康志林, 王志煥

(1.華僑大學 經(jīng)濟與金融學院,福建 泉州 362021; 2.華僑大學 數(shù)學科學學院,福建 泉州 362021; 3.金融數(shù)學福建省高校重點實驗室(莆田學院),福建 莆田 351100)

0 引言

自Markowitz的均值-方差模型誕生以來，理性投資者通常有兩個目標：最大化收益和最小化風險。根據(jù)Markowitz組合投資理論，給定收益水平，通過最小化投資組合的方差可以獲得最低風險；或給定投資者可以容忍的風險水平，通過最大化期望收益可以獲得最高收益。除方差外，學者們從不同角度給出了投資組合風險度量方式，主要分為兩類：一類是基于偏差-風險測度。如，Minimax風險測度[1]、下偏矩風險測度[2]。另一類是基于概率(分位數(shù))-風險測度。如，在險價值(VaR)[3]。

在實際投資決策中，由于單期組合投資自身的局限性，自然地將經(jīng)典的Markowitz均值-方差模型推廣到多期情形，其中最具代表性的工作是Li和Ng[4]。此外，對投資者而言，要確認她的財富受益于多期投資組合策略，特別重要的一點是，在到達投資期限之前避免破產(chǎn)事件的發(fā)生。因此，破產(chǎn)風險控制是最優(yōu)動態(tài)資產(chǎn)組合選擇過程中需要考慮的一個重要因素。Zhu[5]提出了拓展的均值-方差模型，借以幫助投資者在收益-風險權衡意義下獲得最優(yōu)回報，且對破產(chǎn)具有良好的風險控制。Bielecki等[6]在連續(xù)時間框架下研究了破產(chǎn)控制約束下具有隨機參數(shù)的均值-方差投資組合選擇問題。在假定風險資產(chǎn)隨機收益取決于隨機市場的狀態(tài)，并遵循馬爾可夫鏈條件下，Wei和Ye[7]考慮了隨機市場中帶破產(chǎn)約束的多階段均值-方差投資組合模型。徐維軍等[8]基于可信性測度理論，根據(jù)Roy的定義給出了未來現(xiàn)金流量隸屬三角模糊變量的控制破產(chǎn)風險的數(shù)學表達式，并構建了項目投資過程中受到破產(chǎn)風險因素影響的含破產(chǎn)風險約束的多項目投資組合決策模型。同樣，Zhang和Liu[9]利用可信度理論，提出了具有破產(chǎn)控制的多階段模糊投資組合選擇的均值-方差模型。最近，Li等[10]研究了具有交易成本和破產(chǎn)約束的三階段不確定多期投資組合選擇問題，在模型中他們分別用不確定的期望值和方差來度量投資的最終財富和風險。易發(fā)現(xiàn)，除了徐維軍等[9]，現(xiàn)有研究均基于均值-方差框架。本文擬在康志林和曾燕[11]基礎上，類似文獻Fu等[12](僅考慮兩階段)，對破產(chǎn)控制約束下兩階段MiniMax投資組合問題進行研究。

本文結(jié)構安排如下。第一部分，給出破產(chǎn)控制約束相關概念和多期MiniMax模型的數(shù)學結(jié)構。第二部分，在市場不允許賣空及含破產(chǎn)控制約束條件下，研究兩階段MiniMax模型的最優(yōu)解析策略。

1 破產(chǎn)事件與多期MiniMax模型

考慮一個含n個風險資產(chǎn)Sj(j=1,…,n)的隨機金融市場。投資者在零時刻以初始財富M0進入市場。投資者可以在接下來的T-1期將其財富按某一規(guī)則分配到n個資產(chǎn)中，并在第T期結(jié)束時獲得最終財富。假設Rij為資產(chǎn)Sj在t期的隨機收益率，rij為Rij的期望收益(t=1,,T,j=1,…,n)。定義向量Rt=(Rt1,…,Rtn)′和向量rt=(rt1,…,rtn)′，其中a′表示向量的轉(zhuǎn)置。

設Vt-1為投資者在第t期開始時的初始財富，xij(j=1,2,…,n)為第t期開始時投資于第j個風險資產(chǎn)的金額。假設市場不允許賣空，即xij≥0。因此，財富演化方程可以表示為

(1)

(2)

當投資者的總財富在任何中間時刻或最后時刻低于預先設定的災難閾值時，就會發(fā)生破產(chǎn)。如果投資者破產(chǎn)，由于其負債高、信用低，因而無法繼續(xù)進行相應的投資。現(xiàn)記第t期的災難閾值為b1，且將第t期的破產(chǎn)事件標記為BRt，則BRt事件發(fā)生的概率為[7]P(BRt)=P(Vt≤bt,Vi>bt,i=1,2,…,t-1),t=1,…,T。

P(BRt)=P(Vt≤0,Vi>0,i=1,2,…,t-1)

假設投資者是風險厭惡，即他或她希望最大化期末財富E(VT)，同時最小化期末總風險。這里，期末總風險定義為每項資產(chǎn)在一段時間內(nèi)投資的最大絕對偏差之和，且從第1期到第期，每期的風險都不能超過給定的水平。因此，相應問題可以表述為一個具有兩個相互沖突目標函數(shù)的優(yōu)化問題:

min{wT,-E(VT)}

E(|Rtjxtj-rtjxtj|)≤εtE(Vt-1),t=1,…,T

通過引入風險厭惡系數(shù)λ∈(0,1), 將雙目標線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標參數(shù)優(yōu)化問題:

2 兩階段MiniMax問題最優(yōu)投資策略

E[f2(w2,V2)]

=λw2-(1-λ)E(V2)

s.t.q2jx2j≤z2,j=1,2,… ,n

定理1[11]對任意λ∈(0,1)，當

(3)

(4)

則問題(P2)的最優(yōu)解為

(5)

(6)

其中，A12(λ),A22(λ)為擬投資的資產(chǎn)集。

由式(6)，易得

=V1a2

綜上，有

=λw1+V1[λa2-(1-λ)·

=λw1-b2V1

s.t.q1jx1j≤z1,j=1,…,n,q1jx1j≤ε1V0,j=1,…,n

s.t.q1jx1j≤z1,j=1,…,n

定理2對任意λ∈(0,1)，當

(7)

(8)

問題(P1)的最優(yōu)解為

(9)

(10)

其中A11(λ),A21(λ)為擬投資的資產(chǎn)集，該集合由如下規(guī)則確定：

A11(λ)={n,n-1,…,n-k1},A21(λ)={m,m-1,…,1}，其中m=n-k1-1。

情形1當b2>0,如果存在整數(shù)k1≥0,k2≥0,k1+k2∈[0,n-3],n≥3使得

(11)

(12)

…

(13)

(14)

則A11(λ)={n,n-1,…,n-k1},A21(λ)={m,m-1,…,m-k2},其中m=n-k1-1。

情形2當b2<0，如果存在整數(shù)k1≥0,k2≥0,k1+k2∈[0,n-3],n≥3，使得

(15)

(16)

…

(17)

(18)

則A11(λ)={1,2,…,k1+1},A21(λ)={m,m+1,…,n-k2-1},其中m=k1+2。

3 期末總財富與總風險

根據(jù)式(1)、定理1和定理2的結(jié)論，可導出期末總財富E[V2]和總風險w2:

由于第t(t=1,2)期風險可表示為

因此，由式(2)可得第2期期末總風險