武漢市光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉姜濤 康柳燕

1 引言

中點(diǎn)問(wèn)題在中學(xué)階段的地位舉足輕重，與中點(diǎn)密切相關(guān)的線段[1]主要有兩種：中位線和中線.這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)貫穿整個(gè)初中幾何，題目難度往往較大，學(xué)生解題沒(méi)有方向.為此，筆者總結(jié)了7類有關(guān)中點(diǎn)的基本圖形及做題方法，以供參考.

2 有關(guān)中點(diǎn)的基本圖形的分類及解法

7類有關(guān)中點(diǎn)的基本圖形及做題方法總結(jié)如表1：

表1

中位線一般出現(xiàn)在三角形和四邊形的圖形中，中線則在三角形的題型中經(jīng)常使用，所以無(wú)論是分析圖形還是構(gòu)造輔助線，這兩種線段都是我們的重要解題工具.下面展示這兩者在具體圖形中的妙用.

2.1 角分線+垂直→中位線

圖中出現(xiàn)角平分線和一個(gè)直角，可以考慮構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到中點(diǎn)，再連接其它中點(diǎn)得中位線.

圖1

略證：延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)D.

AB=AD，BE=DE(三線合一)，

2.2 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的中位線

在變化中尋找不變是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的基本思路，要確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡關(guān)鍵是找到不變的重要點(diǎn)、起點(diǎn)、終點(diǎn)，其中中點(diǎn)是常用解題工具[2].

基本圖形2：如圖2，已知P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，以AP，BP為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACP和等邊三角形PDB，G為CD中點(diǎn).求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng).

圖2

略解：延長(zhǎng)AC，BD交于點(diǎn)H.

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A時(shí)，CD=AH；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B時(shí)，CD=BH.

∵四邊形CHDP是平行四邊形，

∴CD與PH互相平分.

∴點(diǎn)G為PH中點(diǎn).

2.3 三角形中的1個(gè)中點(diǎn)

三角形中出現(xiàn)中點(diǎn)，作中位線是常用的輔助線作法之一.

基本圖形3：已知點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，DE平分△ABC的周長(zhǎng)，求線段DE的長(zhǎng)度.

方法1提示：如圖3，取三角形另一邊的中點(diǎn)，連接兩個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造中位線.

圖3

略解：在BC上取中點(diǎn)H,連DH.

根據(jù)△EHD中的線段關(guān)系求DE.

方法2提示：如圖4，將已有線段視作中位線，構(gòu)造新的三角形.

圖4

略解：倍長(zhǎng)BE至點(diǎn)H,連AH.

求出AH的長(zhǎng)度(三角形線段關(guān)系).

2.4四邊形中的2個(gè)中點(diǎn)

除了三角形，在四邊形中也經(jīng)常需要用到中位線這種輔助線，解題時(shí)需要利用中位線進(jìn)行線段關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

基本圖形4：如圖5，已知E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，尋求EF與AC，BD的關(guān)系.

圖5

提示：取另一邊的中點(diǎn)，分別連接得到兩條中位線.

略解：在BC上取中點(diǎn)H，連接HE,HF.

基本圖形5：如圖6，已知E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，尋求EF與AD，BC的關(guān)系.

圖6

提示：在對(duì)角線上取中點(diǎn).

略解：連AC，取AC的中點(diǎn)H，連EH，F(xiàn)H.

2.5四邊形中的4個(gè)中點(diǎn)

若四邊形中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)，將中點(diǎn)連接形成的線段集中在一個(gè)三角形中考慮.

基本圖形6：如圖7，已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為平行四邊形.

圖7

略證：連AC(或BD) .

由HG(中位線) ，

得HG∥EF，HG=EF.

因此，四邊形EFGH為平行四邊形.

2.6共斜邊的直角三角形

中點(diǎn)出現(xiàn)在直角三角形的斜邊上時(shí)，要注意運(yùn)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質(zhì).

基本圖形7：如圖8，已知AC⊥AB，DC⊥BD，H為BC的中點(diǎn)，求證：∠AHD=2∠ABD.

圖8

提示：公共斜邊取中點(diǎn).

略證：AH=BH=CH=DH.

∠ABD=y-x，

∠AHD=∠AHC-∠DHC=2y-2x

=2(y-x)=2∠ABD.

基本圖形8：如圖9，已知AC⊥AB，DC⊥BD，H為BC的中點(diǎn)，求證：∠AHD=2∠ABD.

圖9

提示：公共斜邊取中點(diǎn).

略證：AH=BH=CH=DH.

∠ABD=x+y，

∠AHD=∠AHC+∠DHC=2x+2y

=2(x+y)=2∠ABD.

2.7 “T”字形

若復(fù)雜圖形中有一條線段AB及過(guò)AB中點(diǎn)C的另一條線段DC，且滿足AC=BC=DC，對(duì)于這樣的“T”字形，常考慮利用中位線，反過(guò)來(lái)構(gòu)造三角形.

基本圖形9：如圖10，C為AB的中點(diǎn)，連接端點(diǎn)A，D并倍長(zhǎng)，構(gòu)造出以CD為中位線的三角形；

圖10

或者如圖11，連接端點(diǎn)B，D并倍長(zhǎng)，構(gòu)造出以CD為中位線的三角形；

圖11

或者如圖12，以AB為直角三角形的斜邊構(gòu)造出直角三角形ADB.

圖12

3 應(yīng)用舉例

圖13

略證：如圖14，連DN并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)H，連BH.

圖14

在△EDN和△CHN中，

∴△EDN≌△CHN(ASA).

∴ED=EA=CH.

易證△CAE≌△BCH(SAS),

∴CE=BH=2MN.

對(duì)于例題，還可以用下面三種方法添加輔助線，如圖15～17，證明思路與上面類似從略.

圖15

圖16

圖17

4 結(jié)束語(yǔ)

本文中給出了7類有關(guān)中點(diǎn)基本圖形的分類及輔助線的加法及應(yīng)用.中點(diǎn)問(wèn)題看似復(fù)雜多變，實(shí)則掌握了基本圖形及其對(duì)應(yīng)解法，便可逐一攻克，讓中點(diǎn)問(wèn)題不再困難.