西華師范大學(xué) 林 芹 陳豫眉

1 引言

整體思想作為數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)重要思想，旨在從已有問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，認(rèn)真觀察問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤治雠c改造，把握住問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用“集成”的眼光，將其中的某部分看成一個(gè)整體，挖掘式子或圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，再對(duì)它們進(jìn)行有目的、有意識(shí)地整體處理[1]，使原有式子或圖形的結(jié)構(gòu)更加清晰明了，容易解決.而這種以整體的眼光看待問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法，貫穿于初中數(shù)學(xué)解題的多個(gè)方面.因此，筆者將結(jié)合實(shí)例圍繞解題過(guò)程中蘊(yùn)含的整體思想，挖掘其內(nèi)含的解題策略，以期幫助學(xué)生了解更多的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生的整體意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的敏捷性、概括性與靈活性.

2 整體思想在方程與不等式中的應(yīng)用

2.1 在解方程(組)中的應(yīng)用

接著，運(yùn)用整體思想將含有多個(gè)未知數(shù)的x+3y和x+y+z分別看成一個(gè)整體，再利用常規(guī)解法求得x+y+z的值.

從上述解方程(組)問(wèn)題中不難發(fā)現(xiàn)，整體的實(shí)質(zhì)就是一個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程，旨在將陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使問(wèn)題更加容易解決.而在解決方程或方程組的問(wèn)題的過(guò)程中，利用整體思想將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，將高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程.不僅能夠減少計(jì)算量，提升解題效率，還能夠培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維和整體意識(shí).

2.2 在不等式(組)中的應(yīng)用

例2已知1≤x-y≤2，2≤x+y≤4，求4x-2y的取值范圍.

從上述不等式(組)問(wèn)題中可以發(fā)現(xiàn)，不等式的學(xué)習(xí)是指從學(xué)生已有的等式、方程(組)中的“相等”關(guān)系到“不等”關(guān)系的過(guò)渡，是等式的延伸.因此，在求解不等式和不等式組時(shí)，我們也要大膽嘗試解方程(組)時(shí)所采用的整體思想，著眼全局，把握已知與所求問(wèn)題間的關(guān)聯(lián)，找到快速解決問(wèn)題的突破口.

3 整體思想在數(shù)與式中的應(yīng)用

例3已知x2-3x-6=0，求2x2-6x+1的值.

分析:本題若用常規(guī)思路解決問(wèn)題，我們需要先根據(jù)x2-3x-6=0求出具體x的值，再將x的值代入到方程2x2-6x+1中求解.但是，經(jīng)觀察求值式子可以發(fā)現(xiàn)x2-3x-6=0無(wú)法輕易因式分解，那么求未知數(shù)x的值就有一定的計(jì)算難度，需要借助一元二次方程的求根公式.很顯然解題的過(guò)程變得較為繁瑣，伴隨著求根公式的引入，計(jì)算的難度有所增加，錯(cuò)誤率也易增加.然而如果從式子的整體入手，認(rèn)真觀察式子的整體結(jié)構(gòu)特征，就能夠發(fā)現(xiàn)x2-3x恰好是2x2-6x的一半，即2x2-6x+1=2(x2-3x)+1，那么，可由x2-3x-6=0 變形得x2-3x=6，再將其整體代入到式子2(x2-3x)+1中，問(wèn)題就迎刃而解了.

從上述代數(shù)式求值問(wèn)題中，不難發(fā)現(xiàn)某些代數(shù)求值問(wèn)題若拘泥于常規(guī)解法，則很難得到突破，易形成舉步維艱的局勢(shì)[2].但整體思想的運(yùn)用，使我們快速且準(zhǔn)確地找尋到問(wèn)題突破的關(guān)鍵，讓問(wèn)題的解決變得更加簡(jiǎn)單明了.

4 整體思想在幾何與圖形中的應(yīng)用

例4如圖1所示，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠HAB，∠GEA，∠EDF分別是∠BAE，∠AED，∠EDC的鄰補(bǔ)角，求∠HAB+∠GEA+∠EDF的值.

圖1

分析：本題若從常規(guī)思路解決問(wèn)題，需要分別求∠HAB，∠GEA，∠EDF的值，再進(jìn)行求和計(jì)算.觀察題干，我們可以發(fā)現(xiàn)單從現(xiàn)有條件無(wú)法分別求出三個(gè)角的具體度數(shù).但是，倘若我們運(yùn)用整體的思想，將∠HAB+∠GEA+∠EDF看成一個(gè)整體，問(wèn)題便迎刃而解.首先，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，求得五邊形的內(nèi)角和為540°.又因AB∥CD，可知∠B+∠C=180°.而∠HAB+∠GEA+∠EDF+∠BAE+∠AED+∠EDC=180°×3=540°，其中∠BAE+∠AED+∠EDC=540°-180°=360°，我們將∠HAB+∠GEA+∠EDF看成一個(gè)整體，因此可得∠HAB+∠GEA+∠EDF=540°-(∠BAE+∠AED+∠EDC)=180°.

由此可知，在求解某些幾何與圖形的問(wèn)題時(shí)，不應(yīng)執(zhí)拗于計(jì)算出其中某部分具體的值，而應(yīng)當(dāng)用“集成”的眼光去看待這些圖形，嘗試著將部分圖形看成一個(gè)整體，建立起局部與整體的聯(lián)系.另辟蹊徑將原本不規(guī)則的圖形變成規(guī)則圖形，為原本看似無(wú)關(guān)的部分建立起整體聯(lián)系，力求更加快速、簡(jiǎn)單地解決問(wèn)題.

5 整體思想在函數(shù)與圖象中的應(yīng)用

例5已知y+m與x-n成正比例(其中m，n是常數(shù))，求證:y是x的一次函數(shù).

分析:本題需先將y+m和x-n當(dāng)作一個(gè)整體，設(shè)y+m=k(x-n)，其中k為不等于零的常數(shù).整理，得y=kx-(kn+m).由于k≠0，并且k，-(kn+m)都為常數(shù)，故證得y是x的一次函數(shù).

6 總結(jié)

總而言之，解題的目的在于鍛煉思維與提升能力.而整體思想作為數(shù)學(xué)解題思想中的重要組成部分，在數(shù)與式子、方程與不等式、圖形與幾何、函數(shù)與圖象等問(wèn)題的解決中，都發(fā)揮著重要的作用.整體思想的理解與掌握，不僅能夠幫助學(xué)生簡(jiǎn)便快捷地解決問(wèn)題，還能夠在整體解決問(wèn)題的過(guò)程中提升創(chuàng)造性思維.因此，教師在教學(xué)中不僅要教會(huì)學(xué)生如何解決這類問(wèn)題，更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生樂(lè)于總結(jié)，勤于反思，在解決問(wèn)題的過(guò)程中能夠挖掘問(wèn)題中蘊(yùn)含的理論精華，感受其內(nèi)含的數(shù)學(xué)思想.以期學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)過(guò)程中，能夠自主地運(yùn)用數(shù)學(xué)的整體思想走出困境，達(dá)到事半功倍的效果.