秦 鋒 張振虎

(1. 中國(guó)核工業(yè)集團(tuán)三門核電有限公司 浙江 臺(tái)州 317112;2. 上?？辈煸O(shè)計(jì)研究院(集團(tuán))有限公司 上海 200093)

0 引言

空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換需要計(jì)算七參數(shù),包括尺度系數(shù)、旋轉(zhuǎn)角度(旋轉(zhuǎn)矩陣)及平移參數(shù)。目前坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的算法主要分為兩類,一類是基于經(jīng)典最小二乘(least square,LS)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法,另一類是基于變量含誤差(errors in variables,EIV)模型的整體最小二乘(total least squares,TLS)或加權(quán)整體最小二乘(weighted total least squares,WTLS)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法。

尺度系數(shù)通常認(rèn)為是兩坐標(biāo)系距離之比。在經(jīng)典最小二乘準(zhǔn)則下,小角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換一般采用線性最小二乘一次性計(jì)算出包括尺度系數(shù)在內(nèi)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換七參數(shù)。對(duì)于基于經(jīng)典最小二乘準(zhǔn)則的大角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,文獻(xiàn)[1]論證了尺度系數(shù)和旋轉(zhuǎn)矩陣(或旋轉(zhuǎn)角度)之間不相關(guān),和平移參數(shù)之間呈強(qiáng)相關(guān),故大部分基于經(jīng)典最小二乘準(zhǔn)則的大角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法在計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)先計(jì)算尺度系數(shù),再計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣和平移參數(shù)。如文獻(xiàn)[2]通過(guò)計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換前后所有距離比值的平均值來(lái)計(jì)算尺度系數(shù),文獻(xiàn)[3]對(duì)坐標(biāo)數(shù)據(jù)重心化處理后采用最大似然估計(jì)計(jì)算尺度系數(shù),文獻(xiàn)[4]對(duì)坐標(biāo)數(shù)據(jù)重心化處理后通過(guò)計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換前后重心化坐標(biāo)平方和比值的開(kāi)方值來(lái)計(jì)算尺度系數(shù)。另有部分基于經(jīng)典最小二乘準(zhǔn)則的大角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法一次性計(jì)算出坐標(biāo)轉(zhuǎn)換七參數(shù),如文獻(xiàn)[5]對(duì)誤差方程線性化處理后通過(guò)迭代一次性求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換七參數(shù),不需要分別計(jì)算尺度系數(shù)、旋轉(zhuǎn)矩陣及平移參數(shù)。但在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn),以上計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換尺度系數(shù)的方法計(jì)算結(jié)果互有差異,難以確定何種方法尺度系數(shù)計(jì)算結(jié)果最優(yōu)。

在TLS或WTLS準(zhǔn)則下,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)中尺度系數(shù)的求解較LS準(zhǔn)則下復(fù)雜。目前已有的TLS或WTLS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法主要分為兩類,一類是分別計(jì)算尺度系數(shù)、旋轉(zhuǎn)矩陣及平移參數(shù),另一類通過(guò)迭代一次性計(jì)算出全部參數(shù)。第一類方法中,如文獻(xiàn)[6]采用多元總體最小二乘方法分別求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù),文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)了特定加權(quán)矩陣下采用多元總體最小二乘求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的方法。第二類方法中,如文獻(xiàn)[8]采用提出了一種基于TLS準(zhǔn)則的小角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法,文獻(xiàn)[9]采用改進(jìn)的加權(quán)整體最小二乘算法用于小角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,文獻(xiàn)[10]提出了一種通用的加權(quán)整體最小二乘坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法。

本文通過(guò)奇異值分解算法(singular value decomposition,SVD)推導(dǎo)了LS及TLS準(zhǔn)則下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換尺度系數(shù)的計(jì)算公式,并結(jié)合工程實(shí)例,與其他尺度系數(shù)計(jì)算方法進(jìn)行了對(duì)比。同時(shí),為驗(yàn)證本文算法,采用了布羅伊登-弗萊徹-戈德法布-香農(nóng)(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno,BFGS)優(yōu)化算法進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)證。對(duì)于WTLS準(zhǔn)則下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換尺度系數(shù)的計(jì)算及其與旋轉(zhuǎn)角度、平移參數(shù)之間的相關(guān)性,本文基于文獻(xiàn)[10]中的方法進(jìn)行了數(shù)據(jù)驗(yàn)證,并得出了相應(yīng)結(jié)論。

1 數(shù)學(xué)模型及算法

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型可表示為

為方便參數(shù)計(jì)算,根據(jù)文獻(xiàn)[11]對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行重心化處理。數(shù)據(jù)重心化處理后,旋轉(zhuǎn)矩陣和平移參數(shù)可分開(kāi)進(jìn)行計(jì)算,其計(jì)算公式為

分別定義矩陣A和B為

重心化后的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型就可表示為:A=λRB

1.1 基于LS準(zhǔn)則的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換尺度系數(shù)計(jì)算

求取正交矩陣R,使A-λRB的弗羅貝紐斯(Frobenius)范數(shù)最小時(shí)所得的R即為最佳轉(zhuǎn)換矩陣,即求解以下問(wèn)題，即

(5)

(6)

式中,tr是trace的簡(jiǎn)寫(xiě),表示矩陣的跡。

因λ>0,故在tr(BATR)取最大值時(shí),式(6)得到最小值。

對(duì)BAT進(jìn)行奇異值分解,得

(7)

式中,U是左奇異矩陣;V是右奇異矩陣;Σ=diag(σ1,σ2,σ3),σ1,σ2,σ3為BAT的奇異值。根據(jù)文獻(xiàn)[12],R=VUT時(shí),tr(BATR)取最大值。將求得的R代入式(6),此時(shí)式(6)為關(guān)于λ的一元二次方程求極值問(wèn)題,當(dāng)λ為式(6)時(shí),式(6)得到最小值。

(8)

平移參數(shù)可根據(jù)式(4)進(jìn)行計(jì)算。

1.2 基于TLS準(zhǔn)則的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換尺度系數(shù)計(jì)算

考慮到矩陣A、B中的隨機(jī)誤差EA、EB,構(gòu)建EIV模型為

(9)

假設(shè)隨機(jī)誤差EA、EB獨(dú)立同分布,基于拉格朗日乘子法,構(gòu)建整體最小二乘優(yōu)化函數(shù)為

(10)

函數(shù)f分別對(duì)EA、EB、μ求偏導(dǎo)并置0,解出EA、EB、μ后代入式(10),得

(11)

同式(7),對(duì)BAT進(jìn)行奇異值分解;同理,當(dāng)且僅當(dāng)R=VUT時(shí),f取極小值。將R=VUT代入式(11)中,可得

(12)

式(2)對(duì)λ求偏導(dǎo)并置0,因λ>0,tr(Σ)>0,故可解出

(13)

平移參數(shù)可根據(jù)式(4)進(jìn)行計(jì)算。

1.3 驗(yàn)證算法

分別定義以下矩陣:

其中,Ln表示元素全是1的列向量。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型又可表示為:

(14)

構(gòu)建基于LS準(zhǔn)則的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換優(yōu)化函數(shù):

(15)

參照式(9)至式(11),構(gòu)建基于TLS準(zhǔn)則的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換優(yōu)化函數(shù)為

(16)

對(duì)上述兩個(gè)函數(shù)分別采用BFGS算法進(jìn)行優(yōu)化,迭代求取坐標(biāo)轉(zhuǎn)換七參數(shù)。具體BFGS算法可參照文獻(xiàn)[13]。

2 案例分析

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)選用文獻(xiàn)[10]中的數(shù)據(jù),詳細(xì)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原始數(shù)據(jù) 單位：m

分別采用文獻(xiàn)[2-5]中算法計(jì)算尺度系數(shù),同時(shí)采用本文算法及驗(yàn)證算法分別計(jì)算LS準(zhǔn)則下及TLS準(zhǔn)則下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換七參數(shù),解算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 LS及TLS準(zhǔn)則下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)解算結(jié)果

從以上計(jì)算結(jié)果可以看出:

(1)本文LS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法與基于BFGS優(yōu)化算法的LS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換驗(yàn)證算法解算的七參數(shù)完全一致,而文獻(xiàn)[2-5]尺度系數(shù)計(jì)算結(jié)果均與本文LS算法結(jié)果有差異,說(shuō)明LS準(zhǔn)則下本文提出的尺度系數(shù)計(jì)算方法更準(zhǔn)確。

(2)在TLS準(zhǔn)則下,本文算法解算的尺度系數(shù)也與驗(yàn)證算法解算結(jié)果一致,但與本文LS算法計(jì)算的尺度系數(shù)不一致,說(shuō)明LS準(zhǔn)則下尺度系數(shù)的計(jì)算方法并不能用于TLS準(zhǔn)則下尺度系數(shù)的計(jì)算。

(3)比較上述案例LS準(zhǔn)則下和TLS準(zhǔn)則下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)計(jì)算結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)兩種準(zhǔn)則下旋轉(zhuǎn)角度計(jì)算結(jié)果完全一致,這與1.1節(jié)和1.2節(jié)推導(dǎo)結(jié)果一致。

3 相關(guān)性分析

3.1 LS及TLS準(zhǔn)則下尺度系數(shù)分析

從LS準(zhǔn)則下構(gòu)建的優(yōu)化函數(shù)式(6)及TLS準(zhǔn)則下構(gòu)建的優(yōu)化函數(shù)式(11)可以看出,無(wú)論尺度系數(shù)取何值,函數(shù)取最小值時(shí)所求取的旋轉(zhuǎn)矩陣均不變,說(shuō)明在LS準(zhǔn)則和TLS準(zhǔn)則下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換尺度系數(shù)和旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)角度)不相關(guān);另根據(jù)式(4)可以看出,計(jì)算平移參數(shù)需要尺度系數(shù)及旋轉(zhuǎn)矩陣,故平移參數(shù)與尺度系數(shù)是相關(guān)的,這與文獻(xiàn)[1]中結(jié)論一致。

3.2 WTLS準(zhǔn)則下尺度系數(shù)分析

“坐標(biāo)轉(zhuǎn)換尺度系數(shù)與旋轉(zhuǎn)矩陣不相關(guān),與平移參數(shù)相關(guān)”這一結(jié)論適用LS準(zhǔn)則及TLS準(zhǔn)則,但是否同樣適用于WTLS準(zhǔn)則,目前的研究較少,故對(duì)于WTLS準(zhǔn)則下該結(jié)論是否成立需要進(jìn)一步的驗(yàn)證。

為驗(yàn)證WTLS準(zhǔn)則下尺度系數(shù)與旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)角度)、平移參數(shù)的相關(guān)性,設(shè)計(jì)了以下六組權(quán)陣,每組權(quán)陣下再分別計(jì)算三種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)(第一種計(jì)算全部七參數(shù);第二種和第三種分別指定尺度系數(shù)為1和2,計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換六個(gè)參數(shù)),具體權(quán)陣數(shù)據(jù)見(jiàn)表3。

表3 WTLS準(zhǔn)則下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換設(shè)計(jì)權(quán)陣

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)采用第3節(jié)案例分析中數(shù)據(jù),并采用文獻(xiàn)[10]中算法進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)解算,解算結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 WTLS準(zhǔn)則下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)解算結(jié)果

續(xù)表4

續(xù)表4

備注：所求得的角度均為弧度。

從表4計(jì)算結(jié)果可以看出,第一組權(quán)陣下,即對(duì)1.3節(jié)中矩陣C、D進(jìn)行列加權(quán)、行不加權(quán)且列加權(quán)矩陣相同,當(dāng)尺度系數(shù)變化時(shí),旋轉(zhuǎn)角度不變,平移參數(shù)改變,說(shuō)明在第一組權(quán)陣下尺度系數(shù)與旋轉(zhuǎn)角度不相關(guān),與平移參數(shù)相關(guān)。第二組至第六組權(quán)陣下,尺度系數(shù)變化時(shí),旋轉(zhuǎn)角度及平移參數(shù)均改變,說(shuō)明在這些權(quán)陣下尺度系數(shù)與旋轉(zhuǎn)角度及平移參數(shù)均相關(guān)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于奇異值分解(SVD)算法推導(dǎo)了LS準(zhǔn)則下和TLS準(zhǔn)則下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換尺度系數(shù)計(jì)算方法,并結(jié)合案例采用BFGS優(yōu)化算法進(jìn)行了驗(yàn)證,同時(shí)分析了LS、TLS及WTLS準(zhǔn)則下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換尺度系數(shù)與旋轉(zhuǎn)角度、平移參數(shù)之間的相關(guān)性,并得出了以下結(jié)論:

(1)本文提出的LS準(zhǔn)則下及TLS準(zhǔn)則下尺度系數(shù)公式與最優(yōu)化驗(yàn)證算法計(jì)算結(jié)果完全一致,說(shuō)明本文方法可用于尺度系數(shù)的精確計(jì)算。

(2)對(duì)比LS及TLS準(zhǔn)則下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換七參數(shù)計(jì)算結(jié)果,其旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)角度)相同,尺度系數(shù)不同,因尺度系數(shù)不同導(dǎo)致平移參數(shù)不同。

(3)在LS準(zhǔn)則及TLS準(zhǔn)則下,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換尺度系數(shù)和旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)角度)不相關(guān),與平移參數(shù)相關(guān);但在WTLS準(zhǔn)則下,除個(gè)別特殊權(quán)陣外,尺度系數(shù)與旋轉(zhuǎn)矩陣和平移參數(shù)均相關(guān)。故在LS準(zhǔn)則下及TLS準(zhǔn)則下,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換尺度系數(shù)、旋轉(zhuǎn)矩陣及平移參數(shù)可分別計(jì)算,而在WTLS準(zhǔn)則下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換七參數(shù)不能分別計(jì)算(個(gè)別特殊權(quán)陣除外),只能通過(guò)優(yōu)化算法迭代一次性求取全部七個(gè)參數(shù)。