歐陽柏平

（廣州華商學院數(shù)據(jù)科學學院，廣東 廣州 511300）

考慮非線性記憶項的弱耦合半線性Moore-Gibson-Thompson（MGT）系統(tǒng)柯西問題解的爆破

Moore-Gibson-Thompson（MGT）方程是一類重要的非線性聲學方程，在醫(yī)學和工業(yè)中有重要的應用［1?3］.物理上描述波在粘性熱松弛流體中的傳播，表示為如下三階雙曲方程

其中，u=u(t，x)為聲速勢函數(shù)，c表示聲速，b=βc2表示聲擴散率，τ為松弛因子，τ∈(0，β].

根據(jù)半群理論，τ=β時不具有半群指數(shù)穩(wěn)定性.更多有關半線性MGT方程解的性態(tài)研究，參考文獻［4?10］.

式（1）中，如果β1=β2=0，γ1=γ2，p=q，則變?yōu)?/p>

文獻［11］對上式進行了研究，通過對初始數(shù)據(jù)的符號假設，運用迭代方法和切片化方法，證明了在臨界和次臨界2種情況下全局解的非存在性.同時，還推出了2種情況下解的生命跨度的上界估計.

文獻［12?18］考慮了下面弱耦合半線性波動系統(tǒng)解的爆破問題

其中，q，p＞1，n≥1，ε＞0.

上述波動系統(tǒng)中，其臨界曲線為

當αW＜(n-1)2時，存在唯一的全局解.當αW≥(n-1)2時，其解爆破.

上述弱耦合半線性波動系統(tǒng)柯西問題解的爆破研究，不僅是單個波動方程的簡單推廣，特別是當p≠q時.文獻［19?24］研究了單個波動方程柯西問題解的情況.與文獻［13?26］相比，考慮具有非線性記憶項的高階弱耦合波動系統(tǒng)解的爆破.模型（1）中當β1=β2，γ1=γ2，p=q時，弱耦合問題（1）將一定程度退化為單個非線性記憶項的MGT方程.而p≠q時，因為右端弱耦合現(xiàn)象的出現(xiàn)，使得研究臨界曲線的非對稱區(qū)域變得非常復雜而且困難.另外，與經(jīng)典的弱耦合波動方程相比［19?24］，問題（1）會出現(xiàn)關于時間的高階導數(shù)，這樣使得無界乘子產(chǎn)生非常大作用，同時也使得經(jīng)典的反射法等技巧不適用.

因此，本文非線性記憶項下弱耦合高階MGT方程組中解的爆破問題并非已有研究的簡單推廣.其研究思路是基于近年來學者提出的解決某些高階雙曲方程解的爆破問題的迭代技巧［25?31］，其目標是分析弱耦合半線性MGT系統(tǒng)中非線性記憶項對解的爆破以及生命跨度的影響.特別是，需要重點解決因為無界乘子的引入而無法應用Kato引理研究其解的爆破情況.

1 主要結(jié)果

首先定義問題（1）的柯西問題能量解.

定義1設(u0，u1，u2，v0，v1，v2)∈(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn))×(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn)).(u，v)是問題（1）在[0，T)上的能量解，若

且滿足

和

應用分部積分于式（2）和（3），有

以及

當t→T時，可得(u，v)滿足問題（1）的能量解的定義.

設(u0，u1，u2，v0，v1，v2)∈(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn))2是非負緊致函數(shù)，其包含在半徑為R的球BR中，使得ui，vi(i=0，1，2)不恒為0.若(u，v)是（1）的解，其生命跨度T(ε)滿足

則存在正常數(shù)ε0=ε0(u0，u1，u2，v0，v1，v2，n，p，q，R，β1，β2)，使得當ε∈(0，ε0]時，(u，v)在有限時間爆破，進一步求得其生命跨度的上界估計是

2 定理的證明

定義2個泛函

對式（10）和（11）關于t求導，有

其中，c1=c1(n，p)＞0.

結(jié)合式（12）和（14），有

式（15）積分2次，整理，得到

對式（16）兩邊進一步積分，整理，有

類似的推導，有

需要進一步研究U(t)和V(t)的下界序列及第一下界估計.因此，引入如下正光滑函數(shù)［32］

Φ(x)有以下性質(zhì)

當|x|→∞時.

設函數(shù)Ψ=Ψ(t，x)=exp(-t)Φ(x).由Ψ定義，有

定義2個泛函U1(t)，V1(t)

式（2）和（3）中令Ψ=φ，Ψ=φ，分別得到

以及

將分部積分和Ψ的性質(zhì)應用到式（20）和（21），可推得

和

將式（19）代入到式（22），得到

其中，

式（24）中，令G(t)=U1′(t)+2U1(t)，于是有

對式（25）兩邊求積分，可得

式（26）進一步積分，得到

其中，C1為正常數(shù).

同樣地，有

其中，

由Ψ的漸近性［33］，易得

其中，k＞0.

運用定理條件和H?lder不等式，有

因此，可以推得

聯(lián)立式（12）和（31），得到

對上式積分，可推得

其中，m1=β1U′(0)+U(0)，m2=β1U″(0)+U′(0).

積分式（33），可推出

類似的推導，可得

為了完成定理1的證明，需要構(gòu)造U(t)和V(t)的迭代序列.為此，設

其中，{Dj}j≥1，{Qj}j≥1，{αj}j≥1，{aj}j≥1，{σj}j≥1，{r j}j≥1均為非負實序列，{Lj}j≥1為無限積收斂的部分積序列，其中，

由定義易知，j=1時，式（34）蘊含式（36），式（35）蘊含式（37）.假如式（36）和（37）對任意的j≥1均成立，下證對j+1也滿足.

將式（37）代入到式（17），有

其中，t≥Lj+1.

同樣，將式（36）代入到式（18），可得

其中，t≥Lj+1.

式（38）和（39）中，令

于是，有

由式（42）和（43）易知，式（36）和（37）對j+1成立.

設j為奇數(shù)，結(jié)合式（40）和（41），利用遞推關系，可推出

結(jié)合式（40）和（41），可推出

由遞推關系，對式（49）和（50）進一步化簡，得到

j為奇數(shù)時，式（51）兩邊取對數(shù)，由遞推關系，有

設j0為滿足下式的正整數(shù)

類似地，對于式（52），由遞推關系，可推出

結(jié)合式（36）和（37），得到

其中，j≥max{j0，j1}，t≥L.

其中，j≥max{j0，j1}，t≥L.

取t≥max{R，3L}，此時有

式（60）和（61）右邊指數(shù)函數(shù)中t的指數(shù)是

式（62）和（63）中，min{γ1(n，p，q，γ1，γ2)，γ2(n，p，q，γ1，γ2)}＞0時，t的指數(shù)是正的.

同理，γ2(n，p，q)＞0時，對于上述恰當?shù)摩?，有

綜上，問題（1）的全局解不存在.進一步可得(u，v)的生命跨度估計為

定理1得證.