)Fig.8 Equivalent realization of fractional-order capacitor and fractional-order inductor

通過圖8 所示的分數(shù)階等效電路模型,分別可以得到分數(shù)階電容和分數(shù)階電感的等效電路表達式:

在分數(shù)階憶阻混沌電路中,根據(jù)式(10)和式(11)可以計算出分數(shù)階電容和分數(shù)階電感的具體參數(shù)值。當分數(shù)階階次q=0.97 時,通過計算可以得到分數(shù)階電感Lq=170 mH,=30 mH 以及分數(shù)階電容Cq=4.7 nF,=0.01 nF,=0.1 nF 的等效電路參數(shù)值,如表1～4 所示。

表1 q=0.97 時分數(shù)階電容的等效電阻參數(shù)Tab.1 The equivalent resistance parameter of fractional capacitance at q=0.97

2.2 分數(shù)階電路仿真

通過上一節(jié)對分數(shù)階電容和分數(shù)階電感建模,以及對分數(shù)階憶阻混沌電路中的電容和電感的求解(具體的數(shù)值已列出),本節(jié)將通過PSpice 軟件實現(xiàn)對分數(shù)階廣義憶阻混沌電路的仿真。在PSpice 軟件中將分數(shù)階電容和分數(shù)階電感按圖8 中的等效電路模型進行搭建。此外,電路中的二極管選擇型號為IN4148 的二極管,并且將圖4 中的負電導G用一個1500 Ω 的負電阻進行代替。在PSpice 軟件中建立的分數(shù)階等效電路模型如圖9 所示,通過電路仿真,可以得到分數(shù)階憶阻混沌電路的相位圖如圖10 所示。從仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),分數(shù)階電路仿真的結(jié)果與數(shù)值仿真的結(jié)果基本一致,從而驗證了理論分析的正確性以及分數(shù)階憶阻混沌電路的實用性。

圖9 PSpice 中分數(shù)階憶阻混沌電路模型Fig.9 Model of fractional-order memristor-based chaotic circuit in PSpice

圖10 PSpice 電路仿真結(jié)果Fig.10 Circuit simulation results in PSpice

表2 q=0.97 時分數(shù)階電容的等效電容參數(shù)Tab.2 The equivalent capacitance parameter of fractional capacitance at q=0.97

表3 q=0.97 時分數(shù)階電感的等效電阻參數(shù)Tab.3 The equivalent resistance parameter of fractional inductor at q=0.97

表4 q=0.97 時分數(shù)階電感的等效電感參數(shù)Tab.4 The equivalent inductor parameter of fractional inductor at q=0.97

3 結(jié)論

憶阻器作為一種非線性器件,在混沌電路中的應用具有重要的意義。由于分數(shù)階微積分對實際電路的描述更加準確,本文提出了一種新型的分數(shù)階廣義憶阻器。通過建立分數(shù)階憶阻器的數(shù)學模型,并在Matlab 中進行數(shù)值仿真,對分數(shù)階憶阻器的特性進行了驗證分析。然后,結(jié)合蔡氏振蕩器,構(gòu)建了一種基于分數(shù)階憶阻器的混沌電路,并將電路中的所有電容與電感推廣到了分數(shù)階次。通過改變分數(shù)階混沌電路中的系統(tǒng)參數(shù),并結(jié)合分岔圖與相圖等,對分數(shù)階系統(tǒng)的動力學特性進行了分析。最后,建立了分數(shù)階電容與電感的等效電路模型,并在PSpice 中建立了分數(shù)階憶阻混沌電路的分數(shù)階電路模型。通過電路仿真,得到相應的相圖。電路仿真實驗結(jié)果與數(shù)值仿真分析基本一致,表明了分數(shù)階憶阻混沌電路的可實現(xiàn)性,對實際工程中的設計與應用具有重要的參考意義。