王 軒，范子椰，唐湛棋，2，姜 楠，2，*

(1. 天津大學 機械工程學院，天津 300354；2. 天津市現(xiàn)代工程力學重點實驗室，天津 300354)

0 引 言

湍流大尺度運動的研究一直是湍流研究的熱點之一。Kim和Adrian[1]在充分發(fā)展的圓管湍流流向脈動速度的前乘波譜中，發(fā)現(xiàn)其具有兩個峰值—與小尺度運動相關的高波數(shù)模態(tài)和與超大尺度相關的低波數(shù)模態(tài)。Guala 和Adrian等[2]在充分發(fā)展的圓管湍流外區(qū)中使用熱膜測量流向瞬時速度序列，得到超大尺度運動存在于對數(shù)律區(qū)，且波長可達1 6R（R為圓管半徑），而大尺度運動存在于整個邊界層，波長約為2R～3R。Bailey和Smits[3]對圓管流動進行了熱線的多點測量，發(fā)現(xiàn)超大尺度運動的徑向尺度更大，與壁面的夾角更小，同時認為只有在外層與渦分離了的大尺度運動才會形成超大尺度運動。王晉軍等[4]通過大視場平板PIV實驗，研究了大尺度運動在能量傳遞中的作用，發(fā)現(xiàn)大尺度運動的曲折形態(tài)可能在能量轉移中起重要作用。

關于大尺度運動對于湍流能量的貢獻，Balakumar和Adrian[5]在零壓力梯度的湍流邊界層和槽道流中以0.1πδ、πδ（δ為邊界層厚度、槽道半高）作為主要湍流運動、大尺度運動和超大尺度運動的分界線，計算出超大尺度運動對湍動能貢獻在40%～65%，對雷諾切應力貢獻在30%～50%。Lee[6]等通過湍流邊界層直接數(shù)值模擬，在對數(shù)律區(qū)得到尺度超過3δ～4δ的超大尺度運動，其對雷諾切應力貢獻約45%。在高雷諾數(shù)下，大尺度運動和超大尺度運動對湍流貢獻很大，研究大尺度運動的規(guī)律很有必要。鄭曉靜等[7]在高雷諾數(shù)的大氣邊界層（Reτ～106）中確認了超大尺度運動的存在，計算出超大尺度運動對湍動能的貢獻在60%左右，最近還通過大氣邊界層的數(shù)據(jù)總結出了大尺度結構的三維模型[8]。在高雷諾數(shù)下，大尺度運動、超大尺度運動在湍流中扮演著很重要的角色，如何測量、提取大尺度和超大尺度運動是個重要問題。

湍流實驗測量常用方法有基于單點的熱線測量[9]、激光多普勒測量[10]、基于場測量的PIV方法[11-12]。通過熱線測量和激光多普勒測量得到單點瞬時速度序列，并使用傅里葉變換、小波變換、希爾伯特–黃變換等，將時間信息變?yōu)椴煌l率信息（波長），利用泰勒凍結假設[13]：空間點定義為x=(x1,x2,x3)，在時間t時刻的流向速度為u(x,t)，其下游位置的坐標可以寫成x+r=(x1+r,x2,x3)， 滯后時間為t+τ，則其流向速度可表示為：

其中U=(U,0,0)是當?shù)仄骄俣?。通過此操作，時間尺度 τ就可以轉化為空間尺度r。通過給定特定的閾值，可以得到不同空間尺度分量相干結構的分布狀況，反映出不同尺度湍流相干運動的特征。

泰勒凍結假設一般適用于遷移速度為常數(shù)的均勻各向同性湍流。而對于剪切湍流，由于湍流結構非各向同性，時間尺度轉化為空間尺度可能由于相關性變?nèi)醯仍?，造成相干運動的失真，因此用泰勒凍結假設測出的相干運動空間尺度要比真實相干運動的空間尺度要小。

單點數(shù)據(jù)常用的尺度分析方法有傅里葉變換、小波分解[14-16]、希爾伯特–黃變換[17-18]等。傅里葉變換得到的是頻譜信息，對于非穩(wěn)態(tài)或非周期性信號，其結果不能反映局部突變信息。而小波變換既可得到頻域信息，又可得到時域信息?；赑IV圖像的分析方法有本征正交分解（POD）[19-23]、動力學模態(tài)分解（DMD）[24]、線性隨機估計等。這些方法雖然可以同時得到時空信息，但很難將相鄰尺度的運動區(qū)分開來。

本文使用高時間分辨率粒子圖像測速技術，通過拼接4個高速相機得到足夠大視場的速度場時間序列。從同一流向位置不同法向高度的脈動速度時間序列提取的大尺度結構，使用小波變換將其重構到空間結構，并與從空間直接提取的對應空間大尺度結構進行對比，分析兩者差異。

1 實驗設置

1.1 實驗設備

實驗在天津大學流體力學實驗室重力溢流式低湍流度循環(huán)水洞中進行。水洞實驗段長度 4200mm，橫截面 600mm×700mm， 最高流速約為 0.5m/s。水洞實驗段放置有機玻璃平板長度 4000mm，寬度550mm， 厚度 20mm。平板帶有1∶8半橢圓形前緣，在距離前緣約 200mm的 位置放置直徑 1.5mm的絆線以加速流動轉捩。實驗使用的激光為Litron Lasers：LDY 300 Series，激 光 厚 度 為 1mm，擴 散角30°。為解決激光照亮區(qū)域偏小的問題，選擇使用反射鏡增加激光光程。激光在拍攝區(qū)域有效照射寬度約為 400mm。相機分辨率1280 pixel × 800 pixel，最高采樣頻率1000 Hz。示蹤粒子為直徑約20 μm的空心玻璃微珠。在距平板前端2800 mm的位置依次沿流向放置四個高速相機（如圖1所示），每個相機配置一組升降臺和云臺，保證4個相機法向高度和拍攝距離一致，相鄰相機拍攝區(qū)域在流向略有重疊。設計一個400 mm × 160 mm的標定靶，既可以確定不同相機的拍攝區(qū)域的相對位置，也可以用來標定粒子圖像和糾正鏡頭的畸變。通過同步器控制4臺相機進行流場的同步拍攝，在每臺相機拍攝到各自位置處的流場照片后，將每個時刻下的流場照片按照從上游到下游的順序依次進行拼接，然后對拼接后的流場照片進行矢量場的計算，拼接后相機的實際拍攝區(qū)域大小約(6～7)δ×(1.1～1.2)δ，δ為邊界層名義厚度。每次實驗拍攝獲取樣本量8216張，重復6次。實驗的放大系數(shù)0.0189，計算流場時查詢窗口的大小為24 pixel×24 pixel，窗口重疊率50%。實驗參數(shù)如表1所示。其中u∞、f、δ、uτ和 SR分別代表自由來流速度、采樣頻率、邊界層厚度、壁面摩擦速度和空間分辨率。

圖1 實驗示意圖Fig. 1 Schematic of the experiment setup

表1 實驗參數(shù)Table 1 Experiment parameters

1.2 小波變換

小波變換最早由法國科學家Morlet 于1980年分析地震數(shù)據(jù)時首創(chuàng)。與傅里葉變換相比，小波變換能保持信號中的局域性特征。就湍流情況而言，連續(xù)小波變換通過空間和尺度提供連續(xù)的和冗余的開折，因此我們能夠跟蹤相干結構的動力學情況并測量其對能譜的貢獻[16]。在湍流邊界層中使用小波變換的方法辨識相干結構已有豐富研究[14，25-27]。

本文使用“db3”小波函數(shù)，將脈動速度分解為不同尺度部分（如圖2所示），紅色實線為尺度函數(shù)（父小波），綠色實線為小波母函數(shù)（母小波）。

圖2 “db3”小波形狀Fig. 2 Wavelet shape of ‘db3’

2 實驗結果

壁面摩擦速度是湍流邊界層的一個重要參數(shù)，是衡量流動控制效果的常用指標，也是進行湍流分析的重要物理量。然而這個量在水洞中很難直接測得，也難以測得準確，因此本文使用間接測量方法來得到壁面摩擦阻力。Spalding[28]提出了可以同時使用黏性底層和對數(shù)律區(qū)的平均速度剖面來計算壁面摩擦速度的方法，計算公式如式（2）。同時對得到的粒子圖像進行標定、拼接、去噪并計算出速度場，然后對速度場進行沿時間和流向的平均可以得到平均速度剖面。根據(jù)Spalding給出的黏性底層和對數(shù)律區(qū)的平均速度與法向位置的關系，使用最小二乘方法擬合壁面摩擦速度。

式（2）中，內(nèi)尺度無量綱化后的壁面法向高度y+=(y?y0)uτ/v，內(nèi) 尺 度 無 量 綱 后 的 流 向 速 度u+=U/uτ，卡門常數(shù) κ =0.41， 積分常數(shù)B=5.0。

2.1 基本統(tǒng)計量

在獲得壁面摩擦速度后，可以衡量流場的基本量在湍流邊界層內(nèi)的分布。圖3與圖4分別為內(nèi)尺度無量綱化后的平均速度剖面與二階量剖面，其中+=/uτ， +=/uτ，+=/u2τ。urms、vrms分別為流向和法向 脈動速度的均方根值， <>代 表系綜平均， <>+為無量綱化后的系綜平均，uτ為壁面摩擦速度。為了驗證數(shù)據(jù)的可靠性，將實驗得到的平均速度剖面和二階量剖面與相近雷諾數(shù)的DNS結果進行對比，其中DNS數(shù)據(jù)由KTH數(shù)據(jù)庫提供[29]。從圖3和圖4中可以看出，不論是平均速度剖面還是二階量剖面，實驗數(shù)據(jù)均與DNS結果的吻合程度較高，這進一步說明了實驗數(shù)據(jù)的可靠性。

圖3 平均速度剖面Fig. 3 Profiles of the mean velocity

圖4 雷諾應力剖面Fig. 4 Profiles of the Reynold stress

2.2 能量最大尺度

湍流可以分解為平均速度、相干部分和完全隨機部分。相干結構是湍流的主要特征。Marusic[30]將主要的湍流結構分為三類：與近壁循環(huán)相關的展向尺度約為100個黏性尺度的條帶；尺度為邊界層厚度量級的大尺度運動；尺度為10倍邊界層厚度量級的超大尺度運動。隨著雷諾數(shù)變化，不同尺度湍流結構所起的作用也發(fā)生變化，因此本文將使用小波分解的方法計算不同尺度結構占湍動能的比例。

利用沿流向的空間小波分解方法得到不同空間尺度所包含的脈動速度，并由此計算出流場的總湍動能以及每個空間尺度所包含的湍動能，進而得到不同尺度對湍動能貢獻的比例。將每一法向層不同流向尺度攜帶的湍動能占比按照順序排列，可以得到不同流向尺度湍動能占比隨法向位置變化的云圖（圖5），其中ue為流向脈動速度所攜帶湍動能的占比。云圖的等值線中可以明顯觀察到一個峰值，此峰值即為流向能量最大尺度，位置大約在1 δ左右。此外，從云圖中可以看出湍動能占比較大的區(qū)域（圖中紅色區(qū)域），包含了數(shù)倍邊界層厚度量級（0.5～5.0）δ，這一范圍也達到了大尺度運動的范圍。同時根據(jù)圖6所示，在y+=88.41處其湍動能占比可達22%左右。

圖5 不同尺度所占湍動能比例Fig. 5 Turbulent kinetic energy fraction for different scales

圖6 峰值附近不同尺度所占湍動能比例Fig. 6 Turbulent kinetic energy fraction in different scales near the peak location

3 大尺度相干運動檢測

相干運動在湍流邊界層中起到了決定性的作用，而大尺度相干運動在中高雷諾數(shù)的情況下對流向雷諾正應力和雷諾切應力的貢獻占所有相干運動貢獻的一半以上。當前，關于如何檢測湍流邊界層中的大尺度相干運動是一個基礎內(nèi)容。在有關湍流邊界層的實驗研究中，常用的測量手段有單點測量的熱線方法和多點測量的PIV方法。熱線可以得到單點時間序列，而 PIV方法，特別是具有高時間分辨率的TRPIV方法，可以得到全場多點的時間序列。對于熱線測量，通過檢測時間序列中的相干結構，并使用泰勒凍結假設可以得到相干結構的空間結構。而對于PIV結果，則可以對流場內(nèi)每個點的時間序列進行尺度分解以提取流場內(nèi)的空間結構。本文采用連續(xù)小波變換的方法來進行尺度分解，其中小波基函數(shù)為“amor”。通過以1 δ為界將小波分解得到的不同尺度結果分為兩部分，如圖7和圖8所示，其中u′代表流向脈動速度，L代表流向脈動速度的尺度。這兩部分即大尺度運動和主要湍流運動，而本文主要分析大尺度運動，由于大尺度相干運動是以 δ為量級，因此使用外尺度無量綱可以更加直觀地體現(xiàn)大尺度結構在空間中的尺度大小。

圖7 單點原始流向脈動速度與尺度分解后大小尺度分量的時間序列Fig. 7 One-point time series of the original, large-scale and small-scale streamwise velocity fluctuations

圖8 原始流向脈動速度和尺度分解后大小尺度分量云圖Fig. 8 Contours of the origin, large-scale and small-scale streamwise velocity fluctuations

3.1 Mu-level法檢測大尺度運動

由小波分解重構得到的是大、小尺度分開的脈動速度場的時間序列，可以將這些速度場看作由排列在流向-法向平面的二維熱線探針陣列得到的脈動速度時間序列。取其中一點的大尺度脈動速度序列，使用傳統(tǒng)的Mu-level方法提取大尺度結構。Mulevel方法是檢測猝發(fā)事件的經(jīng)典方法之一。由于流向脈動速度與猝發(fā)事件的相關程度更大，因此其主要通過流向脈動速度與其均方根的比值來判斷是否發(fā)生猝發(fā)事件，只有當比值達到給定的門限值時才會認為發(fā)生了猝發(fā)事件。其中噴射事件檢測準則如下：

式中，Lm為門限值，在本文中取0.6；uL為流向脈動速度的大尺度分量；D(t)表示某一點在當前時刻的檢測結果；D(t?1)表示上一時刻、同一位置處的檢測結果。檢測到的結構為大尺度運動在時間上的分布。使用泰勒凍結假設，將一維時間檢測結果轉換為一維流向空間區(qū)域，然后將所有空間位置的數(shù)據(jù)合并一起，得到相干運動在流法向平面的二維投影區(qū)域，如圖9所示，其中紅色代表檢測值為1（即掃掠事件），藍色代表檢測值為–1（即噴射事件）。

圖9 時間序列重構出的相干結構Fig. 9 Coherent structures reconstructed from the time series of signals

可以看到，時間序列重構得到的猝發(fā)事件與速度矢量場的符合程度較高。此外，在空間中會存在一個與通過時間序列重構出的脈動速度場相對應的原始速度場，對空間上的脈動速度場使用象限分裂的方法可以直接提取大尺度相干運動。根據(jù)流向和法向脈動速度的符號可以將其分為四個象 限，Ⅰ：u′＞0，v′＞0 ；Ⅱ：u′＜0，v′＞0 ；Ⅲ：u′＜0，v′＜0 ；Ⅳ：u′＞0，v′＜0。其中噴射事件的檢測條件如下：

式中，D(x?1)表示上一流向位置處的檢測結果。通過檢測得到的空間上的相干結構如圖10所示。圖中藍色區(qū)域為時間序列重構出的噴射事件，紅色區(qū)域代表掃掠事件，而矢量場代表空間脈動速度場。

圖10 空間提取的相干結構Fig. 10 Coherent structure extracted from the spatial domain

為了驗證從時間檢測出的相干結構的可靠性，將時間和空間中檢測出的相干結構進行對比（圖11），其中黑色實線標出的為從空間上提取的相干結構，而有顏色的區(qū)域代表從時間中提取出的相干結構?？梢钥闯?，時間重構檢測出的結構基本上與空間矢量場一致，不過在剪切層和展向渦附近會出現(xiàn)偏差，同時從時間上得到的相干結構比空間結構要小些。檢測結果的對比，證明了從時間上提取相干運動的可靠性。

圖11 從時間和空間提取的噴射和掃掠事件對比Fig. 11 Comparison of the ejection and sweep events between the temporal and spatial extraction

3.2 空間拓撲平均

空間條件相位平均是提取相干結構空間拓撲形態(tài)的經(jīng)典方法。從時間和空間中提取的相干結構的結果對比可以說明，時間重構的相干結構與直接檢測原始空間速度場相干結構的統(tǒng)計特性存在差異。

為了研究這一差異，以 0 .2δ為參考法向高度，并以檢測到的流向脈動速度極大值和極小值作為條件相位中心，分別從時間和空間序列中提取猝發(fā)和掃掠事件，最后通過平均得到從時間或空間角度上提取出的猝發(fā)事件空間拓撲形態(tài)，如圖12的流向脈動速度提取結果所示，其中猝發(fā)事件在流場內(nèi)的尺度范圍已用黑色實線標出。由圖可見，由空間提取的猝發(fā)事件更強，尺度范圍更大，結構的整體性更明顯。與掃掠事件相比，噴射事件從空間和時間提取的結構更相近。

圖12 從時間和空間提取的猝發(fā)事件Fig. 12 Burst events extracted from the temporal and spatial domains

通過對時間和空間提取的猝發(fā)事件給定閾值（掃掠事件給定流向脈動速度最大值的0.25倍，噴射事件給定值與掃掠事件給定值的符號相反），并使用橢圓擬合的方法找到流向間距最大的兩點坐標，以分別提取猝發(fā)事件的流向尺度。如圖13和圖14所示，可以看出在0.2δ～0.6δ的法向區(qū)域內(nèi)，猝發(fā)事件的尺度基本是不變的。計算不同法向位置，時間猝發(fā)事件與空間猝發(fā)事件的流向尺度比例，可以看出，時間和空間提取的噴射事件流向尺度比例在0.9～1.0，掃掠事件比例在0.75～0.85?？梢哉f明，時間提取猝發(fā)事件尺度要小于空間提取的猝發(fā)事件，噴射事件兩者更接近，掃掠事件相差更大。這種不一致是噴射和掃掠事件的時空相關強度不同或者遷移速度差異造成的。

圖13 從時間和空間中提取的不同法向位置猝發(fā)事件流向長度尺度Fig. 13 Streamwise length scales of the burst events extracted from the temporal and spatial domains along different wall-normal locations

圖14 從時間、空間提取的不同法向位置猝發(fā)事件流向長度比值Fig. 14 Ratio of the streamwise lengths of burst events extracted from the temporal and spatial domains along different wall-normal locations

4 結 論

使用相機陣列在湍流邊界層中得到流法向尺度大小為 6.7δ×1.2δ的PIV速度場，使用小波分解的方法得到流向湍動能在空間尺度分布，并使用Mu-level方法和象限分裂法，分別從時間和空間提取并比較了猝發(fā)事件，得到以下結論：

1）通過小波變換將大范圍流場按照所含湍動能的占比劃分為不同尺度，發(fā)現(xiàn)在湍流邊界層中存在流向能量最大尺度，其峰值位置對應的尺度約為1倍邊界層厚度。

2）利用泰勒凍結假設在時間維度上提取出的相干結構重構到原流場，可以找到與之對應的真實空間結構，且兩種不同方法提取的結構基本一致。

3）從時間維度提取的高速條帶（掃掠事件）尺度要小于空間提取的高速條帶尺度，在 0.2δ～0.6δ法向范圍內(nèi)，時間尺度約為空間尺度的0.8倍。