羅 剛，張玉龍，任 毅，郭正儒，潘少康

(1.長安大學 公路學院, 西安 710064；2. 廣西交通投資集團, 南寧 530029；3. 紹興文理學院 土木工程學院, 浙江 紹興 312000；4. 廣西新發(fā)展交通集團有限公司, 南寧 530029)

水中懸浮隧道是一種全封閉新型交通結構形式[1-2]。由于懸浮在水中，相比于橋梁、沉管隧道等其他結構，具有跨越能力大、縱向坡度小、布線靈活、受外界干擾小、綠色環(huán)保等優(yōu)點，使其成為21世紀最具競爭力的跨海結構之一[3]。全世界范圍內時有發(fā)生的水下爆炸事故為懸浮隧道的安全運營帶來了極大威脅。這方面現(xiàn)有研究包括：文獻[4]將懸浮隧道簡化為等截面的彈性支撐梁，研究了水下爆炸沖擊波作用下管體的位移和彎矩響應；文獻[5-6]通過LS-DYNA對懸浮隧道水下爆炸沖擊作用下的動力過程進行模擬，分析了爆炸參數(shù)、支撐體系對其結構響應的影響；文獻[7-8]將數(shù)值模擬和激波管爆炸試驗相結合研究了懸浮隧道的混凝土性能和截面形式對抗爆的影響。上述研究大多集中于數(shù)值模擬，鮮有理論方面的研究，且在計算中對爆炸荷載作了較大簡化，沒有考慮氣泡荷載。車輛荷載是懸浮隧道作為交通結構物所面臨的常規(guī)荷載，這方面的研究包括：文獻[9-10]將車輛荷載簡化為單自由度系統(tǒng)，研究了懸浮隧道車-隧耦合的動力響應問題；文獻[11-13]將車輛荷載簡化為移動荷載序列，研究了懸浮隧道在不同形式移動荷載作用下的動力響應問題?？紤]到懸浮隧道在運營期間必然受到車輛荷載的作用，因此有必要考慮車輛荷載和其他荷載共同作用下懸浮隧道的動力響應。

基于懸浮隧道在水下爆炸方面現(xiàn)有研究的不足，本文一方面通過Cole沖擊波半經驗公式和Vernon氣泡運動方程考慮完整的沖擊波及氣泡爆炸荷載，另一方面通過建立任意移動荷載序列模型模擬公路I級車輛荷載的作用。在此基礎上，建立能考慮懸浮隧道水平、垂直振動的動力學模型，最終對爆炸和移動荷載參數(shù)進行分析，得到水下爆炸-移動荷載作用下懸浮隧道的響應規(guī)律，為懸浮隧道及同類水下結構的相關研究提供參考。

1 水下爆炸及移動荷載模型

懸浮隧道依靠管體自身的浮力和錨索的張力而懸浮在水下一定深度，主要由水下基礎、錨索支撐、隧道管體等部分組成，具體如圖1所示，本節(jié)將建立懸浮隧道受到的主要荷載模型，隧道運動方程將在第2節(jié)中建立。水下爆炸荷載主要由沖擊波和氣泡脈動兩部分組成，大約各占爆炸總能量的一半。水下爆炸荷載壓力變化曲線可簡化為兩個階段，如圖2所示。第Ⅰ階段為沖擊波荷載的正壓衰減階段；第Ⅱ階段為氣泡膨脹-收縮運動形成的流場脈動壓力階段。

1.1 沖擊波荷載

水下爆炸沖擊波荷載的計算較為成熟，通?？刹捎肅ole綜合大量水下爆炸實驗數(shù)據(jù)提出的半經驗公式[14]來計算：

(1)

圖1 懸浮隧道形象圖

圖2 水下爆炸荷載的簡化

式中：pi為入射波壓力；pm=52.4(W1/3/R)1.13為TNT炸藥發(fā)生水下爆炸的沖擊波超壓值，MPa；R為爆心距；W為炸藥量；t1為沖擊波壓力的衰減常數(shù)，ms，t1=0.084W1/3(W1/3/R)-0.23。

如圖3所示，由水下爆炸作用產生的沖擊波相對于結構而言可稱為入射波，當入射波作用在水下結構上，會使結構發(fā)生運動從而產生散射波，作用在結構上的壓力也會因兩種波的共同作用發(fā)生變化。許多學者對沖擊波的這種瞬態(tài)流固耦合效應進行了研究[15-16]，其中泰勒平板理論應用較為廣泛，是一種計算荷載總壓力的簡便方法：

p1(t)=2pi(t)-ρwsvp

(2)

式中：p1為沖擊波對水下結構造成的總壓力；ρw為水的密度；s為波在水中傳播的速度，可取1 500 m/s；vp為結構的振動速度。

圖3 水下爆炸流固耦合

為了對式(2)進行化簡，考慮結構的受力和運動，可以建立其瞬態(tài)平衡方程如式(3)所示。進一步，根據(jù)vp(0)=0的初始條件，解得結構的速度vp的表達式如式(4)所示。

(3)

(4)

式中：ms為單位面積結構的質量，對于梁而言可取為單位長度管體的質量；β為沖擊波擾動的水體質量與結構質量的比值，β=ρwst1/ms。

將vp代入式(2)可得作用在結構上的總壓力為水下爆炸第Ⅰ階段的荷載[17],即

(5)

1.2 氣泡脈動荷載

氣泡脈動荷載的求解相對復雜，可以通過氣泡的運動方程或氣泡荷載經驗公式來計算，前者在計算精度方面優(yōu)于后者，因此本文采用氣泡運動方程來計算，氣泡脈動荷載的具體求解步驟如圖4所示。

圖4 氣泡荷載計算步驟

考慮氣泡的遷移效應和氣泡阻力的影響，氣泡模型如圖5所示。在此假設基礎上，氣泡的運動可采用Vernon無量綱微分方程組描述[18]：

(6)

式中：χ為無量綱氣泡半徑；ζ為無量綱壓頭；ζ0為無量綱初始壓頭；k為無量綱能量系數(shù)，對于TNT炸藥，k≈0.074 3z01/4，其中z0為初始壓頭；γ為絕熱氣體系數(shù)取1.25；Cd為氣泡阻尼經驗系數(shù),取2.5。

圖5 氣泡運動示意圖

定義長度尺度因子L=[3E0/(4πρwgz0)]1/3與時間尺度因子T=1.428W1/3/z05/6，E0為爆炸的總能量(對于TNT，可取E0=2.056×106W)。這樣便可以得到上述方程中的無量綱參數(shù)：

(7)

式中：a為氣泡半徑，z為壓力水頭，τ為無量綱時間。

通過式(6)解得無量綱氣泡半徑χ(t)和壓頭函數(shù)ζ(t)等氣泡參數(shù)后，便可采用勢流理論來計算氣泡運動產生的流體加速度。球形氣泡脈動壓力下的流場速度勢函數(shù)可設為拉普拉斯方程對于球坐標已知解的形式?；趧萘骼碚?，流體速度為速度勢的負梯度，對速度勢函數(shù)進行梯度運算即可得到氣泡脈動作用下的流體速度u：

(8)

這樣計算的精度與切片理論的精度相同，最終作用在隧道管體的氣泡脈動荷載[21]可以寫為

(9)

圖6 水下爆炸荷載簡化示意圖

通過以上的步驟建立了能夠考慮爆炸沖擊波和氣泡脈動的爆炸荷載兩階段時程函數(shù)。至此，作用在懸浮隧道上的爆炸荷載時域分布可以表示為

(10)

爆炸荷載的大小和方向可以通過爆心距R和入射角θ進行控制。除此之外，因為懸浮隧道的管體長度較長,還需要考慮水下爆炸荷載沿懸浮隧道縱向的空間分布[22]，將式(10)與之相乘后得到最終作用在懸浮隧道的水下爆炸荷載為

(11)

式中：x為懸浮隧道長度方向上的坐標，l懸浮隧道的長度。

1.3 移動荷載序列

懸浮隧道作為交通結構物，車輛荷載的作用不可忽略。不同形式的車輛荷載都可采用移動荷載序列來模擬。圖7給出了單個移動荷載作用在管體上的示意圖，如圖7第i個移動荷載Fi在t=ti時刻進入管體，此時它的荷載作用位置在管端(x=0)則可用狄拉克函數(shù)表示為Fiδ(x-0)。經過T秒后在t=ti+T時刻，移動荷載的作用位置為x=vT，則其表達式等價于Fiδ[x-v(t-ti)]。同時在移動荷載未駛入和駛出管體期間，其作用應該消失，這里利用階躍函數(shù)H(t)構建出Ci(t)來控制第i個移動荷載在ti到ti+l/v時間內出現(xiàn)，最終將多個移動荷載疊加得到移動荷載序列的表達式為

(12)

圖7 單一移動荷載示意圖

為了使移動荷載的計算結果更具參考意義，參考現(xiàn)行的《公路工程技術標準》(JTG B01—2014)[23]，本文選用公路I級車輛荷載作為懸浮隧道內的移動荷載，規(guī)范中的車輛荷載要求采用標準車輛荷載來進行布置，如圖8所示，雙車道隧道在橫向需布置兩個標準車輛荷載。為了簡化此處將標準移動荷載的荷載值乘以2來考慮作用在懸浮隧道上的移動荷載。

圖8 公路I級荷載

2 隧道運動方程

在建立懸浮隧道運動方程時，為了便于計算在此作出以下假定：1)采用連續(xù)的彈性地基剛度簡化離散的錨索支撐[9]；2)懸浮隧道的長度遠大于其徑向尺寸，滿足簡化為梁的條件；3)懸浮隧道的駁岸接頭滿足簡支支撐條件。

2.1 流體作用

式(13)為Morison方程，常常被用來求解作用在單位長度管體上的流體作用，方程右邊第1項為流體的附加阻尼力，第2項為流體的附加慣性力?？紤]管體Y、Z兩個方向的運動后得到其流體作用：

(13)

式中：CD為拖拽力系數(shù)，此處CD取0.7；Cm為附加質量系數(shù)[24]，此處Cm取0.7或1，其他參數(shù)同上。

2.2 微分方程的建立與求解

考慮到懸浮隧道的跨度遠大于截面尺寸，可將錨索簡化為地基彈簧，將懸浮隧道簡化為等間距的連續(xù)支撐梁來分析整體動力響應[25]。如圖9所示，在考慮爆炸荷載、移動荷載、流體作用后，可以根據(jù)D′Alembert原理建立懸浮隧道Z、Y方向的動力平衡方程：

(14)

(a)側視圖

(b)剖面圖

對于式(14)可采用分離變量法進行解耦，管體豎直和水平兩個方向的位移函數(shù)可以表示為

(15)

式中Zn(t)、Yn(t)分別為管體第n階振型的廣義坐標。

根據(jù)振型正交性進行化簡，可得到便于計算的常微分方程組：

(16)

式中：Dzn、Dyn分別為管體在豎直和水平方向上受到的流體非線性阻尼力，PIz、PIy分別為管體在豎直和水平方向受到的爆炸荷載積分后的結果，表達式分別為

由式(16)可以發(fā)現(xiàn)，振動系統(tǒng)中存在非線性項Dzn和Dyn，流體作用中附加阻尼項將多階振型耦合，使得該方程的無法求得解析解，在后續(xù)計算中將采用四階Runge-Kutta法數(shù)值積分求解微分方程組。

3 參數(shù)分析

目前懸浮隧道尚處于研究階段，國內外沒有已建成的，參考國內外各待建懸浮隧道的設計參數(shù)，本文中數(shù)值算例所采用的參數(shù)[9-11]如下所列。

懸浮隧道的管體參數(shù)：長度l=500 m，管體外徑D=14.26 m，管體厚度tk=1.43 m，彈性模量E=32 GPa，管體密度ρ=2 018 kg/m3，管體深度H0=30 m，管體黏滯阻尼cs=10-4N·s/m。懸浮隧道錨索的參數(shù)：錨索間距h=100 m，彈性模量Ec=190 GPa，長度lc=161 m，外徑dc=0.35 m，傾角α=45°。流體計算參數(shù)：密度ρw=1 028 kg/m3，水中波速s=1 500 m/s。后續(xù)計算中所采用的一般移動荷載的速度v=90 km/h，一般爆炸荷載的炸藥量W=50 kg，爆心距R=20 m。

3.1 模型驗證

文獻[26]通過爆炸試驗測得了水下爆炸的沖擊波的壓力，本文沖擊波計算結果與文獻[26]結果如圖10所示。由圖10(a)可知兩者具有相同的沖擊波壓力峰值和相似的變化規(guī)律，只是后者在曲線中伴有細微局部波動，這主要是現(xiàn)場測試結果還包括了氣泡在沖擊波階段產生的部分壓力。圖10(b)中還給出了本文計算出的氣泡半徑時程曲線，可采用Cole提出的氣泡最大半徑Rmax, j=3.38[W/(d+10.3)]1/3和周期Tj=2.11W1/3/(d+10.3)5/6經驗公式進行驗證，經驗證得到本文計算的氣泡最大半徑和周期的誤差分別為1.0%和2.2%。

文獻[9]研究了單獨移動荷載作用下懸浮隧道的動力響應，為了驗證本文移動荷載模型和結構模型的可靠性，圖11(a)和11(b)分別為移動荷載下隧道的跨中豎向位移時程曲線和移動荷載在跨中時的豎向位移分布曲線。由圖11可知本文和文獻[9]中的結果基本一致。由此可見，本文中建立的荷載模型和結構模型是較為可靠的。

(a)沖擊波壓力驗證

(b)氣泡脈動半徑驗證

(a)跨中時程位移驗證

(b)隧道豎向分布位移驗證

3.2 水下爆炸荷載影響分析

本小節(jié)將討論爆炸荷載參數(shù)對懸浮隧道動力響應的影響。為了單獨分析爆炸荷載的作用，此處暫不考慮車輛荷載的作用。圖12給出了不同爆炸荷載入射角下懸浮隧道豎直和水平方向上的最大位移。可以看出兩個方向上的最大位移分布相似，隨荷載入射角的增大豎直位移呈拋物線下降，水平位移呈拋物線上升，在入射角接近45°時相等。兩者相似的原因在于本文選擇了各向同性的管體參數(shù)及錨索剛度。為了避免冗雜，此處選擇0°荷載入射角(即爆炸發(fā)生在隧道跨中正下方)，討論豎直方向上的動力響應。

沖擊波超壓值與炸藥量W和爆心距R距離有關，定義沖擊因子φ=W1/3/R可綜合考慮炸藥量和爆心距的影響[27]。圖13給出了3種沖擊因子下隧道的位移云圖?？梢钥闯靓?0.1與φ=0.2兩種沖擊因子下隧道位移分布較為相似，表現(xiàn)為正負位移的交替出現(xiàn)，而當φ=0.4時位移分布有所改變，峰值明顯增大，且不同隧道位置處的位移差值顯著增大。與φ=0.1相比沖擊因子增大2倍和4倍，最大位移分別增大4倍和10倍。由此可見沖擊因子能夠極大促進懸浮隧道最大位移的增加。

圖12 不同荷載入射角下隧道最大位移

圖13 不同沖擊因子下隧道位移

與沖擊波荷載不同，氣泡荷載除受炸藥量W影響外還受爆點水深d的影響。圖14(a)和14(b)給出了不同炸藥量、爆點水深與隧道跨中最大位移的關系。由圖14(a)可以看出在3種d值下隨炸藥量的增大，隧道最大位移基本呈線性增大，僅當d=50 m時曲線有所上浮。由圖14(b)可以看出，在3種W值下隨爆點水深的增大，隧道最大位移基本呈線性減小，但當W=50 kg時曲線末端逐漸平緩。這說明爆點水深只能在一定范圍內抑制水下爆炸。

(a)不同爆點水深下隧道跨中最大位移

(b)不同炸藥量下隧道跨中最大位移

圖15(a)和15(b)給出了隧道頻率與氣泡頻率的關系曲線。可以看出隨炸藥量的增大氣泡荷載頻率成指數(shù)增大，隨爆點水深的增大氣泡荷載頻率成反比例減小。另外，在不同炸藥量和水深情況下氣泡荷載頻率均小于3 Hz，而隧道的1階和2階固有頻率分別為0.079、0.594 Hz，因此隧道有發(fā)生共振的可能性，由圖中也可看出隧道的頻率直線與氣泡荷載頻率曲線存在交點。

(a) 氣泡荷載頻率與炸藥量的關系

(b) 氣泡荷載頻率與爆點水深的關系

3.2 移動荷載耦合效應

本小節(jié)分析移動荷載耦合效應對懸浮隧道動力響應的影響。為了一般地分析爆炸時移動荷載位置的影響，定義隧道縱向無量綱位置變量ξ=x/l。

選擇炸藥量W=500 kg，移動荷載速度為v=50 m/s進行計算分析。圖16(a)給出了3種移動荷載位置下(1/8跨、1/4跨、1/2跨，分別對應ξ為0.125、0.25、0.5)爆炸后的跨中位移時程曲線?？梢钥闯霰ㄇ肮荏w位移在車輛荷載作用下緩慢增大，爆炸發(fā)生后位移出現(xiàn)劇烈的震蕩，并由負向轉為正向。ξ為0.125、0.25、0.5時對于的位移峰值分別為0.127、0.148、0.152 m。由此可知移動荷載在管體邊緣(1/8跨)時發(fā)生爆炸的位移峰值最小，其余兩種情況的位移峰值相近。

為了進一步分析，圖16(b)給出了移動荷載位置與隧道最大位移的關系曲線。可以看出在3種移動速度下(對于一般車輛是難以達到75 m/s車速的，此處選擇較大的車速是從理論上分析車速的影響規(guī)律)，隨移動荷載位置參數(shù)ξ的增大最大位移都呈先增后減的變化趨勢，且移動速度越大，曲線峰值越大，橫坐標ξ越接近0.5。同時曲線表現(xiàn)出極強的非對稱性，當ξ接近于1(即車輛即將駛出隧道)最大位移出現(xiàn)明顯的下降。這說明移動荷載將要駛出隧道時發(fā)生爆炸對隧道危害性較小，跨中移動荷載接近跨中時發(fā)生爆炸對隧道危害性較大。

(a)不同移動荷載位置下跨中位移

選擇炸藥量W=500 kg，移動荷載位置參數(shù)ξ=0.5進行計算分析。圖17(a)給出了3種移動荷載速度下(25、50、75 m/s)爆炸后的跨中位移時程曲線。可以看出3種情況下的位移分布整體相近。移動荷載速度為25、50、75 m/s對應的隧道最大位移分別為0.13、0.15、0.16 m。由此可知，隧道位移在移動荷載速度最小時位移峰值最小，移動荷載速度最大時位移峰值最大。

為了進一步分析，圖17(b)給出了移動荷載速度與隧道最大位移的關系曲線。可以看出在3種移動荷載位置下圖中關系曲線的分布各不相同。其中當ξ≠0.5時，移動荷載速度對最大位移的影響不大。當ξ=0.5時，隨移動荷載速度的增大隧道最大位移整體呈拋物線上升趨勢?？傮w而言，爆炸移動耦合作用下懸浮隧道的最大位移受到移動荷載位置和速度的綜合影響，車輛以最快速度行駛至跨中時刻發(fā)生爆炸對隧道危害性較大。

(a) 移動荷載位置與最大位移的關系

(b)移動荷載速度與最大位移的關系

為了討論移動荷載分布對懸浮隧道的影響，采用與上文不同移動荷載形式——等間距移動荷載(列車荷載)進行計算，單個移動荷載大小取6×105N，炸藥量W取500 kg，移動荷載速度v取50 m/s。由圖18可以看出不同荷載數(shù)量和間距下管體的位移整體變化相似，由于選擇跨中加載爆炸，情況1(間距為28 m，8個移動荷載)到達跨中時間稍大于其他兩種情況。3種情況下(間距為28 m，8個移動荷載；間距為14 m，8個移動荷載；間距為28 m，4個移動荷載)的位移峰值分別為0.26、0.29、0.20 m，由此可以看出當荷載間距較小時位移稍大，減小移動荷載間距對管體爆炸動力響應具有一定促進作用。另一方面當荷載數(shù)量由4個增加至8個后，管體的位移有小幅增加。由于可以看出在移動和爆炸耦合作用下增加移動荷載的數(shù)目對于管體位移也具有一定促進作用。

圖18 移動荷載分布對懸浮隧道位移的影響

4 結 論

1)本文建立的懸浮隧道爆炸-移動模型能夠考慮水下爆炸荷載的作用階段和空間位置、懸浮隧道管體的水平、豎直兩方向運動狀態(tài)以及隧道內的移動荷載，較為符合懸浮隧道的實際受力情況。

2)沖擊因子能夠極大促進懸浮隧道最大位移的增加。在僅水下爆炸荷載作用下與φ=0.1相比，沖擊因子增大2倍和4倍時，隧道最大位移分別增大了4倍和10倍。

3)隨炸藥量的增大氣泡荷載頻率成指數(shù)增大，隨爆點水深的增大氣泡荷載頻率成反比例下降，不同炸藥量和水深情況下，氣泡荷載頻率均小于3 Hz，與懸浮隧道低階頻率相近容易導致共振。

4)在水下爆炸和移動荷載作用下，懸浮隧道的最大位移受到移動荷載位置和速度的綜合影響，其中車輛以最快速度行駛至跨中時刻發(fā)生爆炸對隧道危害性較大。

5)本文在計算沖擊波的瞬態(tài)流固耦合效應時采用了較為簡便的泰勒平板理論，在一定程度上降低了計算的精度，后續(xù)可通過數(shù)值模擬或試驗對水下爆炸荷載進行修正以進一步提高計算準確性。