張 霖

(湖北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002)

當x∈Rn及t>0時,令B(x,t)為中心在x、半徑為t的一開球。

令b是Rn中一局部可積函數(shù)，交換子[b,TΩ]定義為[b,TΩ]f(x)=b(x)TΩf(x)-TΩ(bf)(x)。高維的Marcinkiewicz積分算子μΩ定義為

1938年，Morrey為研究橢圓型偏微分方程解的存在性和可微性，引入Morrey空間Lp,λ(Rn)[1]。后來，Morrey空間被應用于研究N-S方程[2-3]、薛定諤方程[4]和帶有不連續(xù)系數(shù)橢圓方程[5]。鑒于Morrey空間的重要性,人們開始研究廣義Morrey空間[6]。2011年，文獻[7]提出了修正的Morrey空間，并研究了分數(shù)次極大算子和帶有Riesz勢算子在修正的Morrey空間有界性。這里修正的Morrey空間是包含于Morrey空間與勒貝格空間之交。

1 記號和預備知識

2 主要結論

證明當q′

現(xiàn)在考察當p=q′ 時的情形。取一球B=B(x,t)?Rn及作f=f1+f2(f1=fχB)分解， 得到

利用定理2，有

(1)

由此得到，

(2)

由式(1)和式(2)，定理4得證。

為了得到J2的估計，運用H?lder’s不等式，得到

(3)

當p=q′時，分為2種情況。

綜上，只要t>0，就有

(4)

當p>q′時，有

(5)

利用H?lder’s不等式， 有

證明取一球B=B(x,t)?Rn及作如下分解f=f1+f2(f1=fχB)，有

由定理3，得到

(6)

為了估計K2，由不等式(3)和式(6)， 有

因此，當1

(7)

結合不等式(6)～(7)，得到定理7。