項(xiàng)貽強(qiáng)， 高超奇， 楊云深

(1. 浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院, 杭州 310058; 2. 浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院懸浮隧道研究中心, 杭州 310058)

然而， 實(shí)際結(jié)構(gòu)的支撐條件并非完全剛性， 因而需要引入彈性支撐來反應(yīng)梁的實(shí)際振動(dòng)情況。晏麓暉等[4]針對(duì)單跨兩端彈簧支撐的彈性支撐梁的力學(xué)模型， 建立并推導(dǎo)了其在爆炸荷載下動(dòng)力響應(yīng)的理論解。Ding等[5]通過對(duì)比剛性豎向支承的黏彈性梁和帶有豎向彈性支承的剛性桿， 證明了考慮彈性支撐對(duì)于研究結(jié)構(gòu)的力傳遞的必要性。Wattanasakulpong等[6]基于三階剪切變形理論和切比雪夫配置法， 給出了彈性邊界條件下功能梯度梁的彈性約束端固有頻率的數(shù)值結(jié)果。Chen等[7]推導(dǎo)了彈性邊界歐拉梁橫向振動(dòng)分析的解析解， 分析了轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度和平移彈簧剛度對(duì)振型變化的影響機(jī)理。Aydin等[8]研究了懸臂梁在不同的簡諧振動(dòng)下的最佳彈性支撐位置和最佳剛度系數(shù)設(shè)計(jì)。Froio等[9]研究了黏彈性支承下無限歐拉-伯努利彈性梁上移動(dòng)荷載問題的計(jì)算。Wang等[10]采用靜力位移和剛體位移的疊加位移作為振型函數(shù)， 推導(dǎo)了簡支彈性地基梁基頻的計(jì)算公式。對(duì)于多跨梁的分析， 文獻(xiàn)[11-13]基于傳遞矩陣法， 推導(dǎo)了兩端固定、鉸支或豎向彈性支撐邊界條件下多跨彈性支撐連續(xù)梁的頻率特征方程。Tan等[14]研究了帶豎向彈性支承的非均勻Timoshenko梁的動(dòng)力響應(yīng)問題， 并采用龍格-庫塔法和三次樣條插值法計(jì)算了非均勻Timoshenko梁的固有頻率和振型。Leontiev[15]討論了彈性基底支撐條件變化時(shí)自由邊界的梁的固有橫向振動(dòng)問題。葉茂等[16]則建立了兩端鉸支、中間帶彈性支撐的多跨連續(xù)梁車-橋耦合動(dòng)力分析模型， 研究了耦合系統(tǒng)的隨機(jī)演變響應(yīng)。Froio等[17]研究了豎向彈性支座上均勻拉緊弦在集中橫向移動(dòng)荷載作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問題的數(shù)值解。

上述研究在引入彈性支撐時(shí)僅考慮了連續(xù)梁中間支座的彈性， 未考慮兩端邊界條件的任意性， 尚不能為實(shí)際結(jié)構(gòu)建立一個(gè)統(tǒng)一的分析模型。比如橋梁與隧道相接時(shí)， 橋梁兩端就會(huì)受到一個(gè)平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的約束， 相比與直接簡化為固結(jié)， 將這一約束簡化為轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧支撐則更為合理。為此， 本文以兩端具有豎向彈簧支撐及平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支撐的多跨彈性支撐梁為研究對(duì)象， 推導(dǎo)其在移動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)方程， 同時(shí)與有限元法分析方法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比， 驗(yàn)證所提出方法的正確性， 并討論轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度、線彈簧剛度以及荷載移動(dòng)速度對(duì)梁體動(dòng)力響應(yīng)的影響規(guī)律， 在實(shí)際工程應(yīng)用中可適用于任意不同邊界情況。

1 力學(xué)模型

圖1為兩端具有豎向彈簧支撐及平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支撐的多跨彈性支撐連續(xù)梁， 即連續(xù)梁左右兩端分別有豎向剛度為KL、KR的線彈簧和平面內(nèi)剛度為SL、SR的轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧作為邊界約束支撐， 中間包含n個(gè)彈簧剛度分別為K1、K2、…、Kn的彈性支撐， 其間距分別為l1、l2、…、ln,根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論[18],其在移動(dòng)荷載Fv(x,t)作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程為

-Fvδ(x-vt)

(1)

圖1 兩端任意約束中間彈性支撐的多跨連續(xù)梁

式中：EI為梁的抗彎剛度；m為梁體單位長度的質(zhì)量；c為梁的阻尼；δ(x-vt)為Dirac函數(shù)；y(x,t)為梁上任意點(diǎn)在荷載作用下的豎向位移，由兩部分組成， 一部分為只考慮梁為剛體， 在荷載Fv(x,t)作用下由兩端的彈簧支撐分別下?lián)蟳L(t)、yR(t)， 另一部分為梁體產(chǎn)生的彈性變形， 即梁體的豎向撓度w(x,t)， 如圖1所示。于是有

(2)

其中yL(t)、yR(t)分別為梁左端和右端的豎向位移。

對(duì)多跨的彈性支撐連續(xù)梁， 可將中間彈性支撐轉(zhuǎn)化為支反力Ti， 得到中間作用有n個(gè)彈性支撐反力(T1，T2， …，Tn)的等價(jià)模型， 如圖2所示， 當(dāng)在任意時(shí)間t的第i個(gè)彈性支撐處xi的梁體位移為y(xi,t)， 則各中間支反力的大小為

Ti=-Kiy(xi,t)

(3)

圖2 兩端多重彈簧支撐約束的多跨彈性支撐連續(xù)梁等價(jià)模型

由此得到梁的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(4)

式(4)中， 多個(gè)離散彈簧的支反力與梁體振動(dòng)位移相關(guān)， 因此要進(jìn)行多次的迭代求解， 其收斂性和算法均難度較大。Sato等[19]曾對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)彈性支撐間距相等(l1=l2=…=ln=l)、彈性支撐剛度相同(K1=K2=…=Kn=K)， 且梁體的支撐剛度K、抗彎剛度EI以及彈性支撐間距(或跨徑)l滿足式(5)時(shí)， 可以將離散彈性支撐近似等效為彈性地基支撐， 即將彈性支撐剛度K轉(zhuǎn)化為彈性地基的分布剛度k(k=K/l)。在式(5)條件下， 彈性地基梁的一階頻率與離散彈性支撐梁的一階頻率之比大于98%， 能夠滿足實(shí)際工程的精度要求。

(5)

根據(jù)這一條件，可將式(4)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(6)

對(duì)兩端任意彈簧支撐約束的多跨彈性支撐連續(xù)梁等價(jià)模型， 其左右兩端的邊界條件分別為

(7)

(8)

2 方程求解

2.1 梁的模態(tài)分析

對(duì)于兩端任意彈簧支撐約束的近似等效為彈性地基支撐梁， 根據(jù)分離變量法， 在外荷載作用下梁的位移y(x,t)可表示為模態(tài)的級(jí)數(shù)形式：

(9)

其中：φn(x)為梁的各階模態(tài)函數(shù)，qn(t)為對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)。

因此需要確定兩端任意彈簧支撐的彈性地基連續(xù)梁的模態(tài)函數(shù)。根據(jù)任意彈簧支撐約束邊界條件， 可設(shè)其模態(tài)函數(shù)為

φ(x)=C1cosαx+C2sinαx+C3coshαx+C4sinhαx

(10)

(11)

式(11)存在非零解的條件為行列式等于零， 即得到梁的固有頻率方程， 求解固有頻率方程的各個(gè)根為αn， 進(jìn)而求得梁的各階固有頻率ωn。將獲得的αn再代入式(11)并進(jìn)行歸一化處理后求得模態(tài)函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)， 將其代入式(10)得

(12)

式中：

(13)

(14)

2.2 運(yùn)動(dòng)方程求解

將式(9)代入式(6)， 得

(15)

利用模態(tài)函數(shù)關(guān)于剛度和質(zhì)量的正交性可得

(16)

根據(jù)式(16)可求得廣義坐標(biāo)qn(t)， 將其代入式(9)得到梁在移動(dòng)荷載作用下的豎向振動(dòng)位移y(x,t)。

由于彈性支撐邊界條件下梁的模態(tài)函數(shù)(式(12))十分復(fù)雜， 因此本文通過MATLAB編寫計(jì)算程序來計(jì)算上述求解過程。

3 數(shù)值算例分析

為了說明本文方法的應(yīng)用及所提出方法的正確性， 這里選取一個(gè)算例， 用所編制的程序進(jìn)行計(jì)算， 并用有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

計(jì)算模型參考文獻(xiàn)[20]， 如圖3所示， 為四跨彈性支撐連續(xù)梁。其中梁總長L=200 m；支撐間距l(xiāng)=50 m；截面為管狀斷面， 截面外徑D=15 m， 截面內(nèi)徑d=13 m；截面慣性矩I=1 083 m4；材料密度ρ=2 550 kg/m3；彈性模量E=3.45×104MPa；中間彈性支撐剛度Ki=1.28×105kN/m；兩端線彈簧支撐剛度取KL=KR=3×106kN/m； 轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧支撐剛度取SL=SR=109kN/m。移動(dòng)荷載參數(shù)：荷載大小Fv=1 176 kN；移動(dòng)速度v=20 m/s。

為了驗(yàn)證模態(tài)疊加法的收斂性， 計(jì)算不同模態(tài)疊加后梁的豎向位移和彎矩值。圖4為當(dāng)荷載移動(dòng)到跨中時(shí)前8階模態(tài)疊加后該梁各處的豎向位移?？梢园l(fā)現(xiàn)， 前4階至前8階模態(tài)疊加后得到的位移結(jié)果基本一致， 說明計(jì)算結(jié)果具有收斂性， 且取前4階模態(tài)疊加就具備較高的精度。

圖3 算例的計(jì)算模型

圖4 各階模態(tài)疊加后梁的位移

表1列出了彈性支撐連續(xù)梁利用本文的理論方法及有限元法分析的前3階固有頻率。理論計(jì)算得到的1階固有頻率為8.12 rad/s， 其與有限元分析結(jié)果非常接近， 兩者的差異僅為0.16 rad/s(1.96%)。而隨模態(tài)階數(shù)的增加， 兩者計(jì)算的固有頻率差異有所增加。這說明， 兩種模型在低階頻率上有較好的一致性， 但在高階頻率上仍存在一定的差異。換句話說， 彈性支撐連續(xù)梁的振動(dòng)特性可以通過彈性地基邊界和離散彈性支座邊界來反映， 但這種假設(shè)在結(jié)構(gòu)高階振動(dòng)分析中會(huì)產(chǎn)生一定的誤差， 需要進(jìn)一步分析。

表1 結(jié)構(gòu)固有圓頻率

圖5及圖6則進(jìn)一步給出了該彈性支撐連續(xù)梁跨中位置處的位移和彎矩的時(shí)程曲線， 可以觀察到本文理論計(jì)算得到的位移和彎矩的時(shí)程變化曲線與有限元法計(jì)算得到的結(jié)果， 兩者之間具有很好的一致性， 但存在微小的相位差， 且本文方法的理論計(jì)算值與有限元分析值有一定的誤差， 這與理論推導(dǎo)中將離散彈性支撐連續(xù)梁理想化為“彈性地基支撐梁”模型有關(guān)， 導(dǎo)致兩者的結(jié)構(gòu)計(jì)算得到的頻率有所差異， 而使計(jì)算結(jié)果存在一定的偏差， 且這個(gè)偏差與彈性支撐的剛度K和結(jié)構(gòu)的抗彎剛度EI及彈性支撐的間距l(xiāng)有關(guān)， 通過分析， 當(dāng)其滿足式(5)條件時(shí)， 誤差可以控制在5%以內(nèi)。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)， 由于結(jié)構(gòu)的邊界條件為彈性支撐， 其上各點(diǎn)的位移和彎矩變化均較為劇烈， 說明邊界條件的設(shè)定對(duì)結(jié)構(gòu)的疲勞分析將會(huì)產(chǎn)生較大影響。

圖5 跨中位置處的豎向位移時(shí)程曲線

圖6 跨中位置處彎矩時(shí)程曲線

圖7及圖8分別為不同位置處(左端點(diǎn)、1/4點(diǎn)、跨中)位移和彎矩最大值和最小值， 通過對(duì)計(jì)算結(jié)果和有限元結(jié)果進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)兩者結(jié)果比較接近。在動(dòng)荷載作用下， 梁體向下動(dòng)位移的最大值出現(xiàn)在跨中， 而向上動(dòng)位移的最大值出現(xiàn)在梁端。同時(shí)在各個(gè)截面處均交替出現(xiàn)了正彎矩和負(fù)彎矩， 其中跨中位置處的正彎矩和端點(diǎn)處的負(fù)彎矩最為顯著。

圖7 不同位置處位移的最大值和最小值

圖8 不同截面處彎矩的最大值和最小值

圖9進(jìn)一步討論了兩端彈簧剛度不同對(duì)前6階模態(tài)函數(shù)的影響。當(dāng)兩端豎向彈簧剛度KL=KR=∞, 平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SL=SR=0時(shí)， 兩端的支撐條件即轉(zhuǎn)化為鉸支座；當(dāng)兩端豎向彈簧剛度KL=KR=∞，平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SL=SR=∞時(shí)， 兩端的支撐條件即轉(zhuǎn)化為固定支承。在圖9中， 對(duì)于第1階振型， 兩端為彈性支撐的連續(xù)梁與兩端簡支的連續(xù)梁振型比較接近， 但隨著頻率的增加， 彈性支撐的高階振型與剛性支撐(兩端簡支和兩端固支)的振型區(qū)別越來越明顯。與兩端剛性支撐的振型不同， 由于邊界條件為彈性， 其高階模態(tài)曲線邊界處的幅值反而更大。

表2則給出了梁兩端簡支、固支及彈性支撐邊界條件下等效彈性地基梁的前6階頻率。由此可看出邊界條件對(duì)頻率的影響。對(duì)于第1階頻率， 彈性支撐的頻率介于兩端簡支和兩端固支之間， 從第2階頻率開始， 彈性支撐的頻率均小于兩端簡支， 且隨著階數(shù)的增加， 兩者的差距逐漸增大。說明將邊界條件簡化為剛性支撐， 會(huì)使結(jié)構(gòu)的高階計(jì)算頻率增大。

圖9 邊界條件對(duì)振型的影響

表2 不同邊界條件對(duì)等效彈性地基梁頻率的影響

圖10給出了梁兩端簡支、固支及彈性支撐邊界條件對(duì)等效彈性地基梁跨中撓度的影響。在本算例條件下， 邊界為兩端簡支的連續(xù)梁跨中撓度幅值最大， 邊界為彈性支撐的連續(xù)梁跨中撓度位于簡支邊界和固支邊界之間。

圖10 不同邊界條件對(duì)等效彈性地基梁跨中豎向位移的影響

從圖10可以發(fā)現(xiàn)， 在兩端固支的邊界條件下， 跨中撓度的振動(dòng)幅度最不明顯， 而兩端彈性支撐連續(xù)梁的跨中撓度的高頻振動(dòng)最為明顯， 說明當(dāng)邊界條件為彈性支撐時(shí)， 連續(xù)梁的高階振型的振型參與系數(shù)更大。圖11、12分別分析了兩端轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度和線彈簧剛度對(duì)移動(dòng)荷載作用下跨中位移的影響機(jī)理。由圖11可知， 當(dāng)兩端豎向支撐剛度KL=KR=∞時(shí)， 隨著轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度的增加， 跨中最大位移減小， 振動(dòng)幅度也減弱， 當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度增加至完全剛性時(shí)(即達(dá)到固支狀態(tài))， 由于兩端支點(diǎn)強(qiáng)大的約束剛度， 使梁的振動(dòng)明顯減弱。由圖12可知， 當(dāng)兩端轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度SL=SR=∞時(shí)， 隨著線支撐剛度的減小， 跨中位移的振動(dòng)幅度明顯增大， 振動(dòng)位移的平均值也略有增加。結(jié)合圖10～12可以發(fā)現(xiàn)， 兩端線彈簧剛度對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅度影響更大， 而轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度則對(duì)結(jié)構(gòu)的最大振動(dòng)位移影響更為明顯。

圖11 兩端轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度對(duì)跨中位移響應(yīng)的影響

圖12 兩端線彈簧剛度對(duì)跨中位移響應(yīng)的影響

為探討移動(dòng)荷載速度變化對(duì)該類結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的影響， 圖13進(jìn)一步分析了移動(dòng)荷載以20 m/s， 30 m/s， 40 m/s運(yùn)動(dòng)時(shí)， 兩端彈性支撐梁跨中位移的變化規(guī)律。從圖中可以看出， 在荷載經(jīng)過梁體時(shí)， 移動(dòng)速度越大， 位移波動(dòng)的周期就越長；跨中位移的最大值隨速度增加而略有減小。

圖13 移動(dòng)荷載速度對(duì)結(jié)構(gòu)跨中位移響應(yīng)的影響

4 結(jié) 論

針對(duì)兩端任意約束中間彈性支撐的多跨連續(xù)梁， 通過將彈性支撐間距相等、彈性支撐剛度相同的離散彈性支撐連續(xù)梁等效為兩端任意約束的具有均勻彈性地基支撐的等價(jià)模型梁， 推導(dǎo)建立了其在移動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的微分方程， 并根據(jù)相應(yīng)的邊界條件， 給出了梁體在以一定速度移動(dòng)的荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)， 編制了相應(yīng)的計(jì)算程序， 通過研究可以得出以下結(jié)論：

1)兩端邊界條件為彈性支撐時(shí)的連續(xù)梁的高階模態(tài)與兩端簡支和兩端固支的高階模態(tài)明顯不同， 由于邊界條件為彈性， 其高階模態(tài)曲線邊界處的幅值反而更大。同時(shí)兩端彈性支撐的一階頻率與兩端簡支情況相近， 而高階頻率則均小于兩端簡支情況。

2)在移動(dòng)荷載作用下， 梁體向下動(dòng)位移的最大值出現(xiàn)在跨中， 而向上動(dòng)位移的最大值出現(xiàn)在梁端。同時(shí)在各個(gè)截面處均出現(xiàn)了正彎矩和負(fù)彎矩， 跨中位置處的正彎矩和端點(diǎn)處的負(fù)彎矩最為顯著。

3)兩端彈性支撐的連續(xù)梁的跨中撓度變化幅值介于兩端固支和兩端簡支之間， 但高頻振動(dòng)更加明顯。改變兩端彈簧支撐剛度將會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)位移產(chǎn)生明顯影響，轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度越大， 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的豎向位移越??；線彈簧支撐剛度越大， 結(jié)構(gòu)往復(fù)振動(dòng)的幅度越小。

4)跨中位移響應(yīng)與荷載的移動(dòng)速度有關(guān)， 移動(dòng)速度越大， 位移波動(dòng)的周期就越長， 位移響應(yīng)的最大值略有減小。