李喜成, 唐習(xí)之, 薛繼彪, 詹寧， 張鵬翔

(1. 中國石油集團西部鉆探工程有限公司國際工程公司， 烏魯木齊 830000；2. 中國石油集團西部鉆探工程有限公司吐哈鉆井公司， 吐魯番 838200)

油氣井管柱是石油天然氣開采作業(yè)中的必需設(shè)備，隨著越來越多的深層油氣資源進行勘探開發(fā)，油氣井管柱所處的工作環(huán)境也急劇惡化，尤其是高溫、高壓、高產(chǎn)井“三高”油氣井[1-3]。油井管柱生產(chǎn)環(huán)境惡劣，且井況和地下條件復(fù)雜，造成管柱受力狀況差異較大，從而導(dǎo)致管柱變形、蠕動更加復(fù)雜且劇烈。因此，在生產(chǎn)作業(yè)過程中，管柱易出現(xiàn)塑性失效、斷脫失效，導(dǎo)致管柱失效事故頻繁發(fā)生，使得油氣藏?zé)o法進行長久持續(xù)開采，給氣井的開發(fā)帶來了諸多問題，造成油氣開采成本升高。

目前許多研究者對油氣井管柱力學(xué)行為和管柱強度安全進行了研究。黃楨[4]建立了天然氣在油管內(nèi)流動的油管柱振動方程，計算表明油氣經(jīng)過油管內(nèi)徑變化部分、油管彎曲部分、節(jié)流閥等處會引起油氣流速和油管壓力的變化，進而誘發(fā)管柱振動。鄧元洲[5]建立了管柱瞬態(tài)動力響應(yīng)分析的有限元模型和預(yù)測管柱疲勞壽命的數(shù)學(xué)模型，分析表明振動是導(dǎo)致油管斷裂的直接原因，氣井產(chǎn)量、腐蝕和沖蝕程度對管柱疲勞壽命起決定作用。李子豐[6]介紹了油氣井桿管柱力學(xué)基本原理、油氣井桿管柱的運動狀態(tài)、油氣井桿管柱動力學(xué)基本方程，綜述了管柱的磨損和腐蝕與沖蝕、管柱的剩余強度和疲勞強度預(yù)測等方向的進展與爭論。桑果[7]針對川西地區(qū)管柱建立油管在自重、內(nèi)外壓力、黏滯摩阻力、油套摩擦力、井眼彎曲以及封隔器等因素下的管柱力學(xué)模型，分析井下套管的活塞效應(yīng)、螺旋彎曲效應(yīng)、膨脹效應(yīng)以及溫度效應(yīng)對管柱的影響。陳立超等[8]通過利用掃描電鏡及二次電子圖像、背散射圖像對隴東地區(qū)煤層氣井管柱腐蝕機理進行研究，研究發(fā)現(xiàn)隴東地區(qū)煤層氣井N80油管鋼在高礦化度、地層水環(huán)境發(fā)生強烈CO2腐蝕作用，形成多層結(jié)構(gòu)腐蝕產(chǎn)物FeCO3膜。溫后珍等[9]采用比例尺1∶10油套管模型進行管柱在套管中的屈曲行為試驗研究，研究結(jié)果表明，管柱受壓屈曲會導(dǎo)致摩擦力增大；管柱相對套管的偏心對軸向力的分布影響很?。蛔C明了管柱力學(xué)分析理論中軸向力計算時油管與套管同心的假設(shè)是合理的。張穎等[10]針對高產(chǎn)氣井中管柱振動問題建立特殊螺紋接頭密封面在動載荷作用下接觸應(yīng)力的力學(xué)模型，結(jié)果表明：公接頭密封球面半徑越小，接觸應(yīng)力越大且越集中，密封接觸寬度也越小。

從目前研究現(xiàn)狀看，主要集中在管柱力學(xué)行為、管柱沖蝕機理、管柱振動機理與動力響應(yīng)、管柱腐蝕機理、管柱螺紋強度分析等方面，對高壓高產(chǎn)氣井油管柱在受到內(nèi)壓、外壓、軸力、扭矩、彎矩等多種載荷變化下的強度分析研究不足。為此，建立高壓高產(chǎn)氣井油管柱動力學(xué)模型，通過高壓高產(chǎn)氣井油管柱安全系數(shù)法和高壓高產(chǎn)氣井油管柱三軸應(yīng)力法對高壓高產(chǎn)氣井油管柱強度進行校核。對高壓高產(chǎn)氣井油管柱強度安全的研究，可為管柱設(shè)計提供理論指導(dǎo)。

1 高壓高產(chǎn)氣井油管柱動力學(xué)振動模型的建立

如圖1所示，在高壓高產(chǎn)氣井開采過程中，高壓高產(chǎn)流體從地層進入井筒，經(jīng)管柱到達平臺井口，高速流動的流體會誘發(fā)管柱的振動，易導(dǎo)致管柱發(fā)生振動破壞，管柱連接失效等事故。因此，需要研究高壓高產(chǎn)下氣井管柱的振動和強度情況。

圖1 氣井開采過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of gas well production process

1.1 高壓高產(chǎn)氣井油管柱動力學(xué)方程組

從高產(chǎn)高壓氣井管柱系統(tǒng)中取出管柱單元體進行受力分析，如圖2所示。

根據(jù)管柱單元的轉(zhuǎn)角和扭矩的本構(gòu)關(guān)系可得

(1)

根據(jù)軸向扭矩平衡方程可得

(2)

式中：J為管柱轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2；G為管材剪切模量，GPa；ρP為管柱密度，kg/m3；t為時間，s。

管柱繞x軸的轉(zhuǎn)角和彎矩可表示為

(3)

(4)

根據(jù)牛頓第二定律推導(dǎo)出y方向的力平衡可得

(5)

管柱x方向力矩平衡可得

(6)

式中：ρf為流體密度，kg/m3；E為管柱彈性模量，GPa；IP為管柱極慣性矩，m4；If為流體極慣性矩，m4；Af為流體橫截面面積，m2；AP為管柱橫截面面積，m2。

z軸方向為管柱軸線方向；x、y軸為垂直于管柱方向；M、φ、F、u分別為油管柱所受內(nèi)部流體作用產(chǎn)生的彎矩、轉(zhuǎn)角、力、位移；P、v分別為流體的壓強和流速；Fw為套管對油管柱的作用力圖2 管柱單元受力圖Fig.2 Force diagram of the string unit

管柱繞y軸的轉(zhuǎn)角和彎矩可表示為

(7)

(8)

根據(jù)牛頓第二定律推導(dǎo)出x方向的力平衡可得

(9)

管柱y方向力矩平衡可得

(10)

根據(jù)管道結(jié)構(gòu)的本構(gòu)方程和動力方程可得

(11)

(12)

根據(jù)流體的連續(xù)性方程和動量方程可得

(13)

(14)

1.2 模型求解

1.2.1 特征方程

上述管柱振動方程為擬線性雙曲線偏微分方程，采用特征線法來求解雙曲線偏微分方程[11-12]。特征線法的主要思路是將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，即特征方程，然后通過采用一階差分法將它轉(zhuǎn)化為特定的差分格式方程進行編程求解。

首先將管柱系統(tǒng)劃分為若干計算單元，如圖3所示，由于各特征波的波速不同，特征線和空間線不能交于網(wǎng)格點，因此，需要對管柱的空間步長和時間步長做一定的規(guī)定，計算程序框圖如圖4所示。根據(jù)線性差分理論，為保證計算格式的穩(wěn)定，需滿足：

(15)

式(15)中：Δzmin為管柱系統(tǒng)中計算單元最??；amax為特征波波速最大；Δt為時間步長。

然后通過采用一階差分法將特征方程轉(zhuǎn)化為特定的差分格式方程，差分結(jié)果如下。

(1) 管壁軸向扭矩。

(16)

(17)

式中：C+為正向特征線；C1為管柱軸向管材剪切模量；C-為反向特征線；M為彎矩；C為管材剪切模量；模型方程中符號上標表示方向；下標表示對該參量的一階偏導(dǎo)。

i、n為管柱劃分的節(jié)點數(shù)，其中，i為管柱節(jié)點的第i個位置，n為管柱節(jié)點的第n個位置圖3 管柱節(jié)點單元劃分圖Fig.3 Diagram of node element division of pipe string

圖4 求解流程圖Fig.4 Solution flow chart

(2)y-z平面的剪力和彎矩。

(18)

(19)

(20)

(21)

式中：C2為x-z平面縱向管材剪切模量；C3為x-z平面橫向管材剪切模量；ap3為波速；模型方程中符號上標表示方向；下標表示對該參量的一階偏導(dǎo)。

(3)x-z平面的剪力和彎矩。

(22)

(23)

(24)

(25)

(4) 管壁軸向應(yīng)力。

(26)

(27)

式中：C4為平面縱向管材剪切模量；P為壓力；模型方程中符號上標表示方向，下標表示對該參量的一階偏導(dǎo)。

(5) 沿軸向的流體壓強和流速。

(28)

(29)

1.2.2 邊界條件

高壓高產(chǎn)氣井油管柱系統(tǒng)時域分析是在定解條件下求解高壓高產(chǎn)氣井油管柱動力學(xué)方程組的數(shù)值解，因此，在對管柱進行動力響應(yīng)計算時，應(yīng)建立管柱初始狀態(tài)和定解條件。高壓高產(chǎn)氣井油管柱動力學(xué)初始條件，即流體與管柱結(jié)構(gòu)相互作用之前管柱系統(tǒng)的應(yīng)力、彎矩、扭矩、位移、壓強及流速。對于管柱系統(tǒng)，其初始應(yīng)力、彎矩、扭矩、位移及相對壓強可看作零進行處理，初始狀態(tài)的流速考慮為流體以一定恒定流速在管柱內(nèi)流動。高壓高產(chǎn)氣井油管柱的上端在平臺處固定，限制了管柱上端的橫向、縱向位移和轉(zhuǎn)動，管柱上端邊界為[13-14]

(30)

下端在封隔器處固定，限制了管柱下端的橫向、縱向位移和轉(zhuǎn)動，管柱下端邊界為

(31)

1.3 高壓高產(chǎn)氣井油管柱強度校核

1.3.1 高壓高產(chǎn)氣井油管柱安全系數(shù)法校核

高壓高產(chǎn)氣井油管柱上的應(yīng)力狀態(tài)主要有：內(nèi)壓和外壓作用在高壓高產(chǎn)氣井油管柱上所產(chǎn)生的徑向應(yīng)力σr和環(huán)向應(yīng)力σθ，軸向產(chǎn)生的拉應(yīng)力和壓應(yīng)力σF；高壓高產(chǎn)氣井油管柱彎曲所產(chǎn)生的附加彎曲應(yīng)力σM；剪力f橫向產(chǎn)生的橫向剪切力τ1，因此，一般情況下高壓高產(chǎn)氣井油管柱的任一點應(yīng)力狀態(tài)都是復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)，故在進行高壓高產(chǎn)氣井油管柱強度校核時，根據(jù)第四強度理論進行安全系數(shù)校核[15-16]。

(1)內(nèi)壓和外壓作用下高壓高產(chǎn)氣井油管柱的應(yīng)力分析。根據(jù)彈性力學(xué)的厚壁圓筒理論知識可知，環(huán)向應(yīng)力σθ(r,s)和徑向應(yīng)力σr(r,s)為

(32)

(33)

式中：r為管柱半徑，m；s為管柱深度，m；p1為內(nèi)壓，MPa；p0為外壓，MPa；r1為高壓高產(chǎn)氣井油管柱內(nèi)半徑，m；r0為高壓高產(chǎn)氣井油管柱外半徑，m。

(2)軸向應(yīng)力(高壓高產(chǎn)氣井油管柱在此處受壓為正、受拉為負)為

(34)

式中：A0為油管外橫截面積；A1為內(nèi)橫截面積。

(3)根據(jù)前面求得的高壓高產(chǎn)氣井油管柱上任一點處的彎矩M(s)，則在彎矩所在平面內(nèi)距離軸心r的軸向彎曲應(yīng)力σM為

(35)

(4)根據(jù)材料可知高壓高產(chǎn)氣井油管柱的剪切應(yīng)力的計算公式為

(36)

(37)

式中：f為應(yīng)力；τf為剪切應(yīng)力。

τf(s)遠遠小于σM(r0,s)，因此剪切應(yīng)力一般可以忽略。根據(jù)四強度理論，可得高壓高產(chǎn)氣井油管柱的相當應(yīng)力為

(38)

則相應(yīng)的強度條件為

(39)

式(39)中：σs為管柱材料的屈服極限；ns為安全系數(shù)，一般ns取1.25。

在實際工作過程中高壓高產(chǎn)氣井油管柱的安全系數(shù)n應(yīng)滿足：

(40)

1.3.2 高壓高產(chǎn)氣井油管柱三軸應(yīng)力法校核

因為高壓高產(chǎn)氣井油管柱在開采過程中，是處于較為復(fù)雜的三軸應(yīng)力狀態(tài)，還需要對高壓高產(chǎn)氣井油管柱強度進行三軸應(yīng)力校核，指高壓高產(chǎn)氣井油管柱在三軸應(yīng)力下，高壓高產(chǎn)氣井油管柱抗外擠、抗內(nèi)壓和抗拉的能力，它主要與高壓高產(chǎn)氣井油管柱自身的屈服強度相關(guān)。高壓高產(chǎn)氣井油管柱三軸應(yīng)力強度校核具體如下[17-18]。

(1)高壓高產(chǎn)氣井油管柱三軸抗擠強度計算公式為

(41)

式(41)中：Pca為三軸抗擠強度，MPa;Pco為抗擠強度，MPa;σa為軸向應(yīng)力，MPa;σ為屈服強度，MPa;Pi為管內(nèi)液體壓力，MPa。

(2)高壓高產(chǎn)氣井油管柱三軸抗內(nèi)壓強度計算公式為

(42)

式(42)中：Pba為三軸抗內(nèi)壓強度，MPa;Pbo為抗內(nèi)壓強度，MPa;Po為管外液體壓力，MPa;ri為高壓高產(chǎn)氣井油管柱內(nèi)半徑，MPa。

(3)高壓高產(chǎn)氣井油管柱三軸抗拉強度計算，公式為

(43)

式(43)中：Ta為三軸抗拉強度，MPa;To為抗拉強度，MPa。

2 工程實例分析

根據(jù)前面提出的高壓高產(chǎn)氣井油管柱動力學(xué)振動模型，對某井管柱的動力學(xué)特性進行了模擬分析。對于高壓高產(chǎn)氣井油管柱多用外徑114.3 mm、外徑88.9 mm和外徑73.0 mm，選取鋼級N80高壓高產(chǎn)氣井油管柱，屈服強度為758 MPa，表1為某高壓高產(chǎn)氣井油管柱的主要參數(shù)，表2為管柱系統(tǒng)的計算參數(shù)。

表1 管柱的主要參數(shù)Table 1 Main parameters of the pipe string

表2 管柱系統(tǒng)計算參數(shù)Table 2 Calculation parameters of the string system

2.1 高壓高產(chǎn)氣井油管柱不同產(chǎn)量下振動分析

通過上述管柱動力學(xué)模型計算得到不同產(chǎn)量下管柱的振動位移，圖5為管柱不同產(chǎn)量8×105、1×106、12×105m3/d下橫向位移對比云圖?？梢钥闯?，管柱的橫向位移隨著產(chǎn)量的增大而增大。這是因為：隨著產(chǎn)量的增加，流過單位截面積的流量大，在相同的管徑內(nèi)流速增加，對管柱的沖擊力增大，管柱振動更大。對于高產(chǎn)井，當管柱內(nèi)流量增大時，流體在管柱的壓力降低得更快，壓力波動更大，長期的作用可能會使得管柱失效破壞，甚至管柱斷裂。因此，需要對高壓高產(chǎn)氣井油管柱進行安全校核分析。

2.2 高壓高產(chǎn)氣井油管柱基本應(yīng)力分析

運用上述建立的高壓高產(chǎn)氣井油管柱動力學(xué)模型，計算出管柱在外徑114.3 mm下典型位置處H300 m、H600 m、H1 660 m和H2 540 m(H為深度)位置處的管柱橫向振動應(yīng)力隨時間的變化關(guān)系。圖6為管柱不同位置的橫向振動應(yīng)力隨時間變化關(guān)系曲線，可以看出，在0～20 s內(nèi)管柱(H300 m、H600 m)的橫向振動應(yīng)力幅值比管柱(H1 660 m和H2 540 m)大，管柱橫向應(yīng)力振動幅值較大，隨后振動應(yīng)力趨于穩(wěn)定，管柱處于交變應(yīng)力狀態(tài)。其中，管柱H300 m的應(yīng)力幅值范圍為-47.9～58.8 MPa；管柱H600 m的應(yīng)力幅值范圍為-95.5～98.2 MPa；管柱H1 660 m的應(yīng)力幅值范圍為-11.9～8.8 MPa；管柱H2 540 m的應(yīng)力幅值范圍為-5.6～3.9 MPa。

圖5 管柱不同產(chǎn)量下橫向位移對比云圖Fig.5 Contrast cloud diagram of lateral displacement of pipe string under different production rates

圖6 管柱的橫向振動應(yīng)力時間歷程圖Fig.6 Time history of the transverse vibration stress of the pipe string

圖7為管柱在H300 m、H600 m、H1 660 m和H2 540 m位置處的管柱縱向振動應(yīng)力隨時間變化歷程?？梢钥闯?，管柱H300 m和H600 m的縱向振動應(yīng)力幅值小于管柱H1 660 m和H2 540 m縱向振動應(yīng)力，越靠近管柱下部管柱的縱向振動應(yīng)力越大，在0～10 s，管柱縱向應(yīng)力振動幅值較大。其中，管柱H300 m的應(yīng)力幅值范圍為-74.1～63.8 MPa；管柱H600 m的應(yīng)力幅值范圍為-89.6～105.3 MPa；管柱H1 660 m的應(yīng)力幅值范圍為-122.7～132.3 MPa；管柱H2 540 m的應(yīng)力幅值范圍為-136.4～152.6 MPa。

圖7 管柱的縱向振動應(yīng)力時間歷程圖Fig.7 Longitudinal vibration stress time history diagram of pipe string

圖8(a)為管柱的最大軸向力振幅，其中在管柱的井口位置處軸向力最大，最大值為925.3 kN小于管柱抗拉強度1 846 kN。圖8(b)為管柱的最大應(yīng)力振幅圖，其中在管柱的井口位置處Mises應(yīng)力最大，最大值為237.04 MPa，但未超過管柱的屈服強度758 MPa，即管柱在開發(fā)過程中，由內(nèi)部流體誘發(fā)管柱振動產(chǎn)生的應(yīng)力沒有達到管柱的極限強度，管柱未發(fā)生破壞，但可能管柱處于交變低應(yīng)力的情況下，可能后續(xù)也會對管柱產(chǎn)生損傷。

2.3 高壓高產(chǎn)氣井油管柱尺寸對管柱應(yīng)力的影響

為了更進一步的分析管柱內(nèi)部流體引起不同尺寸管柱振動的應(yīng)力變化，計算分析外徑88.9 mm和外徑73.0 mm的應(yīng)力分布，如圖9和圖10所示。從圖9～圖11中可以看出，外徑114.3 mm的應(yīng)力振動幅值最小，而外徑73.0 mm的振動應(yīng)力幅值最大，因此大尺寸管柱有利于降低高速流體誘發(fā)管柱的振動問題。通過這些數(shù)值和曲線說明管柱在高速流體作用下，屬于不規(guī)則的交變振動，管柱內(nèi)的交變應(yīng)力復(fù)雜化。從圖11中可以看出，管柱井口處軸向力最大，但并未超過管柱所能承受拉力的警戒線。因此在管柱設(shè)計過程中應(yīng)該考慮設(shè)計減震器，以便減小開發(fā)過程中管柱振動帶來的損傷。

圖8 管柱軸向力及最大應(yīng)力分布Fig.8 Axial force and maximum stress distribution diagram of the pipe string

圖9 外徑88.9 mm管柱下管柱的橫向、縱向振動應(yīng)力時間歷程圖Fig.9 Time history diagram of the transverse and longitudinal vibration stress of the pipe string under the pipe string size of 88.9 mm

圖10 外徑73.0 mm管柱下管柱橫向、縱向振動應(yīng)力時間歷程圖Fig.10 Time history of the transverse and longitudinal vibration stress of the pipe string with a pipe string size of 73.0 mm

圖11 管柱不同尺寸下軸向力分布Fig.11 Axial force distribution under different sizes of pipe string

對管柱強度進行安全系數(shù)法校核，各向參數(shù)及結(jié)果如表3所示。管徑114.3 mm安全系數(shù)n=4.90(n>1.25)，管徑88.9 mm安全系數(shù)n=5.24(n>1.25)，管徑73.0 mm安全系數(shù)n=4.47(n>1.25)。對管柱強度進行三軸強度校核，結(jié)果如表4所示。可以看出，管柱的強度是足夠的，但是由于高壓高產(chǎn)開發(fā)過程的振動產(chǎn)生的復(fù)雜交變應(yīng)力，可能會導(dǎo)致管柱上的其他設(shè)備的振動損傷，其中在縱向上振動可能導(dǎo)致管柱螺紋接頭產(chǎn)生松動而導(dǎo)致破壞，同時管柱可能會在低應(yīng)力狀態(tài)下產(chǎn)生疲勞破壞。在管柱設(shè)計和運行過程中，為了降低管柱的振動，首先可以增加管柱的結(jié)構(gòu)尺寸，降低管柱內(nèi)流體的流量，流體的流速，降低流體的沖擊載荷。因此對于高產(chǎn)高壓井，須采用大尺寸管柱，以便降低由于振動引起的管柱損傷問題。

表3 管柱各向應(yīng)力及結(jié)果Table 3 All-directional stress and result of pipe string

表4 管柱三軸強度Table 4 Triaxial strength of pipe string

3 結(jié)論

建立高壓高產(chǎn)氣井油管柱動力學(xué)模型，通過高壓高產(chǎn)氣井油管柱安全系數(shù)法和高壓高產(chǎn)氣井油管柱三軸應(yīng)力法對高壓高產(chǎn)氣井油管柱強度進行校核，對高壓高產(chǎn)氣井油管柱基本應(yīng)力和管柱尺寸對管柱應(yīng)力的影響進行分析，經(jīng)過分析，得出如下主要結(jié)論。

(1)隨著產(chǎn)量的增加，管柱的橫向位移不斷增大。當流過單位截面積的流量增大時，在相同的管徑內(nèi)流速增加，對管柱的沖擊力增大，管柱振動更大。對于高壓高產(chǎn)井，當管柱內(nèi)流量增大時，流體在管柱的壓力降低得更快，壓力波動更大，長期的作用可能會使得管柱失效破壞，甚至管柱斷裂。因此，需要對高壓高產(chǎn)氣井油管柱進行安全校核分析。

(2)在0～20 s內(nèi)管柱(H300 m、H600 m)的橫向振動應(yīng)力幅值比管柱(H1 660 m和H2 540 m)大，管柱橫向應(yīng)力振動幅值較大，隨后振動應(yīng)力趨于穩(wěn)定，管柱處于交變應(yīng)力狀態(tài)。管柱H300 m和H600 m的縱向振動應(yīng)力幅值小于管柱H1 660 m和H2 540 m縱向振動應(yīng)力，越靠近管柱下部管柱的縱向振動應(yīng)力越大，在0～10 s內(nèi)，管柱縱向應(yīng)力振動幅值較大。管柱在井口位置處軸向力最大。

(3)由于高壓高產(chǎn)開發(fā)過程的振動產(chǎn)生的復(fù)雜交變應(yīng)力，在縱向上振動可能導(dǎo)致管柱螺紋接頭產(chǎn)生松動而導(dǎo)致破壞，同時管柱可能會在低應(yīng)力狀態(tài)下產(chǎn)生疲勞破壞。在管柱設(shè)計和運行過程中，為了降低管柱的振動，首先可以增加管柱的結(jié)構(gòu)尺寸，降低管柱內(nèi)流體的流量，流體的流速，降低流體的沖擊載荷。因此對于高產(chǎn)高壓井，須采用大尺寸管柱，以便降低由于振動引起的管柱損傷問題。