郭建強，盧雪峰，陳建行，蔣建國，楊前冬，蔣 磊，伍安杰

（貴州大學土木工程學院，貴州貴陽 550025）

經(jīng)過40多年發(fā)展，Hoek-Brown（H-B）準則已廣泛地應用于基礎工程、邊坡工程、采礦工程及地下工程等，也是迄今為止應用最為廣泛、影響最大的巖石強度準則［1］。為考慮中間主應力影響，Pan等［2］與Singh等［3］分別提出了三維H-B強度準則；Zhang等［4-5］提出了一個真正的三維H-B強度準則，并對其進行了修正；姜華［6］建立了一種簡便的巖石三維H-B強度準則。同時，為使選取的巖石和巖體參數(shù)盡可能地反映工程現(xiàn)場的實際情況，Hoek等［7-10］結合巖體評分系統(tǒng)（RMR）與地質強度指標（GSI），引入反映爆破影響和應力釋放的擾動參數(shù)D來確定巖體參數(shù)；巫德斌等［11-14］給出了GSI不同的定量確定方法；Sonmez等［15］考慮了開挖方式的擾動系數(shù)df，并給出了巖體參數(shù)確定公式；閆長斌等［16］基于巖體完整性系數(shù)Kv，建立了一個修正的巖體參數(shù)確定方法。盡管這些方法從不同程度上提高了H-B準則的計算精度，但由于需考慮的因素相對較多，因此在難以精準獲得每個影響因子條件下，這可能導致計算結果與實際差別較大。

針對這種情況，基于能量轉化是物質物理過程本質屬性，首先闡明已有H-B準則能量機制；進而在此基礎上，引入一個能夠反映巖體變形特性參數(shù)；然后以三維H-B準則［4］為基礎，建立修正后三維H-B準則。

1 基于彈性應變能的H-B準則分析

1.1 H-B準則

Hoek和Brown［17-18］提出的H-B巖石強度準則，如下所示：

式中：σ1，σ3分別為巖石破壞時最大、最小主應力；σc為單軸抗壓強度；mi為巖石量綱為一的經(jīng)驗參數(shù)，反映了巖石的軟硬程度，取值范圍為0.001～25。

1992年Hoek等［19］對H-B巖石強度準則進行了改進，提出適用于巖石和巖體的廣義H-B巖體強度準則，表達式如下：

式中：mb，s，a為反映巖體特征經(jīng)驗參數(shù)；s反映了巖體破碎程度，取值范圍為0～1.0，對于完整巖體（巖石），s＝1.0，a＝0.5。

為了體現(xiàn)中間主應力對巖石強度影響，國內(nèi)外學者提出了三維H-B準則。Pan和Hudson三維HB準則［2］、Singh三維H-B準則［3］、Zhang和Zhu三維H-B準則［4］及Zhang三維H-B準則［5］，依次為

通過數(shù)學變換，已有H-B準則式（1）～（10），均可用式（11）～（14）中任意公式進行表示，即剪切面的廣義剪應力q不小于廣義抗剪強度的 3時，材料就會發(fā)生破壞。比如，Zhang和Zhu三維H-B準則式（5），可用式（6）表示。

式中：J2為應力偏量第二不變量；I1為應力張量第一不變量；I2為應力張量第二不變量；θσ為羅德角；q稱為廣義剪應力或應力強度；函數(shù)f稱為與材料的應力狀態(tài)相對應的廣義抗剪強度。

1.2 彈性應變能

彈性應變能表達式如下：

式中：υ為泊松比；E為彈性模量；UeJ2、UeI2分別為偏量彈性應變能與張量彈性應變能［20-22］。

由式（15）可知：υ＝0.5時，UeI2＝0、Ue＝UeJ2，此時彈性應變能與E及J2有關，與I2無關；υ≠0.5，則UeI2≠0、Ue＝UeJ2+UeI2，這種情況下Ue與υ、E、I2及J2有關?；趶椥詰兡苁菐r石破壞的內(nèi)在機理［20-23］，υ≠0.5時僅考慮J2與E，而不考慮υ及I2，將會導致計算結果出現(xiàn)較大誤差。

1.3 基于彈性應變能H-B準則分析

根據(jù)熱力學第一定律，任何物質任何物理過程（巖石破壞過程也屬于物質物理過程）均應滿足能量守恒，則

式中：Ud為耗散能，滿足熵增原理［23］。

基于彈性應變能是巖石破壞的內(nèi)在機理［20-23］，顯然彈性應變能（Ue）釋放時不會僅釋放偏量彈性應變能（UeJ2）或僅釋放張量彈性應變能（UeI2），且UeJ2與UeI2同時釋放時滿足能量守恒（考慮耗散能Ud計算準確）?；诖?，由式（19）可得已有H-B準則特點：

（1）從彈性應變能角度揭示了已有H-B準則既是經(jīng)驗型強度準則，又是能量型強度準則。

（2）已有H-B準則將巖石在任意應力狀態(tài)下破壞時泊松比均看作0.5，這也正是提高已有H-B準則精度的關鍵所在。

2 基于彈性應變能三維H-B準則

2.1 三維H-B準則建立

為了進一步提高Zhang-Zhu三維H-B準則［4］的計算精度，從廣義抗剪強度與彈性應變能兩個角度對三維H-B準則分別進行修正。

2.1.1 基于廣義抗剪強度三維H-B準則修正

為了能提高三維H-B準則精度，對廣義抗剪強度進行修正，修正后廣義抗剪強度（H）如下：

式中：g稱為廣義抗剪強度的修正函數(shù)。顯然，通過不同的修正函數(shù)g，可得不同的修正后三維H-B準則。參考彈性應變能表達式，本文中選擇的修正函數(shù)g如下：

式中：υhb是由試驗數(shù)據(jù)擬合而得的材料參數(shù)?？紤]到g源于材料的彈性應變能，參考理想彈塑性材料泊松比υ＝-1.0～0.5，初步提出υhb＝-1.0～1.0，并通過真三軸試驗驗證υhb取值可行性。

聯(lián)立式（5）、式（22）及式（23），從廣義抗剪強度方面進行修正，得修正后三維H-B準則如下：

2.1.2 基于彈性應變能H-B準則修正

基于彈性應變能是巖石破壞的內(nèi)在機理［20-23］，以Zhang-Zhu三維H-B準則［4］為基礎（由2.3理論分析可知該準則也是能量型強度準則），提出當儲存的彈性應變能（Ue）達到某一臨界值巖石就開始破壞，并據(jù)此建立彈性應變能表示的修正后三維H-B準則，見式（26），其左右兩邊同時除以可得以應力不變量表示的修正后三維H-B準則，見式（27）。

一方面，巖石單軸試驗確定泊松比能否適用于復雜的應力狀態(tài)尚無明確結論［24］，這表明巖石的泊松比將隨應力水平改變而變化，即非理想彈塑性材料巖石的泊松比確定較為復雜；另一方面，若根據(jù)試驗數(shù)據(jù)確定的泊松比大于0.5，則修正后三維H-B準則在應用過程中將存在一定理論問題?？紤]到H-B準則是由σ1～σ3空間中的強度數(shù)據(jù)的最佳擬合得到的經(jīng)驗型強度準則，其材料參數(shù)均由擬合而得。因此，為克服式（26）～式（27）中存在的理論問題，參考彈性應變能與三維H-B準則的數(shù)學表達式，給出一個擬合方程，從而得到可完全看作是經(jīng)驗型強度準則的修正后三維H-B準則。為了以示區(qū)分，用式（25）中υhb替代式（26）或（27）中由試驗數(shù)據(jù)而得υ，則修正后三維H-B準則如下：

由于式（28）或式（29）中材料參數(shù)υhb源于彈性應變能，提出υhb反映了材料側向變形與軸向變形比值，其取值與式（25）中υhb相同。

由式（15）、式（26）～式（29）可看出，修正后三維H-B準則具有如下幾個特點：

（1）已有三維H-B準則在估計巖體強度時需測定多個參數(shù)，而修正后三維H-B準則僅需3個參數(shù)mi、s及υhb就能對巖體強度進行估計。比如，已有三維H-B準則雖僅有3個參數(shù)mb、s及a，但為了確定mb需要測定巖石單軸抗壓強度、RQD、非連續(xù)面間距與條件及地下水等。因此，已有三維H-B準則需要實際測定的參數(shù)遠多于3個。

（2）υhb＝0.5時，修正后三維H-B準則蛻化為Zhang-Zhu提出的三維H-B準則［4］，因此，該準則僅是修正后三維H-B準則的特例?？梢?，從某種程度上來說，υhb無論大于0.5，還是小于0.5，修正后三維H-B準則從一定程度上也反映了彈性應變能是巖石破壞的內(nèi)在機理。

綜上所述，修正后三維H-B準則既避免了將巖石破壞時泊松比恒看作0.5，又可完全利用H-B準則（包括三維H-B準則）已有研究成果，便于其工程應用（與其他新建立的強度準則相比）。

2.2 H-B準則理論分析

圖1為修正后三維H-B準則在π平面屈服軌跡。其中，括號外與括號內(nèi)變形參數(shù)υhb分別對應于I2＜0及I2＞0。以I2＜0為例，由圖1修正后三維H-B準則屈服軌跡，可以看出：

圖1 修正后三維H-B準則π平面屈服軌跡Fig.1 Trace of yield surfaces onπplane of revised three-dimensional H-B strength criterion

（1）不同材料變形參數(shù)υhb對應的π平面上屈服軌跡較為相似，因此修正后三維H-B準則可看作是一族以υhb為參數(shù)的強度準則集合，而非單一強度準則。文獻［4］提出的三維H-B準則僅是修正后三維H-B準則υhb＝0.5時的特例。

（2）I2＜0時，變形參數(shù)υhb越小計算結果越安全；反之，I2＞0時，變形參數(shù)υhb越大計算結果越安全。

（3）與文獻［4］提出的三維H-B準則相比，修正后三維H-B準則結果如下：①0＜υhb＜0.5、I2＜0，或υhb＞0.5、I2＞0時，修正后三維H-B準則計算結果偏小。②0＜υhb＜0.5、I2＞0，或υhb＞0.5、I2＜0時，修正后三維H-B準則計算結果偏大。

2.3 三維H-B準則驗證

由于文獻［4］已對三維H-B準則進行了研究，且其僅為修正后三維H-B準則的特例。因此，本文僅采用修正后三維H-B強度準則對閃長巖、花崗巖、白云巖及粗面巖真三軸強度進行計算，結果見表1～3及圖2～5。

圖2 三維H-B準則計算結果（閃長巖）Fig.2 3D H-B criterion calculation results(KTB amphibolite)

表1 修正后三維H-B準則計算參數(shù)Tab.1 Parameters in generalized H-B strength criterion

根據(jù)文獻［4］，最優(yōu)mi由式（5）對八面體剪應力試驗值與理論值最佳數(shù)值擬合所得。

表2 變形參數(shù)分組擬合Tab.2 Group fitting of deformation parameters

圖3 三維H-B準則計算結果（花崗巖）Fig.3 3D H-B criterion calculation results(Westerly granite)

采用平均誤差評價修正后三維H-B準則計算誤差（見表3）。

表3 不同準則計算平均誤差Tab.3 Average error error ofσ1calculation by criterion

式中：n為試樣數(shù)量；σsyi為第i試樣試驗值；Δχi為第i試樣誤差；ˉˉˉΔχ為全部試驗值與理論值的平均誤差。

修正后三維H-B強度準則材料變形參數(shù)擬合方法：依據(jù)σc、s、mi及最小主應力與中間主應力計算σlli，取與平均誤差最小值對應υhb為擬合值。

圖4 修正后三維H-B準則計算結果（粗面巖）Fig.4 3D H-B criterion calculation results(Mizuo trachyte)

修正后三維H-B準則材料參數(shù)υhb可采用1個或多個取值原因：材料參數(shù)υhb可能與應力水平有關，而真三軸試驗時的應力范圍相對較廣，比如閃長巖最小主應力0～150MPa、中間主應力0～642MPa。相對而言，實際工程的應力變化幅度相對較小，因此可根據(jù)應力水平取1個材料參數(shù)υhb即可。由計算結果可以看出，即使采用1個υhb，修正后三維H-B準則精度也高于三維H-B強度準則。另外，材料參數(shù)υhb取值還需根據(jù)試驗數(shù)據(jù)作進一步深入研究。

由表1～表3及圖2～圖5可以看出：

圖5 修正后三維H-B準則計算結果（白云巖）Fig.5 3D H-B criterion calculation results(Dunham dolomite)

（1）無論采用單個變形參數(shù)，還是兩個變形參數(shù)修正后三維H-B準則計算的閃長巖、花崗巖、粗面巖及白云巖破壞強度的平均誤差分別為7.92%、8.40%、3.70%及3.67%，均低于三維H-B準則計算的相應平均誤差9.30%、9.88%、4.65%及3.70%。

（2）對閃長巖、花崗巖、粗面巖及白云巖采用兩個變形參數(shù)υhb進行擬合，計算誤差縮小為6.67%、5.13%、3.32%及2.39%。如若采用三個或者更多個變形參數(shù)υhb進行擬合，顯然計算精度會更高。

（3）修正后三維H-B準則υhb＝0.38～0.55，介于前述給出的建議值υhb＝-1.0～1.0之間，且圍壓恒定條件下υhb隨中間主應力增加表現(xiàn)為逐漸減小趨勢。因此，根據(jù)真三軸試驗數(shù)據(jù)擬合結果，提出變形參數(shù)建議取值υhb＝0～1.0。

3 修正后三維H-B準則討論

盡管修正后三維H-B準則的計算精度有所提高，為了能夠利用H-B準則在巖體工程中積累的研究成果，還需從以下幾方面進行研究：

（1）考慮到問題復雜性，為了能精細化的確定變形參數(shù)υhb，嘗試在υhb、σ2，σ3及υhb0（由σ2＝σ3時的試驗值確定）建立如下關系式。

（2）為了使修正后三維H-B準則也能應用于巖體的數(shù)值計算，吸收H-B準則在巖體參數(shù)方面的研究成果，提出基于地質強度指標（GSI）與可考慮爆破影響和應力釋放的擾動參數(shù)D表征的υhb確定方法。

（3）修正后三維H-B準則屈服軌跡并非完全非凸性，可采用橢圓型、雙曲線型和空間滑動面（SMP）的羅德角函數(shù)對其修正［1］。

4結論

（1）基于彈性應變能是巖石破壞內(nèi)在機理，闡明已有H-B準則既是經(jīng)驗型強度準則，更是能量型強度準則，但已有H-B準則將材料任意應力狀態(tài)下破壞時泊松比均看作0.5，這也正是提高其計算精度關鍵所在。

（2）以文獻［4］中Zhang-Zhu三維H-B準則為基礎，從廣義抗剪強度與彈性應變能兩個角度，建立了經(jīng)驗型的修正后三維H-B準則。該準則僅需3個參數(shù)mi、s及υhb就能對巖體強度進行估計，并參考理想彈塑性材料的泊松比取值，初步給出了材料變形參數(shù)建議取值υhb＝-1.0～1.0。

（3）理論分析表明修正后三維H-B準則是一族以υhb為參數(shù)強度準則集合，而非單一強度準則，υhb＝0.5時該準則蛻化為Zhang-Zhu三維H-B準則，即Zhang-Zhu三維H-B準則僅是修正后三維H-B準則特例。

（4）閃長巖、花崗巖、粗面巖及白云巖的計算結果表明：修正后三維H-B準則可較好地描述巖石的破壞特性，計算結果較為精確，并根據(jù)驗證結果提出材料變形參數(shù)取值υhb＝0～1.0。

（5）為了利用H-B準則在巖體工程中積累的研究成果，需要建立參數(shù)υhb與地質強度指標及考慮爆破影響和應力釋放的擾動參數(shù)之間的函數(shù)關系。

作者貢獻聲明：

郭建強：主要負責本文框架結構、理論公式推導、分析及驗證等。

盧雪峰、陳建行和蔣建國：主要負責試驗數(shù)據(jù)收集與計算。

楊前冬、蔣磊和伍安杰：主要負責圖表繪制及文本校對。