姜浩，牛學(xué)斌，張立軍，尹文波，張丙輝，徐文凱

(1.中國石油大學(xué)(華東) 機電工程學(xué)院，山東青島，266580；2.中石化勝利石油工程有限公司鉆井工藝研究院，山東東營，257000)

鉆柱的黏滑振動是井底鉆頭摩擦引起的一種“黏滯—滑脫—黏滯”的特殊轉(zhuǎn)動形式。隨著油氣開發(fā)由淺層轉(zhuǎn)向深層，鉆井深度增加，鉆柱的等效剛度降低，傳遞的扭矩不足以克服鉆頭和地層之間的摩擦力，從而產(chǎn)生黏滑振動，導(dǎo)致鉆具的振動加劇，容易發(fā)生鉆井事故，增加鉆井成本[1]。

HONG 等[2]提出了利用Kalman 狀態(tài)估算的方法計算井下鉆頭的位置與速度，利用數(shù)值方法分析控制性能，識別鉆頭的黏滑振動，估算鉆頭處的摩擦扭矩；黃根爐等[3-5]建立單自由度扭轉(zhuǎn)模型，分析了大位移井鉆柱黏滑振動機理，闡明了頂部轉(zhuǎn)矩負反饋減振方法；湯歷平等[6-7]建立了鉆柱系統(tǒng)的黏滑振動力學(xué)模型，研究了黏滑振動的自激振動特性，分析了不同初始條件下鉆頭的相軌跡及鉆頭處所受的摩擦扭矩；NAVARRO-LOPEZ等[8]提出了動態(tài)滑?？刂撇呗詠砜刂沏@柱系統(tǒng)的黏滑振動，結(jié)合相應(yīng)參數(shù)，對比分析了不同控制方法的穩(wěn)定性和魯棒性；付蒙等[9-11]基于二自由度集中質(zhì)量模型，建立了狀態(tài)反饋和扭矩前饋振動控制方法。

我國對于鉆柱黏滑振動研究相對國外起步較晚，對于減小鉆頭黏滑振動的控制算法研究較少。基于上述學(xué)者的研究成果，本文作者建立鉆柱系統(tǒng)模型，分析黏滑振動特性，進行控制算法的仿真及實驗研究，驗證了井下參數(shù)重構(gòu)算法的有效性，這對提高鉆井效率減少事故發(fā)生具有重要意義。

1 數(shù)學(xué)模型建立

鉆柱系統(tǒng)是整個鉆井設(shè)備中的重要組成部分，圖1所示為鉆柱系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，鉆柱系統(tǒng)結(jié)構(gòu)主要由4個部分即頂驅(qū)、鉆桿、鉆鋌和鉆頭構(gòu)成。

圖1 鉆柱系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of drill string system

將頂驅(qū)，鉆桿，鉆鋌和鉆頭視為等效的質(zhì)量集中塊，考慮到在實際的鉆井工藝中，鉆鋌和鉆頭之間的剛性非常大，將鉆鋌和鉆頭視為一個等效集中質(zhì)量剛體，將鉆桿視為僅有扭轉(zhuǎn)剛度而無慣性的彈簧，將鉆井液對系統(tǒng)運動的影響視為黏滯阻尼，建立三集中質(zhì)量鉆柱系統(tǒng)運動模型[12]，如圖2所示。

圖2 鉆柱系統(tǒng)運動模型Fig.2 Diagram of drill string system movement model

根據(jù)剛體運動學(xué)定律，分別對等效質(zhì)量塊進行運動學(xué)分析，頂驅(qū)運動方程如下：

式中：Jr為頂驅(qū)的轉(zhuǎn)動慣量；cr為頂驅(qū)的阻尼系數(shù)；φr為頂驅(qū)的旋轉(zhuǎn)角位移；crp為頂驅(qū)和鉆桿之間的等效阻尼系數(shù)；krp為頂驅(qū)和鉆桿之間的等效扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；Tm為頂驅(qū)的驅(qū)動力矩；Trp為頂驅(qū)與鉆桿之間的合力矩；Tr為頂驅(qū)的阻力矩。

中間鉆桿等效質(zhì)量剛體運動方程如下：

式中：Jp為鉆桿的轉(zhuǎn)動慣量；φp為鉆桿的旋轉(zhuǎn)角位移；φb為鉆頭處的旋轉(zhuǎn)角位移；Tpb為鉆桿與鉆頭之間的合力矩；cpb為鉆桿和鉆頭之間的等效阻尼系數(shù)；kpb為鉆桿和鉆頭之間的等效扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)。

底部鉆頭等效質(zhì)量剛體運動方程如下：

式中：Jb為鉆頭的轉(zhuǎn)動慣量；cb為鉆頭的流體阻尼系數(shù)；Tab為鉆頭所受的合阻力矩；Tb為鉆頭的流體阻力矩；Tfb為鉆頭與地層之間的摩擦力矩。

綜合式(1)～(3)可得三集中質(zhì)量鉆柱系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型運動方程：

由黏滑振動引起Tfb屬于非線性摩擦，其可采用Karnopp非線性摩擦模型進行分析。定義一個極小的速度極限D(zhuǎn)v，當(dāng)速度位于[-Dv，Dv]區(qū)間內(nèi)，可認為速度v為0，此時，摩擦力是靜摩擦力，它與系統(tǒng)所受其他合力相平衡，直到它超過最大靜摩擦力時，系統(tǒng)進入滑動階段，所受摩擦力與速度有關(guān)。Karnopp非線性摩擦模型表達式如下：

式中：v為系統(tǒng)運動速度；fs為最大靜摩擦力；fe為外力合力；fc為庫侖摩擦力；fv為摩擦黏性系數(shù)；vs與δ均為Karnopp摩擦模型經(jīng)驗常數(shù)[13]。

對式(4)所示鉆柱運動數(shù)學(xué)模型選取狀態(tài)變量：

式中：Δφrp=φr-φp；Δφpb=φp-φb。將式(4)寫成狀態(tài)空間方程：

式中：A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸入函數(shù)矩陣，u=Tm；C為系統(tǒng)的輸出函數(shù)矩陣。各控制矩陣分別為：

2 控制方案設(shè)計

在實際鉆井過程中，井下高壓高溫的工況條件及泥漿巖屑運移等導(dǎo)致難以直接獲得井下數(shù)據(jù)，影響到井下工況的實時判斷和對鉆柱系統(tǒng)的實時控制，井下黏滑振動難以抑制。本文提出建立龍伯格狀態(tài)重構(gòu)器，依據(jù)地上頂驅(qū)轉(zhuǎn)速ωr和扭矩Tm，估算鉆柱系統(tǒng)進行控制所需要的井下狀態(tài)變量[14]，設(shè)計了基于狀態(tài)重構(gòu)器的PID控制器。給定鉆柱系統(tǒng)期望轉(zhuǎn)速ωref，通過調(diào)節(jié)頂驅(qū)轉(zhuǎn)速ωr和扭矩Tm，實現(xiàn)井下鉆頭實際轉(zhuǎn)速ωb與期望轉(zhuǎn)速ωref保持一致，完成鉆柱系統(tǒng)黏滑振動的抑制，控制系統(tǒng)方案見圖3。

圖3 控制系統(tǒng)方案圖Fig.3 Scheme diagram of control system

2.1 狀態(tài)重構(gòu)器設(shè)計

式(7)所示的鉆柱系統(tǒng)狀態(tài)空間方程中x為5維空間狀態(tài)變量，u為系統(tǒng)的輸入量，y為系統(tǒng)的輸出量，Tf(x)為摩擦干擾輸入量，而A，B和C均為確定維數(shù)的系統(tǒng)矩陣。在通常情況下，式(7)對應(yīng)的龍伯格狀態(tài)重構(gòu)器為

由于非線性摩擦干擾Tf(x)的存在，無法估算井下未知狀態(tài)參量，故需對狀態(tài)重構(gòu)器進行修正，增加摩擦干擾估算項并通過估算值的誤差積分[15]予以調(diào)整，調(diào)整后的龍伯格狀態(tài)重構(gòu)器[16]表示為

式中：為系統(tǒng)狀態(tài)的估算值；為摩擦干擾輸入估算值；Ga和Gb為相應(yīng)的增益矩陣。根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程，以頂驅(qū)轉(zhuǎn)速ωr和輸入扭矩Tm為重構(gòu)器輸入量，以狀態(tài)變量x和摩擦力矩Tf(x)為估算變量，進行如下代換：

將式(14)代入式(13)狀態(tài)重構(gòu)器，可得如下方程：

式中：G1，G2，G3，G4，G5和G6為增益比例系數(shù)。為了選定合適的增益比例系數(shù)，采用最優(yōu)阻尼原理[17]確定參數(shù)。假設(shè)式(15)對應(yīng)的狀態(tài)矩陣為M，根據(jù)|sE-M|=0 可求出狀態(tài)重構(gòu)器的特征方程式(E為6 階單位矩陣)。最優(yōu)阻尼原理是將確定形式的控制器或者重構(gòu)器和被控對象結(jié)合成整體系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)整理成為最優(yōu)阻尼特征多項式形式，從而得到與之相匹配的未知參數(shù)。式(15)對應(yīng)的最優(yōu)阻尼特征多項式為

式中：D1，D2，D3，D4，D5和D6為系統(tǒng)阻尼比，根據(jù)最優(yōu)阻尼原理，所有系統(tǒng)阻尼比均取0.5；Te是系統(tǒng)的時間常數(shù)，參考文獻[18]，取0.3 s。通過將狀態(tài)重構(gòu)器的特征方程式化為6階最優(yōu)阻尼特征多項式的形式，對比參數(shù)方程組可獲得比例增益系數(shù)G1，G2，G3，G4，G5和G6，經(jīng)過計算可得比例增益系數(shù)分別為105.82，2.40×103，5.62×105，-7.31×104，1.25×107和-14.33，采用穩(wěn)定判據(jù)分析可知狀態(tài)重構(gòu)器收斂、穩(wěn)定。

2.2 PID控制器設(shè)計

根據(jù)式(15)可獲得未知狀態(tài)變量的估值，利用狀態(tài)重構(gòu)器與傳統(tǒng)PID控制理論相結(jié)合，既增強了傳統(tǒng)PID控制對非線性系統(tǒng)的抗干擾能力，又可根據(jù)狀態(tài)重構(gòu)器的估算數(shù)據(jù)為PID 算式提供校正信息。根據(jù)圖3所示整體控制系統(tǒng)方案，采用MATLAB構(gòu)建PID狀態(tài)反饋控制器。PID控制系統(tǒng)的一般方程式如下：

式中：kp，ti和td分別為比例系數(shù)、積分時間常數(shù)和微分時間常數(shù)。

PID控制系統(tǒng)通過調(diào)節(jié)井下轉(zhuǎn)速和給定轉(zhuǎn)速保持一致，從而消除鉆柱的黏滑振動現(xiàn)象，故取e=ωref-ωb，其中，ωref為鉆柱系統(tǒng)在輸入驅(qū)動扭矩下的所期望的正常轉(zhuǎn)速。由于井下轉(zhuǎn)速未知，故取e=ωref-ωb_re，其中，ωb_re為鉆頭估算轉(zhuǎn)速，從而得到關(guān)于輸入扭矩Tm的控制方程式為

式中：K1，K2和K3分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)，經(jīng)過調(diào)試，比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)分別取14，32 和13。PID 控制器仿真模型見圖4。

圖4 PID控制器系統(tǒng)仿真模型Fig.4 Simulation model of PID controller system

3 仿真分析

為了驗證控制方法對黏滑振動的抑制效果，搭建的三集中質(zhì)量鉆柱系統(tǒng)仿真模型和狀態(tài)重構(gòu)器仿真模型[19]見圖5。仿真模型參數(shù)參考文獻[20]，見表1。

圖5 鉆柱系統(tǒng)和狀態(tài)重構(gòu)器仿真模型Fig.5 Simulation models of drill string and state reconstructor

在頂驅(qū)恒扭矩驅(qū)動模式下，可以得到不同頂驅(qū)驅(qū)動扭矩工況下頂驅(qū)轉(zhuǎn)速ωr、鉆頭轉(zhuǎn)速ωb以及摩擦力矩Tfb的時域分析圖，根據(jù)表1給定的系統(tǒng)參數(shù)，設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為0，獲得的MATLAB/Simulink仿真結(jié)果見圖6。

表1 鉆柱系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型參數(shù)Table 1 Related parameters of mathematical model of drill string system

由圖6可知：當(dāng)Tm為5 000 N·m 時，輸入扭矩較小，頂驅(qū)傳遞到底部鉆具的耦合力矩小于系統(tǒng)受到的靜摩擦力矩，此時，驅(qū)動力矩不足以驅(qū)動井底鉆具，ωb始終為0，ωr和Tfb經(jīng)過短暫波動后保持不變，頂驅(qū)力矩與靜摩擦力矩相互抵消，系統(tǒng)未出現(xiàn)黏滑振動現(xiàn)象；當(dāng)Tm為10 000 N·m 時，鉆柱系統(tǒng)出現(xiàn)明顯的黏滑振動，井下鉆具出現(xiàn)“黏滯—滑脫—黏滯”的周期性的交替運動，交替周期約為8 s，ωr波動范圍為3～8 rad/s，而ωb波動范圍在0～18 rad/s；底部受到的摩擦力矩Tfb也發(fā)生劇烈震蕩，Tfb的波動范圍為5 140～12 120 N·m，最大瞬時差值達6 976 N·m，Tfb的波動導(dǎo)致井下轉(zhuǎn)速也出現(xiàn)巨大波動，ωb在極短時間內(nèi)達到ωr的數(shù)倍；當(dāng)Tm提升到15 000 N·m，起始狀態(tài)頂驅(qū)轉(zhuǎn)速和鉆頭鉆速存在差異并呈現(xiàn)小幅波動，隨著時間增加，系統(tǒng)黏滑振動逐漸消失，46 s后，ωr和ωb趨向穩(wěn)定且兩者數(shù)值相同，此時，井底鉆具所受力矩為滑動摩擦力矩。

為模擬黏滑振動下狀態(tài)重構(gòu)器對狀態(tài)變量的估算效果，根據(jù)圖6所示仿真結(jié)果，取Tm=10 000 N·m，對狀態(tài)重構(gòu)器進行仿真驗證，仿真參數(shù)同表2，仿真結(jié)果見圖7。圖7中,ωr_re和ωb_re分別為ωr和ωb的估算值。由圖7可知：狀態(tài)重構(gòu)器對井下狀態(tài)變量具有良好模擬性能，對ωr的估算誤差趨近0。對于ωb的估算，在“黏滯”狀態(tài)時存在較小估算誤差，但在“滑脫”狀態(tài)時其估算誤差也趨近0，由此可知狀態(tài)重構(gòu)器可用于診斷黏滑振動的發(fā)生以及估算井下未知狀態(tài)變量。

圖6 不同扭矩下的轉(zhuǎn)速和摩擦力矩時域分析圖Fig.6 Time domain analysis diagrams of rotational speed and friction torque under different torques

圖7 狀態(tài)重構(gòu)器效果時域分析圖Fig.7 Time domain analysis diagrams of state reconstructor effect

為了不影響原有電控系統(tǒng)，采用PID控制系統(tǒng)對鉆柱系統(tǒng)黏滑振動進行抑制，根據(jù)式(18)，在MATLAB/Simulink 中設(shè)定ωref為8 rad/s。為了對比PID控制系統(tǒng)對黏滑振動的抑制效果，在50 s處開啟PID 控制，仿真結(jié)果見圖8。由圖8可知：未啟動PID控制系統(tǒng)之前，鉆柱系統(tǒng)持續(xù)性發(fā)生黏滑振動，50 s時開啟PID控制系統(tǒng)，經(jīng)過大約10 s抑制調(diào)整，井下鉆具和頂驅(qū)轉(zhuǎn)速ωr與ωb逐漸保持一致且與當(dāng)前驅(qū)動扭矩下設(shè)定的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速ωref一致。控制器在50 s 時進行控制切換，起始ωr與ωb會產(chǎn)生明顯黏滯階段，存在較大波動，在控制系統(tǒng)作用下，經(jīng)過短時間超調(diào)后逐漸收斂至平穩(wěn)。所設(shè)計的PID控制方法對黏滑振動具有良好控制作用。

圖8 PID控制系統(tǒng)仿真時域分析圖Fig.8 Time domain analysis diagram of PID control system simulation

4 實驗驗證

4.1 模擬試驗臺設(shè)計

為了進一步分析黏滑振動，驗證控制方法對黏滑振動的控制效果，搭建了鉆具黏滑模擬試驗臺，鉆柱黏滑模擬實驗裝置原理圖見圖9。

圖9 實驗裝置原理圖Fig.9 Schematic diagram of experimental device

試驗臺采用金屬圓盤代表集中質(zhì)量塊，采用淬火鋼桿連接件連接模擬鉆桿與圓盤，電控系統(tǒng)驅(qū)動電機帶動鉆桿模擬裝置轉(zhuǎn)動，模擬鉆進過程。試驗臺采用PCI數(shù)據(jù)采集卡采集驅(qū)動電機的實時轉(zhuǎn)速和扭矩，將采集的轉(zhuǎn)速和扭矩數(shù)據(jù)輸入工控機，經(jīng)控制算法處理后，輸出控制信號控制電機轉(zhuǎn)速，實現(xiàn)鉆柱系統(tǒng)黏滑振動的抑制。

4.2 實驗結(jié)果及分析

試驗裝置通過PID控制驅(qū)動變頻器實現(xiàn)調(diào)速與扭矩輸出，通過人機接口軟件對試驗裝置的轉(zhuǎn)速、輸入扭矩、摩擦力矩等進行實時檢測。為檢驗控制算法的控制效果及狀態(tài)重構(gòu)器的跟蹤效果，分別將頂驅(qū)轉(zhuǎn)速和鉆頭轉(zhuǎn)速真實測量值與估算值進行實時對比，在模擬黏滑振動過程中啟動控制器，獲得的頂驅(qū)、鉆頭轉(zhuǎn)速及重構(gòu)器估算曲線見圖10。

圖10 試驗臺控制效果圖Fig.10 Diagrams of experimental device control effect

黏滑振動模擬試驗臺啟動后在7 s 時出現(xiàn)黏滑現(xiàn)象。從圖10可以看出：未開啟黏滑控制之前，系統(tǒng)出現(xiàn)明顯的黏滑振動現(xiàn)象，頂部轉(zhuǎn)速出現(xiàn)波動，底部轉(zhuǎn)速振動程度相對較大；在40 s時開啟黏滑控制算法，頂驅(qū)和鉆頭轉(zhuǎn)速波動逐漸減小，轉(zhuǎn)速趨于一致，保持在設(shè)定轉(zhuǎn)速附近小幅度波動，黏滑振動控制性能如表2所示。

表2 黏滑振動控制性能Table 2 Control performance of stick-slip vibration

實驗結(jié)果表明：黏滑抑制控制前后狀態(tài)重構(gòu)器對試驗臺頂驅(qū)轉(zhuǎn)速估算相對誤差均值分別為0.29%和0.01%，對鉆頭轉(zhuǎn)速相對誤差估算均值分別為7.0%和3.07%，當(dāng)鉆柱系統(tǒng)產(chǎn)生黏滑振動時，控制算法能夠有效控制電機的轉(zhuǎn)速。試驗臺模擬鉆進時，由于模擬鉆桿和臺架支撐套之間不可避免地存在摩擦，測量儀表及加載裝置也存在測量誤差，故施加黏滑抑制控制后鉆頭鉆速存在小幅波動，但在較大程度上抑制了井下黏滑振動，實驗結(jié)果驗證了控制算法的有效性。

5 結(jié)論

1)基于非線性摩擦理論，建立了三集中質(zhì)量鉆柱系統(tǒng)運動方程，采用最優(yōu)阻尼參數(shù)，提出了基于龍伯格狀態(tài)重構(gòu)器的頂驅(qū)黏滑抑制控制算法。

2)設(shè)計了基于狀態(tài)重構(gòu)器的PID 控制算法，通過狀態(tài)重構(gòu)器對頂驅(qū)鉆速和井下鉆頭轉(zhuǎn)速進行估算，實現(xiàn)了閉環(huán)控制，解決了井下參數(shù)無法獲取的難題。

3)設(shè)計的基于狀態(tài)重構(gòu)器的反饋控制算法可在10 s內(nèi)完成黏滑振動的控制。

4)狀態(tài)重構(gòu)器對試驗臺鉆頭轉(zhuǎn)速估算準(zhǔn)確，控制算法對井下鉆頭黏滑振動有較好的抑制作用。