楊寶軍

（太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系，太原 030023）

中學(xué)時我們已初步了解并學(xué)習(xí)了解簡單的線性方程組，知線性方程組的重要性，但不是每一個線性方程組都有解，所以首先要做的就是判斷線性方程組有無解。通過對矩陣的學(xué)習(xí)，知道矩陣的秩可以判斷線性方程組有無解，在有解的情況下可以利用矩陣求解線性方程組。

在文獻(xiàn)[1]中總結(jié)了矩陣、線性方程組的相關(guān)概念；林清[2]給出了線性方程組的一般解法的主要內(nèi)容，以線性方程組系數(shù)和常數(shù)項所構(gòu)成的行列式矩陣作為基礎(chǔ)，來研究線性方程組的求解問題，從而實現(xiàn)一個復(fù)雜的純代數(shù)的問題和幾何學(xué)科相聯(lián)系，幫助我們更好地分析線性方程組求解問題；鄭慶云等[3]，王玉蘭[4]，吳英柱[5]給出了矩陣的初等變換、矩陣的逆的相關(guān)概念以及矩陣的逆的一些相關(guān)問題；王卿文[6]給出了線性方程組解的判斷條件；辛奎東[7]、于永新[8]、付美鑫[9]給出了一些關(guān)于矩陣分析和解線性方程組問題分析中的簡單的概念和應(yīng)用。駱旗等[10]通過研究發(fā)現(xiàn)，未知量的系數(shù)對方程組的解有著決定性的作用，因而解方程組的問題就成了求未知量系數(shù)的問題。本文主要研究矩陣和線性方程組的一些基本概念和其應(yīng)用，通過矩陣來解線性方程組，并結(jié)合具體實際問題說明矩陣在解線性方程組中的應(yīng)用，為今后的學(xué)習(xí)與研究提供有利工具。

1 線性方程組的有關(guān)概念

1.1 線性方程組的定義

定義 1一般線性方程組的定義是形如

的方程組，這里的x1，x2，…，xn代表n個未知量，s則表示為線性方程的未知個數(shù)。如果知道一個線性方程組的全部系數(shù)以及它的常數(shù)項，那么這個線性方程組就可以確定了，線性方程組就可以用下面的矩陣

進(jìn)行表示。令

可知性方程組的系數(shù)矩陣|A|，未知數(shù)矩陣為X，常數(shù)項矩陣為b，則可得到AX= b。若常數(shù)項矩陣為零矩陣即AX= 0，那么稱之為齊次線性方程組。反之，若常數(shù)項矩陣b為非零矩陣，則稱為非齊次線性方程組。

1.2 求解線性方程組的一般方法

1.2.1 消元法

所謂消元法，就是在方程中利用矩陣的初等變換，一步一步地消去未知量的個數(shù)，最終得到一個具有階梯性的方程組，如果把最終初等變換得到的關(guān)于“0 = 0”的恒等式(如果出現(xiàn)的話)全部去掉，觀察其余的階梯形方程看是否有零等于一個非零的常數(shù)的，如果有，這個常數(shù)的方程組無解，如果沒有，則有解。假設(shè)在方程組有解的情況下，令r為階梯形方程中未知量的個數(shù)，由上述定義1知，s則表示為線性方程的未知個數(shù)，當(dāng)r=s時，方程組有唯一確定的解；當(dāng)r＜s時，方程組可以有無窮多個解。消元法也是在中學(xué)時解線性方程組時常用的一種方法，但當(dāng)未知量有n個的時候，一個一個的消元工作量也會很大。

1.2.2 克拉默法則

克拉默法是一種通過使用矩陣，實現(xiàn)對線性方程求解的一般方法，但要注意的是，使用克拉默法則求解線性方程組是有條件的：一是方程組必須是線性的，二是待求解的線性方程組中的方程的個數(shù)和未知量的個數(shù)相等，三是滿足未知系數(shù)的矩陣行列式D不等于0，即|D|≠0，使用克拉默法則必須滿足以上三種情況。

定義 2克拉默法則的一般性描述：如果線性方程組

的系數(shù)矩陣

的行列式，即它的系數(shù)行列式為d=|A|≠0，那么這個線性方程組有解，有且只有唯一的解，其系數(shù)的表達(dá)如下：，則可以得到線性方程組的解。但克拉默法則并不適用于所有的滿足條件的線性方程組，因為它的計算量太大，一般也不會使用克拉默法則的方法求解線性方程組。

2 矩陣的有關(guān)概念

2.1 矩陣的概念

定義3m×n 由個數(shù)aij（i=1，2，…，m，j=1，2，…，n)構(gòu)成m行n 列并括以圓括弧或方括弧的數(shù)表，即

稱為m×n矩陣。例如

2.2 矩陣的初等變換

矩陣的初等變換不僅在矩陣的學(xué)習(xí)中是一個重要內(nèi)容，在線性方程組中也有廣泛的應(yīng)用。

定義 4下面三種變換成為矩陣的初等變換

（1）交換矩陣的兩行（列）；

（2）用一個非零數(shù)k乘矩陣的某行（列）；

（3）矩陣的某行（列）的k倍加到另一行（列）。

2.3 矩陣的秩

討論矩陣和線性方程組的關(guān)系時，矩陣的秩是較為重要的概念。

定義 5矩陣A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數(shù)稱為矩陣的A秩，記作rankA或rA。矩陣A=(aij)m×nA=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數(shù)稱為矩陣A的秩，記作rankA或rA。若A中有一個或多個r階子式≠0，并且r＜min (m,n)時，A中所有的r+1階子式都為0，那么矩陣A的秩為r。矩陣的秩是判斷線性方程組是否有解的重要條件。因此，如何求解矩陣的秩是至關(guān)重要的。目前，矩陣的秩的求解有如下兩種方法。

①矩陣的初等變換可以求解矩陣的秩；

②若矩陣為k行，則先計算k階子式，若k階子式不為零，則秩為k；如果k階子式為零，則計算k - 1階子式 ；若k - 1階子式中有一個不零，則秩為k - 1；若所有的k - 1階子式都為零；則計算k - 2階子式。以此類推，直到計算到k -m階子式中不全為零，則秩為k - m為止。

但第二種方法適應(yīng)于k較小時，當(dāng)k較大時，計算量大，也容易出錯，此時可以利用矩陣的初等變換求矩陣的秩。

有關(guān)矩陣的秩的求解，下面，我們提供了一些例題：

例 1：求下列矩陣的秩

解由題意，利用初等行變換可得

所以矩陣A的秩為3。

例 2求下列矩陣的秩

解矩陣B經(jīng)過初等變換，可得到矩陣

則矩陣B的秩為3。

解矩陣A有3行，則計算=0，則計算2階子式。因為

所以r(A)=2。

用初等變換法求矩陣的秩在解題過程中的步驟主要為：

①通過初等行（列）變換將矩陣化為階梯形；

②由定理可知非零行的個數(shù)即為該矩陣的秩數(shù)，因此可以求出秩。

2.4 基于矩陣的線性方程組解的判斷條件

定理 1線性方程組

有解的充分必要條件為：線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即r(A)=r()，其中

若是n×n階的線性方程組，在判定線性方程組有解的條件下，還能通過矩陣的秩來進(jìn)一步判定線性方程組解的個數(shù)：

當(dāng)r＜n時，線性方程組有無窮解；

當(dāng)r=n時，線性方程組有唯一的解。

在一個齊次線性方程組中有非零行方程組解的充要條件，它的系數(shù)增廣矩陣的行列式等于零。

例 4判斷下面的方程組有無解

解由題意可以知道，上式方程組的系數(shù)矩陣為

它的增廣矩陣可以寫為

由初等變換，可以將增廣矩陣化為矩陣

可知r(A)=2,r()= 3，因為2≠3，所以方程組無解。

學(xué)會了利用矩陣的秩來判斷方程組是否有解，那在方程組有解的情況下，就應(yīng)該利用矩陣求解線性方程組。

3 矩陣在解線性方程組中的應(yīng)用以及解題思路

矩陣的初等變換是解線性方程組的基本的方法，主要是將矩陣化為階梯形的矩陣，主要的步驟有以下幾步：

第一步，寫出線性方程組的一個增廣矩陣；

第二步，通過將增廣矩陣化為階梯形以此來判斷線性方程組到底是否有解，當(dāng)解存在時可以對矩陣進(jìn)行以下步驟：

第三步，把矩陣通過初等變換化為最簡形式；

第四步，求出線性方程組的一個特解；

第五步，求線性方程組的一個通解。

例 5解下列方程組

解由題意，利用初等行變換可得

可得線性方程組

所以原方程的解為（1，1，1）

例 6解下列齊次線性方程組

分析這是一個齊次線性方程組，但它的未知量的個數(shù)比較多，用消元法計算量還是很大的，這時我們就應(yīng)該選擇一種簡單的方法去求解，可以利用矩陣的初等變換求線性方程組的解，這時只要把方程的系數(shù)矩陣描述出來，不寫未知量即可，可以節(jié)省大量的計算和時間。

解方程的系數(shù)矩陣為

將系數(shù)矩陣初等化為階梯形矩陣，可得

所以方程的一般解為

其中x4為未知量。當(dāng)取x4= 9時，方程組的解為

所以原方程通解為

例 7線性方程組求解

分析首先對方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣進(jìn)行計算，同時簡化這兩個矩陣，然后對比兩個矩陣的秩是否相等從而判斷解的存在情況。

解對增廣矩陣進(jìn)行如下變換

首先對方程組是否有解進(jìn)行判斷，根據(jù)增廣矩陣與系數(shù)矩陣A的關(guān)系可知，r(A)=2，r()= 3，可以看出2≠3，所以可以知道這個線性方程組沒有解。

例 8討論a,b為何值時，方程組

有唯一解；無解；無窮多解。當(dāng)有無窮多解時，求出通解。

分析此線性方程組為非齊次線性方程組，這題中通過判斷線性方程組是否有解來求出未知數(shù)，判斷線性方程組是否有解，就是要判斷系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相同，若有解，則可求出線性方程組的解。

解對線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行過下列變換

當(dāng)a≠1時，方程組有唯一的解；

當(dāng)a= 1且b≠-1時，方程組無解；

當(dāng)a= 1且b=-1時，方程組有無窮多解。

此時方程組為

可得特解

導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為

于是通解為

β=α+k1η1+k2η2。

總結(jié)在解線性方程組的問題中，要準(zhǔn)確地判斷方程組是否有解，以方程組解存在為基礎(chǔ)，若齊次線性方程組中隨意一個基礎(chǔ)解系為ξ1，ξ2，…，ξn-r，稱它為方程組的一個基礎(chǔ)解系，齊次線性方程組的任何一解都能表成ξ1，ξ2，…，ξn-r的線性組合。而在非齊次線性方程組中，應(yīng)先求出Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0則的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r，設(shè)η為非齊次線性方程組Ax=b的特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r為對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=b的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r+η。在方程組有解的情況下，解的唯一充分必要條件是它的導(dǎo)出組只有零解。

4 結(jié)論

矩陣在求解解線性方程組中已經(jīng)有了廣泛的研究和應(yīng)用，主要是通過矩陣的初等變換求線性方程組的解，而且矩陣的初等變換還可以更準(zhǔn)確地判斷線性方程組解是否存在的實際情況。另外，通過矩陣的初等變換可以求出矩陣的秩，以此來快速判斷線性方程組的解也是非常重要的一種解題方法。總而言之，矩陣在解線性方程組中有重要的作用，理清這類復(fù)雜問題的基本解題方法和思路，能夠在實踐中更好地運(yùn)用矩陣來快速求解線性方程組。