馬亞薇, 馬如云

(西安電子科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 西安 710126)

1 引 言

彈性梁是工程建筑的基本構件之一.在材料力學和工程物理中，人們常用四階常微分方程邊值問題來描述彈性梁的狀態(tài).源于這類問題的普遍性與重要性,不同邊界條件下的梁方程解的存在性問題受到廣泛關注,也出現(xiàn)了許多重要研究結果[1-12].

2015年,Vrabel[6]在h(x,y(x))關于y單調(diào)的條件下通過構造上下解方法研究了四階邊值問題

解的存在性,其中λ=k1+k2,k1,k2是兩個常數(shù)且滿足k20時,情況完全不同.2018年,Ma等[7]在上述文獻的基礎上運用新方法構造了Green函數(shù),結合Elias公式研究了k1,k2均為正常數(shù)情形下四階問題

(1)

解的存在性，得到以下結果:

本文進一步將文獻[7]中的常數(shù)k1,k2推廣到滿足一定條件的函數(shù),考慮問題

解的存在性，其中k1,k2∈C[0,1].本文總假設

本文的主要結果如下:

定理1.1假設(H1)成立.若問題(2)存在下解α和上解β滿足α(x)≤β(x),x∈[0,1]，且f:{(x,s)|x∈[0,1],α(·)≤s≤β(·)}→R連續(xù)且滿足f(x,s1)≤f(x,s2),α(x)≤s1≤s2≤β(x),x∈[0,1],則問題(2)存在一個解y(x)滿足α(x)≤y(x)≤β(x),0≤x≤1.

2 預備知識

k1(x)k2(x)y,y∈D(L),

y″(0)=y″(1)=0}.

的Green函數(shù)為

其中

φ(t),ψ(t)分別是問題

(3)

(4)

的唯一解.

的Green函數(shù),記為G2(x,s).

引理2.1(Sturm比較定理)[13]設x(t),y(t)分別是二階線性齊次方程x″+q1(t)x=0,y″+q2(t)y=0的非平凡解,其中q1,q2∈C[0,1],q1(t)≤q2(t),t∈[0,1],且在[0,1]上的任一子區(qū)間內(nèi)q1不恒等于q2.如果α,β∈[0,1]是x(t)的兩個相鄰零點,則y(t)在(α,β)內(nèi)至少有一個零點.

引理2.2假設對于任意的x∈[0,1]有k1(x),k2(x)∈(0,π2),則

(i)φ(x)>0,x∈(0,1];

(ii)ψ(x)>0,x∈[0,1).

證明 眾所周知,初值問題

由引理2.2及G1(x,s),G2(x,s)的表達式可知,G1(x,s)>0,G2(x,s)>0,?(x,s)∈(0,1)×(0,1).可以驗證,Ly=L2(L1)y,Ly=0的Green函數(shù)G(x,s)滿足

(x,s)∈[0,1]×[0,1].

因此,G(x,s)>0,?(x,s)∈(0,1)×(0,1).

3 非共軛和Elias公式

定義3.1[14]如果一個n階線性常微分方程Ln[y]=y(n)+p1(t)y(n-1)+…+pn(t)y=0,pk(·)∈C[a,b],k=1,...,n的任個非平凡解在區(qū)間[a,b]上的零點個數(shù)都少于n,那么該方程被稱為非共軛的,多重零點按其重數(shù)記.

考慮微分方程

Lny(x)+λy(x)=0,x∈[0,1]

(5)

其中Lny=0是非共軛的.Ln可以做如下Pólya分解:

Lny=ρn(ρn-1…(ρ1(ρ0y)′)′…)′.

對任意x∈[0,1],權函數(shù)ρi(x)>0,ρi(x)∈Cn-i,i=0,...,n,擬導數(shù)L0y=ρ0y,Liy=ρi(Li-1y)′,i=1,...,n.

由文獻[14]可知,如果u是方程(5)的非平凡解,則它的任何一個擬導數(shù)的零點都是孤立的.擬導數(shù)L0u,...,Ln-1u被視作按循環(huán)順序排列,即L0u排列在Ln-1u之后.令x1≤x2≤…≤xr表示以下述方式列出的[0,1]中擬導數(shù)的零點:

(a) 如果一個點是一個或多個階數(shù)不間斷的擬導數(shù)的零點,那么對這組零點只列出一次(即對這組零點使用同一個下標);

(b) 如果一個點是存在間斷階數(shù)擬導數(shù)的公共零點,那么對于分開的每一組不間斷階數(shù)的零擬導數(shù)都分別以不同的下標對這個零點進行一次標記.

引理3.2(Elias公式)[15]若方程Lny=0在[0,1]上是非共軛的,u是(5)的任意非平凡解,則N(u)≤n.

引理3.3[14]考慮方程

4 上下解

定義4.1如果函數(shù)α∈C4[0,1]滿足

L(α(x))≤f(x,α(x)),x∈(0,1)

及α(0)≤0,α(1)≤0,α″(0)≥0,α″(1)≥0,則稱α為問題(2)的下解.

定義4.2如果函數(shù)β∈C4[0,1]滿足

L(β(x))≥f(x,β(x)),x∈(0,1)

及β(0)≥0,β(1)≥0,β″(0)≤0,β″(1)≤0,則稱β為問題(2)的上解.

記

gα(x)=L(α(x))-f(x,α(x)),x∈[0,1]

(6)

gβ(x)=L(β(x))-f(x,β(x)),x∈[0,1]

(7)

vα(x)=α(0)w(x)+α(1)w(1-x)+

α″(0)χ(x)+α″(1)χ(1-x)

(8)

其中w(x),χ(x)分別是問題

L(y)=0,y(0)=1,y″(0)=y(1)=y″(1)=0

(9)

L(y)=0,y(0)=0,y″(0)=1,y(1)=y″(1)=0

(10)

的唯一解.

vβ(x)=β(0)w(x)+β(1)w(1-x)+

β″(0)χ(x)+β″(1)χ(1-x)

(11)

引理4.3(i) 若(H1)成立,則w(x)>0,x∈(0,1)；

(ii) 若h1,h2∈(0,π2),則χ(x)<0,x∈(0,1).

證明 (i) 我們斷言當(H1)成立時算子

有以下形式的Pólya分解：

對任意x∈[0,1],權函數(shù)ρi(x)>0,i=0,...,4.事實上,定義線性算子Ti:D(Ti)→X,i=1,2,3，

及

其中

{y∈C2[0,1]:y(0)=y(1)=0}.

定義

則λi>0,i=0,1,2.計算可知T3可進行Pólya分解T3y=λ2(λ1(λ0y)′)′.由k1(x)

T1y=1×(1×(1×y)′)′,

因而由引理3.3可知

y(4)+(k1(x)+k2(x))y″=0

在[0,1]上是非共軛的,L4可做相應的Pólya分解.

現(xiàn)反設存在τ∈(0,1),使得

w(τ)=min{w(x)|x∈[0,1]}≤0.

(a) 若w(τ)=0，因w′(τ)=0,w″(0)=0=w(1)=w″(1),則可得N(w)≥5,與引理3.2矛盾.

(b) 若w(τ)<0，則存在a,b∈(0,1]使得w(x)<0,x∈(a,b),且w(a)=w(b)=0.設wθ為齊次邊值問題

(ii) 由(10)式可知,χ(x)滿足

L2χ=Z,χ(0)=0,χ(1)=0

(12)

其中Z滿足

L1Z=0,Z(0)=1,Z(1)=0

(13)

當h1=r2,r>0時的解,計算可得

結合引理4.1,(8)式及(9)式可得vα(x)≤0,vβ(x)≥0,x∈[0,1].定義算子

T:C[0,1]→C4[0,1]，

則由(6)式可得

L(α)=f(x,α(x))+gα(x)，

及α(x)≤Tα(x),x∈[0,1].類似地，我們有β(x)≥Tβ(x),x∈[0,1].

以下引理是Schauder不動點定理的直接結果：

引理4.4[16]若存在常數(shù)M>0,使得|f(x,y)]≤M對任意的(x,y)∈[0,1]×R成立,則存在y(x)是滿足問題(2)的解.

5 主要結果的證明

定義[0,1]×R上的函數(shù)

因F在[0,1]×R上連續(xù)有界,由引理4.4知存在y(x)滿足邊值問題

下證α(x)≤y(x)≤β(x),0≤x≤1.由算子L的線性,上下解的定義及f的單調(diào)性條件有

L(y(x)-β(x))=L(y(x))-L(β(x))≤

F(x,y(x))-f(x,β(x))≤0,

從而

0, x∈[0,1].

因此y(x)≤β(x),x∈[0,1].同理可證

L(y(x)-α(x))=L(y(x))-L(α(x))≥

F(x,y(x))-f(x,α(x))≥0,

0, x∈[0,1].

因此y(x)≥α(x),x∈[0,1].證畢.

注與問題(1)相比,本研究的難點在于無法得到Green函數(shù)的具體形式,因而運用Sturm比較定理對其性質進行分析.此外,由于無法計算Pólya分解的具體形式,我們不能直接運用Elias公式,因而需要再次運用Sturm比較定理并結合非共軛的重要性質，以滿足Elias公式的條件.