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夯實(shí)基礎(chǔ) 感悟解法

2022-03-17 22:18趙倩倩
初中生世界·九年級(jí) 2022年3期
關(guān)鍵詞:根式三邊同類

趙倩倩

二次根式是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與式”的主要內(nèi)容之一,也是中考考查的重點(diǎn)。因此,同學(xué)們除了要牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法外,還要能正確熟練地運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決各類問(wèn)題。

一、二次根式的概念

例1 若[x-1]有意義,則x的取值范圍是 。

【分析】本題考查二次根式[a]有意義的條件:被開(kāi)方數(shù)a≥0。

解:根據(jù)題意,得x-1≥0,解得x≥1。

故答案為x≥1。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件,利用被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)得出不等式是解題關(guān)鍵。

例2 下列各組二次根式中,化簡(jiǎn)后是同類二次根式的是( )。

A.[8]與[3] B.[2]與[12]

C.[5]與[15] D.[75]與[27]

【分析】本題考查同類二次根式的概念,應(yīng)先將各選項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式,再根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是否相同進(jìn)行判斷即可。

解:A選項(xiàng),[8]=[22],和[3]不是同類二次根式,本選項(xiàng)不合題意;

B選項(xiàng),[12]=[23],和[2]不是同類二次根式,本選項(xiàng)不合題意;

C選項(xiàng),[5]與[15]不是同類二次根式,本選項(xiàng)不合題意;

D選項(xiàng),[75]=[53],[27]=[33],兩者是同類二次根式,本選項(xiàng)符合題意。

故選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式的概念,解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式的概念。

二、二次根式的性質(zhì)

例3 已知:a=([12])-1+([-3])0,b=([3]+[2])([3]-[2]),則[a+b]= 。

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)([a])2=a(a≥0),平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2以及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算。先計(jì)算出a、b的值,然后代入所求式子即可求得相應(yīng)的值。

解:∵a=([12])-1+([-3])0=2+1=3,

b=([3]+[2])([3]-[2])=([3])2-([2])2=3-2=1,

∴[a+b]=[3+1]=[4]=2。

故答案為2。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值、平方差公式、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,解題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法。

例4 2、5、m是某三角形三邊的長(zhǎng),則[(m-3)2]+[(m-7)2]等于( )。

A.2m-10 B.10-2m C.10 D.4

【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出m的取值范圍,再利用二次根式的性質(zhì)[a2]=[a]=[a(a≥0),-a(a<0),]化簡(jiǎn)得出答案。

解:∵2、5、m是某三角形三邊的長(zhǎng),

∴5-2

故3

∴[(m-3)2]+[(m-7)2]=[m-3]+[m-7]=m-3+7-m=4。

故選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及二次根式的化簡(jiǎn),正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵。

三、二次根式的計(jì)算

例5 計(jì)算[24]-[65]×[45]的結(jié)果是 。

【分析】本題考查同類二次根式的合并以及二次根式的乘法運(yùn)算。二次根式的乘法運(yùn)算法則:[a]×[b]=[ab](a≥0,b≥0)。

解:原式=[26]-[65×45]=[26]-[36]=[-6]。

故答案為[-6]。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算,熟練掌握二次根式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵。

例6 計(jì)算[8]-[92]的結(jié)果是 。

【分析】本題考查同類二次根式的合并以及二次根式的除法運(yùn)算。二次根式的除法運(yùn)算法則:[a]÷[b]=[ab](a≥0,b>0)。

解:[8]-[92]=[22][-92]

=[22][-32]=[22][-322]=[22]。

故答案為[22]。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算,熟練掌握二次根式的除法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵。

(作者單位:江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué))

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