丁恩培

在正弦函數(shù) y = A sin（ωx + φ） 中，A 為振幅，它與y = A sin（ωx + φ） 一個周期中的波峰、波谷有關；ω 為頻率，與 y = A sin（ωx + φ） 的周期 T 相關，即 ω = 2πT ；φ 為初相，在一定程度上影響著 y = A sin（ωx + φ） 的對稱軸、零點.根據(jù)圖象求正弦函數(shù) y = A sin（ωx + φ） 的解析式，關鍵在于求 A，ω，φ 的值.

1.求 A .可通過觀察函數(shù) y = A sin（ωx + φ） 的圖象，找出圖象在一個周期內的波峰、波谷，以確定最高點和最低點的縱坐標，二者之差的一半即為A（A>0）.

2.求 ω .根據(jù)函數(shù)的圖象確定了 y = A sin（ωx + φ）的周期 T ，即可根據(jù)公式 ω = 2πT 求得 ω 的值.而 T 的值可根據(jù)對稱軸之間的距離、最值點與最低點的橫坐標之間的距離、對稱中心之間的距離來求得.一般地，相鄰的兩條對稱軸之間的距離為函數(shù)周期的 14 ；相鄰的兩個對稱中心之間的距離為函數(shù)周期的 12 ；最高點與最低點的橫坐標之間的距離為函數(shù)周期的 12 .

3.求 φ .根據(jù)圖象一般不易得出 φ 的值，通常需將曲線上的點代入函數(shù)式中進行求解，同時要注意題目中對 φ 的限制條件.

在一般情況下，需先求得A、ω ，最后再求 φ .

例 1.圖 1 為函數(shù) f （x） = A sin（ωx + φ） （ω > 0，0 ≤ φ≤ π

2 ） 的部分圖象，其中 A，B 兩點之間的距離為 5，求該函數(shù)的解析式.

解答本題，需先根據(jù)圖象中的最高點、最低點，確 定振幅 A 以及函數(shù)圖象的半個周期，進而求得 A、ω 的值；再將特殊點（0，1）代入函數(shù)式中，即可求得 φ 的 值.在求 φ 時，通常要優(yōu)先選擇最值點，將其代入求解. 因為利用最值點計算出的 φ 值往往是唯一的，不會出 現(xiàn)多解的情況.

例2.如圖2，函數(shù) y = A sin（ωx + φ）（A > 0，0 < φ < 2π） 的圖象經(jīng)過點 ? è ? ? -π 6 ，0 ，? è ? ? 7π 6 ，0 ，且該函數(shù)的最大值為 2 、最小值為 -2 ，則該函數(shù)的解析式為（ ）.

根據(jù)該圖象，可以快速確定最高點、最低點，求得 A 的值；對于 ω 的值，需將先在圖象上確定兩個零點 的位置，進而確定這兩點間的距離與函數(shù)周期之間的 關系.在求 φ 時，需根據(jù) y = A sin（ωx + φ） 圖象中零點 的位置確定最值點的橫坐標，再將其代入函數(shù)式中進 行求解.

例3.已知函數(shù) y = A sin（ωx + φ） + m（A > 0，0 < φ < π 2 ） 的最大值為4，最小值為0，兩條對稱軸之間的最短距 離為 π 2 ，直線 x = π 6 是其圖象的一條對稱軸，則函數(shù) 的解析式為______.

本題中沒有給出最值點的坐標，我們需從對稱軸 x = π 6 入手，根據(jù)函數(shù)的對稱軸 2?π 6 + φ = π 2 + kπ（k ∈ Z） 求得 φ 的值.這就要求我們熟記函數(shù) y=Asin（ωx+φ）的 對稱軸為 x = kπ ω - φ ω + π 2ω ，對稱中心為 ? è ? ? ? ÷ kπ ω - φ ω，0 .

由圖象求正弦函數(shù)的解析式，我們需熟練掌握 f （x） = sin x 的圖象、對稱軸、周期、對稱中心、最值點， 將其與 y = A sin（ωx + φ） 的圖象、對稱軸、周期、對稱中 心、最值點相對應，據(jù)此建立關系式，這樣往往能事半 功倍.

（作者單位：甘肅省天水市秦州區(qū)平南中學）