符強(qiáng)如

(新疆烏魯木齊市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 830026)

當(dāng)前許多課堂被應(yīng)試需求主導(dǎo)，數(shù)學(xué)教學(xué)嚴(yán)重異化為解題的模仿與訓(xùn)練，大部分時(shí)間培養(yǎng)的只是學(xué)生進(jìn)行機(jī)械運(yùn)算和演繹推理的能力，很難全面且有深度地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng).在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)是培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維素養(yǎng)的主要路徑.數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的涵育，離不開(kāi)對(duì)概念內(nèi)涵與意義的認(rèn)知和對(duì)知識(shí)發(fā)展的體驗(yàn)，也離不開(kāi)對(duì)知識(shí)關(guān)系結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)與掌握，以及應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)思想、精神的感悟.筆者對(duì)2021年全國(guó)高考乙卷理科第9題和第19題調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，已嚴(yán)重異化為解題模仿與訓(xùn)練的數(shù)學(xué)課堂不能真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的必要性和合理性的感悟嚴(yán)重缺乏，很難直接產(chǎn)生學(xué)習(xí)新概念的情感需求和思維需求.這種急功近利的做法只能讓學(xué)生獲得碎片化的、零散的知識(shí)記憶和僵化的思維，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)停留在機(jī)械表層,難以讓學(xué)生構(gòu)筑厚實(shí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，形成必要的探究發(fā)現(xiàn)能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)得不到有效的培養(yǎng).下面以2021年全國(guó)高考乙卷理科第9題和第19題為具體案例，在進(jìn)行多角度解法研究的基礎(chǔ)上，談?wù)剬W(xué)生在解題過(guò)程中概念理解的具體形式，以及如何進(jìn)行概念教學(xué)，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì).

1 試題呈現(xiàn)及多視角探析

題1

(2021年全國(guó)乙卷題19)記

S

為數(shù)列{

a

}的前

n

項(xiàng)和，

b

為數(shù)列{

S

}的前

n

項(xiàng)積，已知(1)證明：數(shù)列{

b

}是等差數(shù)列；(2)略.

這道題是2021年高考全國(guó)乙卷理數(shù)第19題，從問(wèn)題表述來(lái)看，表現(xiàn)樸實(shí),題干清晰；從內(nèi)容上看，主要考查等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)和概念，考查考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).在與學(xué)生溝通探討中發(fā)現(xiàn)，這道題的得分不容樂(lè)觀，主要體現(xiàn)在對(duì)此題第(1)問(wèn)概念理解不到位.品析第(1)問(wèn)，初嘗平淡,深酌而顯深厚蘊(yùn)藉,余味綿長(zhǎng).

視角1 “消元”角度，消去

S

.當(dāng)

n

=1時(shí)，

b

=

S

，由解得當(dāng)

n

≥2時(shí)，代入消去

S

，可得所以所以{

b

}是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列.

評(píng)析

學(xué)生需要充分利用

b

=

S

S

…

S

這一條件,但是發(fā)現(xiàn)其在常規(guī)等差等比數(shù)列的題型中思維難以突破.調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)條件

b

=

S

S

…

S

的理解非常豐富.比如直接應(yīng)用：由可得為數(shù)列{

S

}的前

n

項(xiàng)積，即

b

=

S

S

…

S

故于是故從而再如變形為

b

=

b

-1·

S

(

n

≥2)的形式.具體解法有：①通過(guò)對(duì)等式兩邊同乘

b

，即得到②通過(guò)對(duì)兩邊同乘

S

·

b

，可得2

b

+

S

=2

S

·

b

，2

b

-1+1=2

b

(

n

≥2).③對(duì)變形可得因?yàn)?p>b

=

b

-1

S

(

n

≥2)，所以故這一思路非常簡(jiǎn)單，但是對(duì)于創(chuàng)造性思維薄弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)更多的是直接通過(guò)等差數(shù)列定義式

b

-

b

-1=

d

(常數(shù))去證明.視角2 開(kāi)門(mén)見(jiàn)山應(yīng)用等差數(shù)列定義式

b

-

b

-1=

d

(常數(shù)).對(duì)變形可得于是

b

-1當(dāng)

n

≥2時(shí)，故于是2

S

-1=

S

-1·

S

+1，得于是所以數(shù)列{

b

}是等差數(shù)列.

評(píng)析

視角2是學(xué)生經(jīng)過(guò)新知識(shí)學(xué)習(xí)和一定量的習(xí)題訓(xùn)練后最容易想到的思路.但是當(dāng)發(fā)現(xiàn)寫(xiě)出

b

-

b

-1后與平時(shí)訓(xùn)練出現(xiàn)的結(jié)果不一樣時(shí)，不少學(xué)生就止步了，其實(shí)往前走一步只需要找到

S

與

S

-1的關(guān)系即可.這一問(wèn)題的本質(zhì)就是學(xué)生對(duì)概念理解還不到位.這啟示我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中要注重 學(xué)生對(duì)非常規(guī)題型的處理策略的培養(yǎng)，這樣，當(dāng)非 常規(guī)題型出現(xiàn)時(shí)學(xué)生也能有豐富的處理方案,如：對(duì)等式兩邊同乘

S

，即得到當(dāng)

n

≥2時(shí)，故因此=

b

-1.由可得故所以數(shù)列{

b

}是等差數(shù)列.視角3 通過(guò)等差中項(xiàng)2

b

-1=

b

+

b

-2(

n

≥3).由可得故于是即

b

+

b

-2=2

b

-1(

n

≥3).

評(píng)析

視角3也是在探究視角2過(guò)程中演變而來(lái)的，就是對(duì)主干條件變形過(guò)程中通過(guò)等差中項(xiàng)2

b

=

b

-1+

b

+1(

n

≥2)來(lái)證明.學(xué)生直接從等差中項(xiàng)去證明是比較困難的，但是數(shù)列的概念反應(yīng)的特征就是列數(shù)，學(xué)生可以通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法去求解，也可以先求出

S

，再求

b

.

題2

(2021年全國(guó)乙卷題9)魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高.如圖1，點(diǎn)

E

，

H

，

G

在水平線

AC

上，

DE

和

FG

是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，

EG

稱(chēng)為“表距”，

GC

和

EH

都稱(chēng)為“表目距”，

GC

與

EH

的差稱(chēng)為“表目距的差”，則海島的高

AB

=( ).

圖1

表高

表高

表距

表距

此題是2021年高考全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)第9題，主要考查正切函數(shù)的相關(guān)知識(shí)和概念.與上一題類(lèi)似，此題的表述樸實(shí)清晰，但與學(xué)生溝通后發(fā)現(xiàn)，花了大量時(shí)間去梳理關(guān)系，得分卻不高，主要問(wèn)題是對(duì)正切函數(shù)概念的理解層次欠缺，也缺乏數(shù)學(xué)建模的意識(shí).其實(shí)細(xì)細(xì)品味，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)此題的魅力.

解法1 (正切函數(shù)概念)

將題目問(wèn)題抽象出圖形，如圖2，連結(jié)

DF

交

AB

于點(diǎn)

M

.可設(shè)∠

BHA

=∠

BDM

=

α

,∠

BCA

=∠

BFM

=

β

,則由題意可得表高.即選A.

圖2

評(píng)析

解法1由人教A版教材必修五第一章1.2節(jié)“應(yīng)用舉例”例3演變而來(lái)，就是在對(duì)正切函數(shù)概念理解深刻的基礎(chǔ)上，由概念進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的具體體現(xiàn).調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若學(xué)生對(duì)概念理解有深度，就能體現(xiàn)出解法1，但是對(duì)大部分學(xué)生而言是有難度的.與學(xué)生溝通發(fā)現(xiàn)，不少人是花費(fèi)了大量時(shí)間去尋找邊之間的關(guān)系，現(xiàn)展示具體解法.

解法2 直角三角形相似

根據(jù)題目中的三角形相似可得故即整理可得即故選A.

評(píng)析

解法2主要是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與直角三角形的邊角關(guān)系來(lái)求解，現(xiàn)在看來(lái)屬于基礎(chǔ)題.部分學(xué)生反而花了大量時(shí)間去尋找關(guān)系，有的甚至還沒(méi)有得出答案，其主要原因是學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)沒(méi)有得到發(fā)展，不能用數(shù)學(xué)視角看待現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題，在數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用學(xué)習(xí)中，沒(méi)有形成一定的知識(shí)體系.

2 概念教學(xué)感悟

數(shù)學(xué)概念教學(xué)首先需要研究“為什么學(xué)習(xí)此概念”，激活學(xué)習(xí)新概念的情感需求和認(rèn)知需求；其次需要研究“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的哪些內(nèi)容”，挖掘數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及生成過(guò)程等.所以在概念教學(xué)中，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維素養(yǎng)的形成，基于其對(duì)諸多和概念相關(guān)聯(lián)知識(shí)的整體理解與認(rèn)識(shí)，需要教師適當(dāng)騰出時(shí)間對(duì)引入概念的必要性和歷史背景等作較詳細(xì)說(shuō)明.獲得數(shù)學(xué)概念的主要思維方式是抽象與概括，而抽象與概括是一種思維的體驗(yàn)和領(lǐng)悟.因而，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)盡可能多地讓學(xué)生親歷概念的抽象與概括過(guò)程，在不斷的體驗(yàn)與領(lǐng)悟中將經(jīng)驗(yàn)與概念、直覺(jué)與邏輯整體融合并凝聚、升華形成素養(yǎng).最重要的是要遵循知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程和學(xué)生頭腦中與新知識(shí)有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的適當(dāng)觀念，以學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與新概念有自然的、內(nèi)在聯(lián)系的已有知識(shí)作為新概念的生長(zhǎng)點(diǎn)，使新舊概念之間產(chǎn)生非人為和實(shí)質(zhì)性聯(lián)系.

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要數(shù)學(xué)建模思維素養(yǎng)，需要其從數(shù)學(xué)視角看問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法處理問(wèn)題的這種意識(shí)與能力，也是學(xué)以致用精神的體現(xiàn)，即在研究一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，先從問(wèn)題信息抽象出形式化的數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)模型求解結(jié)果統(tǒng)一處理同類(lèi)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的這種思維過(guò)程.數(shù)學(xué)建模以描述客觀事物的數(shù)形特征和內(nèi)在聯(lián)系所建立的模型和眾多的數(shù)學(xué)概念、公式和定理等知識(shí)一樣，都可以廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界.

在概念的應(yīng)用教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生整體理解數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)及其思想方法，讓學(xué)生了解問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)意義及其所蘊(yùn)含的數(shù)形特征，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)聯(lián)想對(duì)問(wèn)題選取適當(dāng)?shù)那乙褜W(xué)的知識(shí)模型.這需要教師多引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察、發(fā)現(xiàn)并提出有意義的問(wèn)題，其中往往會(huì)與已學(xué)的數(shù)學(xué)概念、知識(shí)和思想方法有廣泛聯(lián)系，能讓學(xué)生更深刻理解概念內(nèi)涵、意義及作用.

3 結(jié)束語(yǔ)

從概念教學(xué)深化學(xué)生對(duì)概括過(guò)程的體驗(yàn)與內(nèi)涵的認(rèn)知來(lái)看，必須讓學(xué)生“知其然”亦“知其所以然”，不要僅停留在簡(jiǎn)單機(jī)械的記憶與模仿.應(yīng)努力提高學(xué)生進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)與關(guān)系建構(gòu)的能力，可以讓學(xué)生頭腦中孤立的知識(shí)形成有機(jī)體系和完整結(jié)構(gòu)，走出零散型解題教學(xué)與碎片化學(xué)習(xí)的困境，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何將所學(xué)知識(shí)靈活應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，遠(yuǎn)離目標(biāo)指向迷糊和被無(wú)意義問(wèn)題填充的課堂教學(xué).唯有如此，我們的課堂才能真正優(yōu)質(zhì)高效，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能更加穩(wěn)定，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育才能更深入落實(shí).