牛亞蘭 宋業(yè)捌 申遠昌 丁超 趙明

摘 ? 要：提出基于模擬仿真的方法研究平行板電容器的工作過程，掌握其工作過程的動態(tài)特性。從有限元的基本理論出發(fā)，以有限元仿真軟件為工具，建立平行板電容器模型，分析與研究了平行板電容器在充放電過程中電場、電壓和電流的具體變化情況。研究結果表明，仿真結果能較好地模擬出平行板電容器兩板間的場強和等勢面、充放電過程的電壓和電流的詳細變化情況。該方法簡單快捷，能將抽象的物理場轉化為形象、可見的圖形，可為電子和電力工業(yè)對電容器的開發(fā)和應用提供參考依據，同時可以為超級電容器的研發(fā)和應用提供技術支持。

關鍵詞：平行板電容器;特性分析;有限元法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2022）2-0055-4

1 ? ?引 ?言

電容器是一種較為常見的電子元件，由于電容器在電子電路中起著調諧、旁路、耦合、濾波等重要的作用，所以是電路中必不可少的元器件之一[1]。隨著電子信息技術的迅速發(fā)展，電子產品更新速度越來越快、更新周期越來越短，電容器需求量持續(xù)增高，進一步促進了電容器產業(yè)的發(fā)展[2]。為了適應市場的需求，研發(fā)和生產質量可靠的電容器，則需要對電容器的工作特性和主要參數等進行深入的研究和掌握。電容器在工作過程中，耐壓和電流的參數直接影響到電容器的壽命，因此電容器的過電壓保護引起了人們的關注[3]。此外，電容器充放電時能量傳輸和電場分布對于學生認識和掌握電容器的工作特性、增強對電容器知識的理解、促進學生實踐科學探究活動和工程師對電容器的研發(fā)等具有重要意義[4]。電容器中電流、電壓和磁場等物理場較為抽象、晦澀難懂，所以難以理解和掌握。為了方便理解和掌握，可以通過有限差分法來計算和模擬電容器中的電場強度分布，但分析研究還不夠全面[5]。因此，對電容器進行深入分析與仿真，對掌握其工作特性是很有必要的。在模擬與仿真中，有限元是常被采用的思想方法。有限元是指集中在一起能夠表示實際連續(xù)區(qū)域的一些離散單元，有限元分析法是基于有限元的一種求解偏微分方程邊值問題近似解的數學方法，指在進行問題求解時將目標區(qū)域分解成很多個連續(xù)的子區(qū)域，每一個子區(qū)域作為一個簡單單元，即有限元。由于有限元分析方法具有計算精度高且能適應各種復雜問題等優(yōu)勢，從而成為有效的分析手段而受到較多的關注?；谟邢拊奶攸c，有限元分析法可應用于土木工程[6]、機械制造[7]、電力[8]、材料科學[9]、力學[10]等領域。

本文從有限元分析的基本理論出發(fā)，以有限元仿真軟件COMSOL為工具，以平行板電容器為例，模擬與仿真電容器在充放電過程中的電場分布、電流變化、電勢分布等問題，將較為抽象、難以理解的物理場轉化為形象、可見的圖形，用圖表與動畫等更為直觀的方式展現和描述平行板電容器的充放電過程，從而更好地理解和掌握電容器的工作特性。

2 ? ?電容器工作原理

電容器是一種具有儲存電荷能力的電子元件，電荷可以在電容器的電極上儲存。電容器可以與電感器配合使用，從而構成LC振蕩電路。本例采用的工作電路如圖1所示，極板上的電荷在電場中受到靜電力作用而發(fā)生移動，如果極板間存在著電介質，則電荷移動將受到影響而使得電荷聚集在極板上，從而實現電荷的儲存。

3 ? ?平行板電容器有限元建模分析

在COMSOL仿真軟件中，選擇在AC/DC模塊下的電流和電路中添加物理場，物理場加載完成后進行模型幾何體的構建。平行板電容器的等效模型如圖2所示，圖中極板的長寬均為30 cm，板間距離為10 cm，板間填充有電介質，極板周圍包裹的是空氣層?？諝鈱拥南鄬殡姵岛碗妼史謩e為εr=1.0和σ=5×10-15 S/m，板間電介質的相對介電常數和電導率分別為εr=4.2和σ=1×10-14 S/m。根據所構建的研究模型進行材料添加，然后進行模型的網格剖分。

COMSOL有自動生成網格的功能，也可以根據研究的需要選擇手動剖分網格。在本例中，選擇的是物理場控制網格進行自動剖分，單元的尺寸選擇為較細化，這樣得到的結果較接近真實情況，并且計算效率較高，具體如圖3所示。剖分的網格過大時，計算出來的結果誤差較大;網格過細時，消耗的計算機資源將大大增加，甚至無法進行模擬計算，所以網格的剖分應根據需要適當選擇。由圖3可以看出，剖分得到的網格較細，已經可以滿足計算的要求。

在此模型中，接地電壓為0.0 V，兩極板的電勢差為2.0 V。在對模型進行求解時，選擇研究特性為瞬態(tài)，并且根據研究要求確定相應的范圍、研究步長和疊代次數，即可完成對有限元模型的求解和后處理的設置。

4 ? ?研究結果與分析

4.1 ? ?極板上的電荷分布

根據圖1可知，電容器充電完成后，連接電源正極的極板上聚集正電荷，連接電源負極的極板上聚集負電荷。電荷的聚集情況不能用肉眼直接觀察，模擬仿真結果如圖4所示。通過圖4（a）和圖4（b）的對比可知，正極板上的電荷密度與負極板上的電荷密度是相等的，但電性剛好相反。因此，仿真結果能較好地反映出正、負電荷的分布情況，即正極板上聚集正電荷與負極板上聚集負電荷，并且兩極板上聚集的電荷量相等。此外，對于正、負極板內側電荷分布較外側有明顯增加，原因是兩極板內側正、負電荷相互作用的結果。

4.2 ? ?電容器中心切面等勢線

平行板電容器正、負極加載的電勢差是2.0 V，由于負極板接地，則從正極板到負極板電勢不斷降低，平行板電容器中心切面電勢仿真結果如圖5所示。進行仿真參數設置時，步長設置為0.2 V，所以等勢線電勢差為0.2 V。由圖5可以看出，電容器兩極板間等勢線是平行的，并且分布均勻，說明兩極板間的電勢變化是線性的。同時，兩極板間等勢線較密，說明電勢變化較快。在兩極板的外側，等勢線變化不再均勻，越往外的地方等勢線間的距離越來越大，說明電勢變化趨于緩慢。

4.3 ? ?電容器電場強度分布

平行板電容器上極板帶正電，下極板帶負電，所以正、負電荷間將形成電場，具體模擬仿真結果如圖6所示。在圖中可以很明顯地看到，兩極板中間產生了一個均勻電場，電場方向由正電荷指向負電荷，與圖5中等勢線平行且均勻變化結果吻合。在極板外圍，電場變化不再均勻，且離極板越遠的地方，電場強度越小。

4.4 ? ?電容器充電過程

給電容器充電時，電容器兩極板間的電勢差設定為2.0 V，充電過程兩極板間電壓隨時間的變化關系如圖7所示。從圖中可以看出，在充電的初始階段電容器兩極板間的電壓迅速上升。充電時間為2.5×10-7 s時，兩極板間電壓達到了1.99 V，之后充電速率變緩，直至電容器趨于充滿。

在電容器充電的過程中，流入兩極板的電流如圖8所示。由于初始階段電容器充電較快，所以充電電流也較大，隨著電容器兩極板間的電壓上升，充電電流開始迅速下降。充電時間達到2.5×10-7 s時，充電電流下降到了7.599×10-6 A，此后充電電流趨于平緩，最終維持不變，說明電容器充電充滿。

4.5 ? ?電容器放電過程

電容器的放電過程，兩極板間的電壓隨時間的變化關系如圖9所示。從圖中可以看出，在放電的初始階段，兩極板間的電壓迅速降低。放電時間達到2.5×10-7 s時，兩極板間的電壓已經降到了0.006 V。后面隨著時間的增加，放電速度變慢，直至放電結束。

電容器放電時，從電容器流出的電流隨時間變化的關系如圖10所示。從圖中可以明顯看到，電容器放電過程中電流的變化與電容器充電過程中電流的變化很相似，在初始階段也是迅速下降，然后趨于平緩，在放電時間達到2.5×10-7 ?s時，電流下降到了5.870×10-6 A。隨后電流緩慢下降，最后保持不變，電容器放電結束。

5 ? 結束語

本文基于有限元法的基本理論，以COMSOL模擬仿真軟件為工具，通過建模研究與分析了平行板電容器的充、放電工作過程的電壓和電流的變化特性。同時，通過模擬與仿真，將平行板電容器兩極板間的電場和電勢用形象的圖形展現出來。研究結果表明，本模型成功實現了平行板電容器工作過程的特性分析，能將抽象的物理場轉化為形象、可見的圖形。該模型方法簡單，對物理教學中抽象問題的形象化有很好的作用。也可為電子和電力工業(yè)對電容器的開發(fā)和應用提供參考依據，同時可以為超級電容器的研發(fā)和應用提供技術支持。

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（欄目編輯 ? ?蔣小平）

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