李國民 宿夢瑤 朱代先

摘 要：針對視覺SLAM后端非線性優(yōu)化存在計算速度慢、優(yōu)化效果差等問題，采用BA圖優(yōu)化方法，對其求解策略列文伯格-馬夸爾特（LM）算法進行改進，改善LM算法計算過程中雅可比矩陣可能存在的奇異性或病態(tài)問題，增強LM算法的穩(wěn)定性，提高LM算法的效率和BA-SLAM的精度。改進的算法將前一次的迭代結(jié)果引入到后一次信賴域半徑的計算中，可減小因當(dāng)前解遠離解集時目標(biāo)函數(shù)較大所產(chǎn)生的影響，同時在不假設(shè)雅可比矩陣非奇異的條件下，使其具有二階收斂性，提高算法的穩(wěn)定性和計算速度，提升光束平差法中LM算法的穩(wěn)健性與效率。仿真實驗結(jié)果表明，提出的改進LM算法與傳統(tǒng)LM算法和文獻[6]提出的改進LM算法相比，在相同精度時使用的迭代次數(shù)更少，計算效率高;采用改進LM算法的光束平差法具有更高的優(yōu)化精度和穩(wěn)健性。

關(guān)鍵詞：后端優(yōu)化;光束平差法;重投影誤差;最小二乘;LM算法

中圖分類號：TP 242??????????? 文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-9315（2022）01-0152-08

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2022.0120開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

An improved LM algorithm in bundle adjustment

LI Guomin，SU Mengyao，ZHU Daixian

（College of Communication and Information? Engineering，Xi’an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China）Abstract：In order to solve the problems of slow calculation speed and poor optimization effect in the non-linear back-end optimization of the visual SLAM，the bundle adjustment（BA）graph optimization method is adopted to improve the solution strategy，Levenberg-Marquardt（LM）algorithm，thus ameliorating the singularity or ill-conditioned problems that may exist in Jacobian matrix during the calculation process and with the stability of the LM algorithm enhanced.And the efficiency of the LM algorithm is improved and the accuracy of BA-SLAM is promoted.In the improved algorithm the results of the previous iteration

are substituted

into the calculation of the next trust region radius，and

the impact of the larger objective function is accordingly reduced when the current solution is far away from the solution set.At the same time，it has second-order convergence without assuming that the Jacobian matrix is not singular，an improvement of? the stability and calculation speed of the algorithm，by which the robustness and efficiency of the LM algorithm in the bundle adjustment method are improved.The simulation results show that compared with the traditional LM algorithm and the improved LM algorithm proposed in literature[6]，the improved LM algorithm uses fewer iterations are used at the same accuracy in the improved LM algorithm with computational efficiency higher.The bundle adjustment method using the improved LM algorithm? has higher optimization accuracy and robustness.Key words：back-end optimization;bundle adjustment;re-projection error;least squares;LM algorithm

0 引 言

光束平差法（bundle adjustment，BA）[1]，也稱作束調(diào)整、捆集調(diào)整，是目前視覺SLAM（simultaneous localization and mapping，同時定位與地圖構(gòu)建）后端優(yōu)化中一種重要的非線性優(yōu)化方法。在以圖優(yōu)化為主體框架的視覺SLAM中，BA將一個復(fù)雜的最小二乘問題轉(zhuǎn)變成由節(jié)點和邊構(gòu)成的問題，進而將SLAM中復(fù)雜的非線性最小二乘問題通過圖的方式直觀表達，便于后期優(yōu)化[2]。BA的核心思想是通過計算三維空間中特征點的像素坐標(biāo)與重投影坐標(biāo)之間的誤差作為重投影誤差，求其最小時對應(yīng)的路標(biāo)點坐標(biāo)和相機參數(shù)。具體實現(xiàn)是利用重投影誤差構(gòu)成最小二乘問題，再采取迭代法進行求解。傳統(tǒng)迭代方法有梯度下降法、牛頓法、高斯牛頓法（gauss newton，GN）和LM（levenberg marquardt）法[3]等。目前，LM迭代算法的應(yīng)用最為廣泛。但LM算法在計算時，引入的信賴域半徑過大或過小都會對算法的計算效率產(chǎn)生較大影響：信賴域半徑過大時，LM算法近似于梯度下降法，導(dǎo)致算法的迭代速度變慢，效率低;信賴域半徑過小時，算法近似于高斯牛頓法，穩(wěn)定性差，計算時要求函數(shù)的雅可比矩陣列滿秩。因此，如何選取一個合適信賴域半徑是LM算法研究過程中的難點。針對上述問題，一些學(xué)者提出很多策略對其進行改進，通過對信賴域半徑采用不同的計算方式，以達到保證算法收斂，提高計算效率的目的。LIANG采用2步加速的LM算法，可有效提高算法的計算精度，但使算法復(fù)雜，增加計算成本[4];UMAR提出迭代參數(shù)分別為

λk=‖JTkJk‖/‖JTkJk‖2，

λk=‖JTkJk‖，λk=‖Jk‖/‖Jk‖2

，以處理更加廣泛的問題，但存在由奇異點導(dǎo)致的不穩(wěn)定問題[5];

當(dāng)λk=（μk‖F(xiàn)k‖）/（1+‖F(xiàn)k‖）時，LM算法可在不必假設(shè)Jk為非奇異的局部誤差界的條件約束下具有二階收斂性[6];

WANG等通過信任區(qū)域技術(shù)進行迭代更新，證明了當(dāng)

λk=ηk‖JTkFk‖α，（0≤α≤2）

時，算法全局收斂，但選取的點遠離解集時，F(xiàn)k較大，會使LM算法的計算效率比較低[7];

CHEN和MA等提出多步迭代的方法，節(jié)省雅克比矩陣的計算量，有效地提高了計算效率[8-9]。

受上述改進方法的啟發(fā)，

筆者在文獻[6]改進的基礎(chǔ)上，對參數(shù)的計算方法進行重新定義，將前一次的迭代結(jié)果引入到后一次信賴域半徑的計算中[10]，可有效減小因

xk遠離解集時Fk較大產(chǎn)生的影響，使LM算法在計算過程中在不必假設(shè)Jk為非奇異的局部誤差界的條件約束下具有二階收斂性，進一步加快計算，提高算法的穩(wěn)定性和效率[11-12]。

1 光束平差算法光束平差法（BA）是視覺SLAM后端優(yōu)化的一種優(yōu)化方法[13]，屬于基于圖優(yōu)化的非線性優(yōu)化，也是目前SLAM后端優(yōu)化的主流方法[14-15]。光束平差法的核心思想是最小化重投影誤差。如圖1所示，表示光束平差法優(yōu)化問題[16]。

…為相機的位姿。如圖1所示，不同地圖點在不同相機位姿（幀）中對應(yīng)不同的投影特征點。根據(jù)圖1，光束平差優(yōu)化問題可以描述為：機器人在運動過程中，可以獲得一系列的路標(biāo)地圖點在不同時刻相機位姿中對應(yīng)的像素坐標(biāo)，而通過特征點匹配方法可以計算得到同一點在對應(yīng)圖片中的匹配投影點[17]。理論上2個像素點應(yīng)該是重合的，但由于測量誤差與外界環(huán)境等因素的影響，實際情況中2個像素點坐標(biāo)之間存在差異，2個坐標(biāo)的差異值稱為重投影誤差，以其作為目標(biāo)函數(shù)，平方作為代價函數(shù)，構(gòu)建非線性最小二乘問題[18]，見式（

1）

min

XjYi

∑ni=1

∑mj=1

e（Q（Xj，Yi），xi，j）2

（

1）

式（

1）表示n個地圖點在m個幀中;向量

xi，j為幀j上的第i個點投影坐標(biāo)，這個是實際點測量坐標(biāo);Q（Xj，Yi）為點i在幀j上的預(yù)測投影坐標(biāo)，這個是理想點坐標(biāo);e（x，y）為向量x，y的誤差，即重投影誤差。公式的意義就是最小化n個點的重投影誤差，即求解由重投影誤差構(gòu)成的最小二乘問題。由此，光束平差問題就化簡成了使得所有的特征點相關(guān)的歐式距離和最小的最小二乘問題，其目的是使代價函數(shù)和最小，求得代價函數(shù)和最小時對應(yīng)的路標(biāo)點的坐標(biāo)和相機運動參數(shù)[19-20]。對于最小二乘問題的求解，由于機器人位姿由李代數(shù)表示，難以直接求解，因此常采用迭代的方式求解[21]。常用的迭代方法有梯度下降法、牛頓法、高斯牛頓法和LM法。梯度下降法迭代速度快，但接近最優(yōu)點時，其迭代方向呈折線形，導(dǎo)致收斂速度慢，計算效率低;高斯牛頓法計算簡單且效率高，但計算時要求計算過程中采用的近似矩陣列滿秩，否則會出現(xiàn)奇異矩陣或病態(tài)問題，導(dǎo)致迭代不收斂;LM算法引入信賴域問題，可以看作是對高斯牛頓法的改進，克服高斯牛頓法的不足，得到更穩(wěn)定更準(zhǔn)確的增量，因此應(yīng)用最為廣泛[22]。

2 LM算法對于一個最小二乘問題

min

x=12‖f（x）‖22

（2）

式中 x∈Rn，f為任意非線性函數(shù)。對于復(fù)雜f函數(shù)，常采用迭代法進行求解。求解時，高斯牛頓法是最優(yōu)算法中最簡單的方法之一，它將f（x）一階泰勒展開。

f（x+Δx）≈f（x）+J（x）Δx

（3）

式中 J（x）為雅可比矩陣，表示f（x）關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)。當(dāng)前需求解增量Δx，使‖f（x+Δx）‖2最小，即求

Δx=argminΔx

12

‖f（x）+J（x）Δx‖2

（4）式（4）對Δx求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為零，得到增量Δx為

Δx=-（J（x）TJ（x））-1

J（x）Tf（x）

（5）為便于記憶，將上式記為

Δx=H-1g

只有半正定性，因此在使用高斯牛頓法時可能會出現(xiàn)H為奇異矩陣或病態(tài)的情況，導(dǎo)致求出的增量過大，這樣無法保證迭代的收斂，也會導(dǎo)致采用的局部近似不夠準(zhǔn)確[23]。為克服高斯牛頓法增量過大導(dǎo)致迭代不穩(wěn)定的缺點，同時結(jié)合梯度下降法和高斯牛頓法的優(yōu)點，列文伯格提出通過在對角線上增加非負常數(shù)λ來修改增量方程，得到列文伯格·馬夸爾特（levenberg marquardt，LM）算法[24]，其增量方程為

Δx=（H+λD）-1g

（7）一般地，λ稱為信賴域半徑或阻尼因子，

D為對增量進行轉(zhuǎn)換的矩陣，在LM算法中，為簡化計算，常用單位矩陣I代替。由式（7）可知，當(dāng)λ=0時，就得到了高斯牛頓法;當(dāng)λ很大時，近似得到梯度下降法，因此，可以將LM算法看作是梯度下降法和高斯牛頓法的一種結(jié)合。LM算法允許多次迭代至收斂，迭代步長被控制在一個高斯牛頓所生成的二次多項式近似被信任的區(qū)域內(nèi)，因此，LM算法又被稱為信賴域方法。LM算法步驟如下

步驟7：若‖JTf‖≤e，結(jié)束循環(huán)，否則令k=k+1，轉(zhuǎn)到步驟3。目前大部分BA求解都是用LM算法，它是解決非線性最小二乘問題最為常用的方法，采用LM算法的求解方式，可在一定程度上避免線性方程組的系數(shù)矩陣的非奇異和病態(tài)問題，提供更穩(wěn)定、更準(zhǔn)確的增量

Δx。受文獻[6]的啟發(fā)，筆者對LM算法進行改進，使LM算法在不必假設(shè)

Jk

為非奇異的局部誤差界的條件約束下具有二階收斂性，并且可以有效減小因xk遠離解集時Fk較大所產(chǎn)生的影響。

3 改進的LM算法

3.1 改進算法文獻[6]中的改進方法，是將信賴域半徑定義為

式中 μk為一個可調(diào)參數(shù)，隨每次迭代的相對變化程度改變;

‖F(xiàn)k‖=fTkfk

，表示目標(biāo)函數(shù)，用來計算迭代后函數(shù)的相對下降，以此判斷迭代步長的有效性以及信賴域半徑是否需要更新。通過以上運算，LM算法的運算過程中，在保證收斂的條件下，可避免出現(xiàn)因雅克比可能存在的奇異性導(dǎo)致算法不收斂的問題，提高運算速度。筆者在文獻[6]的基礎(chǔ)上進行改進，使其在保證收斂的同時，進一步提高算法的效率，故將算法的信賴域半徑定義為

1）由式（10）可知，增加‖F(xiàn)k‖的冪進行計算可以更明顯表示出迭代后目標(biāo)函數(shù)的相對變化程度，影響迭代增量的計算，提高算法的迭代效率，但冪指數(shù)過大會使計算量增多，增加計算時間，降低算法效率。受文獻[6]和[10]的啟發(fā)，文中通過計算

‖F(xiàn)k‖的平方加快迭代，有效提高計算效率。由式（1

1）可知，當(dāng)xk遠離解集時，

‖F(xiàn)k‖2/（1+‖F(xiàn)k‖2）趨近于1，λk接近于μk;當(dāng)xk接近于解集時，F(xiàn)k趨向于0，λk接近于μk‖F(xiàn)k‖2。改進LM算法的計算步驟與傳統(tǒng)LM算法步驟相似，僅在計算出相對下降比率rk后再進行以下計算。

1）判斷rk若rk≥p0，令xk+1=xk+Δx;

否則令xk+1=xk。

2）判斷rk若rkp2，令μk+1=μk/6，否則，令μk+1=μk。

通過以上2步運算，可以判斷迭代效果的好壞以及迭代是否可取，進而調(diào)節(jié)相應(yīng)參數(shù)，提高算法效率。

3.2 收斂性推導(dǎo)已知定理：對任意函數(shù)和任意初始變量的迭代算法，迭代收斂的充分必要條件是

ρ（h）<1

（13）在文中，迭代步長由信賴域半徑?jīng)Q定，且計算過程中的可調(diào)參數(shù)μk∈（0，

1），由此可以推出

（15）滿足迭代收斂條件，因此改進的LM算法收斂。

4 實驗結(jié)果及分析實驗的硬件環(huán)境為筆記本電腦（英特爾i5處理器，4G運行內(nèi)存），實驗環(huán)境為MATLAB 2016a。

4.1 收斂性分析為驗證改進LM算法的收斂性，使用2組自建數(shù)據(jù)集進行實驗。數(shù)據(jù)集分別是遞增和遞減的2組數(shù)據(jù)，各自包含20個點和30個點。對于2組實驗數(shù)據(jù)，分別使用LM算法、文獻[6]改進的LM算法和文中改進的LM算法（I-LM）3種方法，在設(shè)置相同參數(shù)的條件下進行擬合，計算不同迭代次數(shù)時的均方根誤差（RMSE），用來表示分析算法的收斂性，均方根誤差計算見式（16）

圖2和圖3顯示了2組數(shù)據(jù)均方根誤差對比。橫、縱坐標(biāo)分別代表迭代次數(shù)和均方根誤差。從圖2和圖3可以看出，文獻[6]LM算法和I-LM算法，隨迭代次數(shù)增加，RMSE

都不斷減小，并且當(dāng)?shù)螖?shù)達到一定數(shù)值時，

RMSE的值不再變化。這表明當(dāng)?shù)_到一定次數(shù)時，文獻[6]LM算法和I-LM算法的誤差都不再減小，趨于平穩(wěn)。文獻[6]證明其改進的LM算法是收斂的，由此表明，改進的LM算法也具有相似的收斂性。

4.2 改進LM算法結(jié)果分析為驗證文中改進LM算法的性能，將LM算法、文獻[6]LM算法和I-LM算法分別應(yīng)用到2組自建數(shù)據(jù)集中，結(jié)果見表1、表2。2張表格分別記錄2組數(shù)據(jù)使用3種方法擬合的迭代次數(shù)、均方根誤差和運行時間，并進行對比分析。

由表1可知，使用LM、文獻[6]LM和I-LM的3種算法，其RMSE相同，表明3種算法的最終計算結(jié)果相同;但從迭代次數(shù)看，傳統(tǒng)LM算法的數(shù)值最大，文獻[6]LM算法次之，I-LM算法最小，說明在達到相同的迭代效果時，傳統(tǒng)LM算法需要進行運算的次數(shù)最多，I-LM算法的次數(shù)最少;從運行時間看，LM算法的運行時間最長，文獻[6]LM算法次之，I-LM算法最短。通過以上數(shù)據(jù)對比，可以得出，I-LM算法較傳統(tǒng)LM算法和文獻[6]LM算法在迭代效率和運行時間上都有改進：在達到相同的計算結(jié)果的前提下，I-LM算法使用的迭代次數(shù)最少，運行的時間最短，進而說明改進算法的效率更高。

由表2可知，LM算法最終計算結(jié)果的RMSE比文獻[6]LM算法和I-LM算法的數(shù)值大，表明LM算法的計算誤差較大，文獻[6]LM算法和I-LM算法的結(jié)果更優(yōu);從迭代次數(shù)看，文獻[6]LM算法的數(shù)值最大，I-LM算法最小，說明在達到相同的迭代效果時，文獻[6]LM算法需要進行運算的次數(shù)最多，I-LM算法的次數(shù)最少;從運行時間看，LM算法的運行時間最長，I-LM算法最短。以上數(shù)據(jù)說明，雖然LM算法比文獻[6]LM算法的迭代次數(shù)少，但其RMSE更大，也就是說[6]-LM算法迭代多次后可以得到更好的運算結(jié)果，效果更好。I-LM算法在RMSE、迭代次數(shù)和運行時間方面的值均為最小值，說明I-LM算法相較于LM算法，在進行少次迭代的情況下，可以達到更好的迭代效果，運行時間也最短;相較于文獻[6]LM算法，I-LM算法在達到相同效果的情況下，需要進行運算的次數(shù)最少，時間也最短。綜合以上結(jié)果，改進的LM算法可以使用最少的迭代次數(shù)達到或者優(yōu)于LM算法和文獻[6]LM算法計算的數(shù)據(jù)結(jié)果，同時使用的時間也最短，進一步表明改進的LM算法可以顯著提高算法的運算效率。

4.3 改進LM算法應(yīng)用仿真實驗為進一步驗證改進算法的性能，將基于改進前后的算法的光束平差法分別應(yīng)用于優(yōu)化仿真，采用2D的2 MIT Killian Court數(shù)據(jù)集進行實驗。實驗進行3組，分別使用基于傳統(tǒng)LM算法（LM-BA）、文獻[6]LM算法（文獻[6]中LM-BA）和文中改進的LM算法（I-LM-BA）的光束平差法對根據(jù)位姿頂點等數(shù)據(jù)構(gòu)建的軌跡圖進行優(yōu)化，實驗結(jié)果如圖4～6所示。

圖4～6的橫縱坐標(biāo)分別表示機器人位置，單位為米（m）。圖4表示LM-BA優(yōu)化，圖5表示文獻[6]中LM-BA優(yōu)化，圖6表示I-LM-BA優(yōu)化，每幅圖中藍色線條表示初始構(gòu)建的軌跡圖，綠色線條表示一次優(yōu)化后的軌跡圖，紅色線條表示2次優(yōu)化后的軌跡圖，紫色線條表示4次優(yōu)化后的軌跡圖。從圖4可以看出，采用LM-BA對軌跡圖進行優(yōu)化時，算法沒有產(chǎn)生奇異性導(dǎo)致優(yōu)化的軌跡圖不準(zhǔn)確的問題，但是每次優(yōu)化后的軌跡圖都不相同，說明算法的效率比較低，導(dǎo)致每次優(yōu)化計算都會產(chǎn)生較上一次更為準(zhǔn)確的軌跡圖;圖5和圖6所示的圖形中，2次優(yōu)化和4次優(yōu)化后的軌跡圖是幾乎重合，表明文獻[6]中LM-BA和I-LM-BA這2種方法都可以更快的完成優(yōu)化，同時對比3組實驗中4次優(yōu)化后的軌跡圖，文獻[6]中LM-BA和I-LM-BA這2種方法優(yōu)化的軌跡圖更為精確，表明2種方法速度更快、精度更高;對比圖5和圖6，圖5中一次優(yōu)化后的軌跡圖產(chǎn)生畸變，這是由于其計算過程中出現(xiàn)奇異性問題引起的，而圖6中，采用I-LM-BA方法，一次優(yōu)化后的軌跡圖雖然不是完全平滑，但其畸變程度大大減弱，表明I-LM-BA方法更加穩(wěn)定，同時，采用I-LM-BA方法，2次優(yōu)化和4次優(yōu)化后的軌跡圖幾乎完全重合，而采用文獻[6]中LM-BA方法，2次優(yōu)化后和4次優(yōu)化后的軌跡圖大致重合，但還是明顯可以看出兩者的差異，并且2次優(yōu)化后的軌跡圖仍舊存在畸變，需進一步優(yōu)化才可以消除，綜上，基于改進LM算法的光束平差法效率更高，也更穩(wěn)定。

5 結(jié) 論

1）對傳統(tǒng)LM算法系數(shù)矩陣可能存在的問題進行分析，并參考反饋原理，提出一種通過重新定義信賴域半徑計算方式進而改進LM的方法。2）每次信賴域半徑的計算根據(jù)前一次的迭代效果自動調(diào)整，使LM算法在更穩(wěn)定的前提下二階收斂。通過不同的數(shù)據(jù)實驗，文中改進的算法相較于改進前與文獻[6]的改進，其迭代次數(shù)平均減小約40.1%和38.1%，用時最短，表明該算法更高效、更穩(wěn)定。3）仿真實驗表明，相較于文獻[6]的改進，文中提出基于改進LM算法的BA效率更高，可以更穩(wěn)定、更快完成后端優(yōu)化。

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