楊文杰,張 帆,鄭前前

(許昌學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,河南 許昌 461000)

1963年氣象學(xué)家Lorenz對氣象模型進(jìn)行數(shù)值模擬時發(fā)現(xiàn)了一種奇怪的吸引子-Lorenz吸引子[1].它的出現(xiàn)引發(fā)了人們對混沌現(xiàn)象的研究并提出了一系列的混沌系統(tǒng)[2].

時滯通常是指系統(tǒng)狀態(tài)的預(yù)期發(fā)展不僅取決于現(xiàn)在和將來的時間狀態(tài),也關(guān)系到過去的時間狀態(tài).它影響著人們生活的方方面面,無論是生物體受到外部刺激的反應(yīng)過程,還是生物醫(yī)學(xué)、航空航天、工程設(shè)計、機(jī)械制造以及電子通信等領(lǐng)域中的反應(yīng)過程,物理化學(xué)等領(lǐng)域的科學(xué)研究和建設(shè)過程都不可避免受到時滯的影響[3].而且，不同系統(tǒng)中的時滯對系統(tǒng)的影響不同,這意味著在研究分析和探索這些實際系統(tǒng)時,時滯是一個不可忽視的重要研究對象.譬如，研究發(fā)現(xiàn)在一些非線性系統(tǒng)中，時滯可以引起系統(tǒng)的解產(chǎn)生振蕩不穩(wěn)定性[4]，說明了時滯可以使得Vander Pol-Duffing Oscillator中產(chǎn)生周期運動等現(xiàn)象[5].而這些現(xiàn)象或運動直接影響著諸如生育節(jié)律性、相位反轉(zhuǎn)、徑向俘獲、相位跳躍和振幅空間中的螺旋模式等.因此,研究時滯對系統(tǒng)的影響具有很好的實用價值.

1 模型

Calderon-Saavedra等人給出了一個新的Lorenz型系統(tǒng)[2],主要研究了該系統(tǒng)中的分岔從超臨界轉(zhuǎn)變成亞臨界的條件,最后證明了受干擾系統(tǒng)經(jīng)受亞臨界Hopf分岔的控制律.然而，該系統(tǒng)在時滯影響下的現(xiàn)象值得研究，為此，考慮在該系統(tǒng)中加入時滯變量τ構(gòu)成新的Lorenz型系統(tǒng)，具體形式為

(1)

其中x,y,z為狀態(tài)變量,a,d,b,f,g為系統(tǒng)參數(shù),τ(>0)為時滯量,a>0，f≥0，g≥0,且f+g>0，b,d∈R.下面考慮在具有時滯的情況下,該系統(tǒng)Hopf分支產(chǎn)生的條件、方向以及周期解的穩(wěn)定性,這些結(jié)果在物理、化學(xué)或生物系統(tǒng)中有著很廣泛的應(yīng)用.

2 系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性分析

令u1(t)=x(t)-x*,u2(t)=y(t)-y*,u3(t)=z(t)-z*,從而可將平衡點平移到原點處,并得到其在原點處的線性化系統(tǒng)為

(2)

且可得系統(tǒng)(2)的特征方程為

-λ3+q1λ2+q2e-λτλ2+q3λ+q4e-λτλ+q5e-λτ=0，

(3)

其中q1=d-b，q2=-a，q3=bd-gx*2，q4=ad-ab-az*，q5=abd-2afx*2-agx*y*-agx*2-abz*.

當(dāng)τ=0時,由Routh-Hurwitz判據(jù)可知,若q5<0,q1+q2<0,(q1+q2)(q3+q4)>-q5則有

①當(dāng)E=E1時,系統(tǒng)的平衡點是漸進(jìn)穩(wěn)定的;

②當(dāng)E=E2或E=E3時,方程(3)至少有一個正實根,因此E2和E3均是不穩(wěn)定平衡點.

因而，下面只討論平衡點E=E1的情況.

令iω(ω>0)是方程(3)的特征根,代入(3)得

-(iω)3+a1(iω)2+a3(iω)2e-iωτ+a3(iω)+a4(iω)e-iωτ+a5e-iωτ=0,

令v=ω2,可得

G(v)=v3+e1v2+e2v+e3,

(4)

G′(v)=3v2+2e1v+e2.

從而，得到如下的結(jié)論.

引理1 對于方程(4)，有

①若e3<0,則(4)至少有一個正根；

②若e3≥0,則(4)至少有一個正根當(dāng)且僅當(dāng)z*>0,使得G′(v*)=0且G(z*)≥0.

若系統(tǒng)(1)的系數(shù)均給定,運用MATLAB軟件,可以很容易算出(4)的所有根.

由以上的結(jié)論與假設(shè),結(jié)合Ruan與Wei在文[6]中的結(jié)論可以得到.

①當(dāng)τ∈[0,τ0)時,系統(tǒng)(1)的平衡點是漸近穩(wěn)定的,

②當(dāng)τ>τ0時,系統(tǒng)(1)的平衡點是不穩(wěn)定的,

③當(dāng)τ=τ0時,系統(tǒng)(1)出現(xiàn)Hopf分支.

證明對于特征方程(3),當(dāng)τ=0時,若q5<0，q1+q2<0，(q1+q2)(q3+q4)>-q5，則當(dāng)E=E1時,系統(tǒng)的平衡點是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

3 分支周期解的穩(wěn)定性和分支方向

為進(jìn)一步計算并討論Hopf分支的方向和分支周期解的穩(wěn)定性.設(shè)t=τt,且μ=τ-τk,則μ=0為系統(tǒng)(1)的Hopf分支值.考慮其等價系統(tǒng)

其中x=(u1,u2,u3)T∈R3,L(μ)是C([-1,0],R3)到R3上的連續(xù)映射.由Riesz表示定理及Hassard方法[7],可得

它們決定著中心流形上分支周期解在臨界值τk處的性質(zhì).即μk確定分支周期解的方向，若μ2>0(<0),則Hopf分支為上臨界(下臨界)分支且分支周期解出現(xiàn)在τ>τ0(<τ0)；β2確定分支周期解的穩(wěn)定性，若β2<0(>0)，則分支周期解是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的)；T2確定分支周期解的周期，若T2>0(<0)，則其分支周期解的周期是增加的(減少的).

4 數(shù)值模型分析及結(jié)論

為了驗證前面的理論結(jié)果,考慮如下的時滯系統(tǒng)

(5)

圖1 系統(tǒng)(5)在τ=0.158 5時的軌跡及相圖

圖2 系統(tǒng)(5)在τ=0.337 4時的軌跡及相圖

圖3 系統(tǒng)(5)在τ=0.737 4時的軌跡與相圖

通過研究一類具有時滯的Lorenz型系統(tǒng).首先，分析了系統(tǒng)平衡點的局部穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性,得到了當(dāng)以τ為分支參數(shù)時系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定、Hopf分支發(fā)生的條件.進(jìn)一步得到了關(guān)于Hopf分岔的一些顯式公式.其次，發(fā)現(xiàn)了μ2決定Hopf分支的方向,β2決定分支周期解的穩(wěn)定性,T2確定分支周期解的周期.最后,通過數(shù)值模擬驗證了理論分析的正確性.