趙倩倩
二次根式是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與式”的主要內(nèi)容之一,也是中考考查的重點(diǎn)。因此,同學(xué)們除了要牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法外,還要能正確熟練地運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決各類問(wèn)題。
一、二次根式的概念
例1 若[x-1]有意義,則x的取值范圍是 。
【分析】本題考查二次根式[a]有意義的條件:被開(kāi)方數(shù)a≥0。
解:根據(jù)題意,得x-1≥0,解得x≥1。
故答案為x≥1。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件,利用被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)得出不等式是解題關(guān)鍵。
例2 下列各組二次根式中,化簡(jiǎn)后是同類二次根式的是( )。
A.[8]與[3] B.[2]與[12]
C.[5]與[15] D.[75]與[27]
【分析】本題考查同類二次根式的概念,應(yīng)先將各選項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式,再根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是否相同進(jìn)行判斷即可。
解:A選項(xiàng),[8]=[22],和[3]不是同類二次根式,本選項(xiàng)不合題意;
B選項(xiàng),[12]=[23],和[2]不是同類二次根式,本選項(xiàng)不合題意;
C選項(xiàng),[5]與[15]不是同類二次根式,本選項(xiàng)不合題意;
D選項(xiàng),[75]=[53],[27]=[33],兩者是同類二次根式,本選項(xiàng)符合題意。
故選D。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式的概念,解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式的概念。
二、二次根式的性質(zhì)
例3 已知:a=([12])-1+([-3])0,b=([3]+[2])([3]-[2]),則[a+b]= 。
【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)([a])2=a(a≥0),平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2以及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算。先計(jì)算出a、b的值,然后代入所求式子即可求得相應(yīng)的值。
解:∵a=([12])-1+([-3])0=2+1=3,
b=([3]+[2])([3]-[2])=([3])2-([2])2=3-2=1,
∴[a+b]=[3+1]=[4]=2。
故答案為2。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值、平方差公式、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,解題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法。
例4 2、5、m是某三角形三邊的長(zhǎng),則[(m-3)2]+[(m-7)2]等于( )。
A.2m-10 B.10-2m C.10 D.4
【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出m的取值范圍,再利用二次根式的性質(zhì)[a2]=[a]=[a(a≥0),-a(a<0),]化簡(jiǎn)得出答案。
解:∵2、5、m是某三角形三邊的長(zhǎng),
∴5-2 故3 ∴[(m-3)2]+[(m-7)2]=[m-3]+[m-7]=m-3+7-m=4。 故選D。 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及二次根式的化簡(jiǎn),正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵。 三、二次根式的計(jì)算 例5 計(jì)算[24]-[65]×[45]的結(jié)果是 。 【分析】本題考查同類二次根式的合并以及二次根式的乘法運(yùn)算。二次根式的乘法運(yùn)算法則:[a]×[b]=[ab](a≥0,b≥0)。 解:原式=[26]-[65×45]=[26]-[36]=[-6]。 故答案為[-6]。 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算,熟練掌握二次根式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵。 例6 計(jì)算[8]-[92]的結(jié)果是 。 【分析】本題考查同類二次根式的合并以及二次根式的除法運(yùn)算。二次根式的除法運(yùn)算法則:[a]÷[b]=[ab](a≥0,b>0)。 解:[8]-[92]=[22][-92] =[22][-32]=[22][-322]=[22]。 故答案為[22]。 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算,熟練掌握二次根式的除法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵。 (作者單位:江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)) 1885501186370