蘭 杰

(山西財(cái)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030031)

0 引言

偏微分系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性問題一直是學(xué)者的研究熱點(diǎn)[1-4].而彈性系統(tǒng)的解的間接穩(wěn)定性問題，更引起了進(jìn)一步的討論[5-6].

本文研究的是如下波波方程系統(tǒng)：

(1)

系統(tǒng)滿足羅賓邊界條件：

本文做如下設(shè)定：

(2)

3.系統(tǒng)的總能量：

其中Re(z)表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部.我們很容易得到能量的以下關(guān)系式：

μ1[E1(u，m)+E2(v，n)]≤E(U(t))≤μ2[E1(u，m)+E2(v，n)].

4.定義符號(hào)：

1 主要結(jié)論

定理本文所研究的系統(tǒng)(1)，在以上的設(shè)定下，若

i?ρ()

則系統(tǒng)(1)的解存在間接穩(wěn)定性.

2 主要結(jié)論的證明

由文獻(xiàn)[1]可知，要證明本文的結(jié)論，只需證明

其中|b|≥max(1，β)，b∈.

即存在只與空間Ω和α有關(guān)的常數(shù)Lα，使得

|W|≤Lα|b|4|U|

即證得(3)，即可證明本文結(jié)論，那系統(tǒng)(1)的解存在間接穩(wěn)定性.

(3)

(4)

(5)

則由設(shè)定4和(4)式的第一個(gè)式子可得

(6)

Cα是廣義的只與空間Ω和α有關(guān)的常數(shù).

(7)

應(yīng)用H?lder不等式、Young’s不等式及(6)式可得

(8)

(9)

(10)

將(8)(9)(10)代入(7)式中可得

(11)

(12)

(13)

應(yīng)用H?lder不等式、Young’s不等式可得

即：

(14)

由(6)式及Young’s不等式可得

(15)

這里D是廣義的與α和b無關(guān)的常數(shù)，則由H?lder不等式及(12)(14)得

由Young’s不等式可知，存在參數(shù)ε→0+，及與ε相關(guān)的廣義的正常數(shù)Dε和Cα，ε使得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

由(16)—(20)可得

(21)

綜合(15)和(21)可得

(22)

由(4)式的第三個(gè)式子可得

(23)

則由(5)(11)(23)(24)可得

應(yīng)用Young’s不等式可得

|W|2≤Dα|b|8|U|2.

即得證，即滿足設(shè)定條件系統(tǒng)(1)的解存在間接穩(wěn)定性.