王 洋,王 震,陳明淑
(西京學院理學院,西安 710000)
隨著導彈防御技術的發(fā)展,出現(xiàn)了諸如PAC-3[1],Aster-15[2]以及RAM[3]等眾多高性能末段攔截系統(tǒng),因此,導彈在彈道末段受到的攔截威脅越來越大。此外,大量實際目標都具備一定的機動能力,而目標機動可能會降低導彈打擊精度。因此,同時考慮具備機動能力的突防導彈、攔截器以及目標構(gòu)成的三攻防對抗場景,對突防導彈設計高精度及強突防制導律具有重要實用意義。
比例制導律(Proportional Navigation Guidance Law,PNGL)由于結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)而得到廣泛應用,但存在以下不足:1) 面對強機動目標時,PNGL制導精度降低;2) 由于未考慮突防,因此采用PNGL的導彈末段彈道平直,易于被成功攔截。
有限時間控制可以有效提升傳統(tǒng)漸近式控制的收斂精度與速度[4]。近年來,出現(xiàn)了許多基于有限時間穩(wěn)定性理論設計的制導方法。文獻[5]基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論提出了有限時間制導律(Finite-Time-Convergent Guidance Law,FTCGL);文獻[6-7]提出了基于滑模的FTCGL;文獻[5-7]的FTCGL都采用了切換項抑制目標機動帶來的擾動影響。然而,切換項帶來兩方面問題:一是抖振問題;二是需要已知目標機動加速度上界,而目標機動難以提前獲悉,即使已知也很保守。
近年來,許多文獻采用干擾觀測器(Disturbance Observer,DO)估計目標機動,從而避免使用切換項。文獻[8-9]采用擴張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer,ESO)。但是ESO基于漸近穩(wěn)定理論設計,無法保證估計誤差收斂到零。因此,這些基于ESO的FTCGL的制導精度會受到ESO估計誤差的影響。文獻[10]采用非光滑干擾觀測器(Non-Smooth Disturbance Observer,NSDO)設計FTCGL。NSDO雖然可以保證估計誤差收斂到零,但是NSDO需要已知目標機動加速度變化率的上界。顯然,在實際工程中,目標機動加速度變化率上界也難以預知。
此外,與PNGL的設計思路相同,前述文獻[5-10]提出的FTCGL只考慮制導精度,因此其彈道平緩,易受攔截。近年來,針對如何提高導彈末段突防能力的問題,有文獻開展了研究。文獻[11]為空艦導彈設計了螺旋機動俯沖制導律;文獻[12]基于滑模算法設計了導彈機動突防策略;文獻[13]采用包含時變附加項的比例導引律追蹤虛擬目標,從而實現(xiàn)螺旋俯沖機動。但是,文獻[11,13]方法只適用于慢速或非機動目標,文獻[12]的策略方法沒有嚴格證明穩(wěn)定性。
基于以上問題,本文基于自適應干擾觀測器及有限時間穩(wěn)定性理論,為突防彈設計一種新型機動突防制導律,所提方法有如下優(yōu)勢:
1) 基于自適應有限時間干擾觀測器對目標機動加速度進行觀測,可有限時間補償目標機動影響,且無需已知目標機動加速度的上界信息;
2) 通過有限時間機動衰減設計保證制導精度不受所設計的附加機動突防的影響;
3) 基于估計目標加速度以及突防機動連續(xù)化設計,保證了制導加速度連續(xù)變化。
突防彈、攔截器及目標三方對抗關系如圖1所示。
圖1 突防彈、攔截器及目標三方對抗關系Fig.1 Penetration-intercepting offensive and defensive confrontation
圖1中:M,T及I分別表示突防彈、目標及攔截器,其位置分別為(xM,yM),(xT,yT)以及(xI,yI);速度分別為VM,VT及VI;θM,θT與θI分別為突防彈、目標及攔截器的彈道傾角;qM與qI分別為突防彈與攔截器的視線角;rMT與rMI分別為突防彈與目標及突防彈和攔截器的相對距離。本文的變量均為標量。
可以建立如下突防彈、目標以及攔截器位置變化方程
(1)
(2)
(3)
突防彈-目標相對運動如下
(4)
攔截器-突防彈相對運動如下
(5)
(6)
式中,ATλ=ATcos(qM-θT),為目標法向機動加速度。
期望目標 為突防彈M設計控制加速度AM,保證:1) 有限時間內(nèi)VλM→0;2) 無需已知目標機動加速度上界信息;3)突防彈的彈道擺動機動;4) 控制加速度AM連續(xù)變化。
本章由引理1及引理2給出后文需要用到的自適應干擾觀測及有限時間收斂相關理論。
引理1(自適應二階滑??刂扑惴?[14]考慮如下的系統(tǒng)
(7)
式中:sgn()為符號函數(shù);d0為干擾;自適應參數(shù)的變化律為
(8)
時變參數(shù)L0(t)的自適應律為
(9)
式中,p0為正常數(shù)。只要干擾d0是有界的,則s0將在有限時間內(nèi)收斂到0。
V(t)=0t≥tr
(10)
式中,收斂時間tr≤t0+V1-γ(0)/α(1-γ)。
基于引理1,設計如下自適應干擾觀測器
(11)
(12)
L1(t)的自適應律為
(13)
式(11)干擾觀測器的穩(wěn)定性由定理1給出。
定理1針對滿足假設1的式(4)制導系統(tǒng),采用式(11)自適應干擾觀測器,則存在有限時間tE滿足
(14)
(15)
將式(6)及式(11)代入式(15)可得
(16)
(17)
綜合式(16)及式(17)可得
(18)
同時,自適應參數(shù)滿足
(19)
L1(t)的自適應律為
(20)
(21)
同時考慮打擊精度及突防,設計滑模面為
(22)
式中:C(i=-n,…,-1,1,2,…,n)為非0整數(shù);?為非0常數(shù);tM為機動截止時間。
針對滑模面s,設計機動突防滑模制導律
(23)
定理2針對滿足假設1的式(4)制導系統(tǒng),采用式(11)自適應干擾觀測器及式(23)制導律,則存在有限時間tH可以保證法向相對速度
VλM=0t≥tH
(24)
同時式(23)給出的控制加速度AM連續(xù)變化。
證明過程如下。對滑模面s求左導數(shù),可得
(25)
對滑模面s求右導數(shù),可得
(26)
令AF=?sin(Cπ(t/tM))-?(tF-t)Cπcos(Cπ(t/tM))/tM,易知AF在t=tM左右極限及函數(shù)值滿足
AF+(tM)=AF+(tM)=AF(tM)=0
(27)
(28)
(29)
構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V1=s2/2,對V1求導,同時考慮式(18),可得
(30)
(31)
(32)
(33)
由于kσ>0且0<(σ+1)/2<1,同時V1(tE)是有界的,所以由引理2可知,存在有限時間tV1,使得
V1=s=0t>tV1。
(34)
隨后,考慮以下兩種情況。
情況1 當tV1≤tM,由式(34)及式(22)滑模面的定義可知,VλM=0,t>tM。
情況2 當tM
總結(jié)情況1及2可知
VλM=0t>max{tM,tV1}
(35)
由于max{tM,tV1}有限,所以可知式(24)成立。
仿真中:突防彈的初始位置xM(0)=-5000 m,yM(0)=0 m;速度VM=500 m/s;彈道傾角θM(0)=qM(0);式(23)制導律及式(7)自適應干擾觀測器參數(shù)kσ=1,σ=0.6,p1=0.7,L1(0)=15;機動參數(shù)?=-30,C=5,tM=10。攔截器采用PNGL制導方法,比例系數(shù)取為5。攔截器的初始位置xI(0)=0 m,yI(0)=200 m,速度VI=600 m/s,彈道傾角θI(0)=qI(0),目標的初始位置xT(0)=0 m,yT(0)=0 m,速度VT=50 m/s,彈道傾角θT=30°。目標機動加速度為AT=5sin(t/3),單位為m/s2。突防彈及攔截器的加速度上界都設置為500 m/s2。
為了對比突防效果,去掉式(23)制導律的機動項,形成如下的無機動有限時間制導律
(36)
(37)
采用式(23)無機動有限時間制導律進行對抗仿真(場景1),結(jié)果見圖2。由圖2(a)可知,突防彈在未到達目標前就被攔截;由圖2(b)可知,相對距離小于0.5 m,到達了被有效毀傷的距離;突防彈控制加速度見圖2(c),可知變化幅度很小。
圖2 場景1仿真結(jié)果(突防彈無機動)Fig.2 Simulation result of Case 1 when the missile is non-maneuvering
采用本文提出的式(23)機動制導律進行對抗仿真(場景2),仿真結(jié)果見圖3。由圖3(a)可知,突防彈成功突破了攔截;由圖3(b)可知,攔截器與突防彈之間的最小距離大于20 m;突防彈的控制加速度見圖3(c),其擺動變化且幅度大,成功引起了攔截器的控制加速度飽和。另一方面,由圖3(a)及圖3(b)還可以看出,突防彈仍能保證突防彈與目標的相對距離接近零,保證了對目標的打擊精度。自適應觀測器的估計誤差見圖3(c),自適應增益L1(t)的變化見圖3(e),其有界變化。此外,由圖3(c)可知,所提出制導律的控制加速度連續(xù)變化。由圖3(f)可知,所提出制導律的滑模面連續(xù)變化,且由于控制加速度連續(xù)變化,因此滑模面不存在抖振。
圖3 場景2仿真結(jié)果(突防彈機動)Fig.3 Simulation result of Case 2 when the missile is maneuvering
考慮突防彈從不同的位置開始末段制導。定義i次打靶,i=1,2,…,60。對于第i次打靶,突防彈道初始位置為xM(0)=-5000 m,yM(0)=-3000+100im,速度VM=500 m/s,彈道傾角θM(0)=qM(0)。突防彈采用本文提出的式(23)機動制導律。攔截器采用PNGL制導方法。制導律參數(shù)及目標機動加速度與4.1節(jié)相同。
將攔截器及突防彈的脫靶量統(tǒng)計在圖4中。由圖4(a)可知,所有場景下攔截器對突防彈的脫靶量大于15 m,證明了突防彈可有效突防。由圖4(b)可知,所有場景下突防彈相對目標的脫靶量都接近零,證明了所設計制導律對機動目標的高精度打擊能力。
圖4 突防彈機動時多次打靶結(jié)果統(tǒng)計Fig.4 Statistics of multiple shooting results when the missile is maneuvering
本文提出了一種新型機動突防制導律,在保證突防彈末段打擊精度的同時提高了突防能力。首先,基于自適應干擾觀測器估計目標機動,在有限時間內(nèi)補償目標機動影響,且無需目標機動加速度上界信息;其次,通過機動衰減設計保證制導精度不受所設計的附加機動突防的影響;再次,基于估計目標加速度以及突防機動連續(xù)化設計,保證設計的制導律連續(xù)變化;最后,通過仿真驗證了上述優(yōu)點。