孔令奇 李翠娟

(1.成都工業(yè)學(xué)院材料與環(huán)境工程學(xué)院， 成都 610031； 2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院， 成都 610031)

巖土參數(shù)的概率分布模型是研究邊坡可靠度的前提[1]。近年來，研究人員一直致力于巖土參數(shù)概率分布的推斷方法研究。對(duì)于巖土參數(shù)這樣的工程隨機(jī)變量，其樣本概率分布總體的估計(jì)無外乎分為參數(shù)估計(jì)法和非參數(shù)估計(jì)法[2]?；趨?shù)估計(jì)法推斷巖土參數(shù)概率密度函數(shù)的研究已經(jīng)取得了一些重要結(jié)論——巖土參數(shù)不嚴(yán)格服從正態(tài)分布[3-5]。利用正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布表示巖土參數(shù)概率分布存在經(jīng)典分布的定義區(qū)間和巖土參數(shù)實(shí)際分布區(qū)間不匹配的問題[6-8]。采用正態(tài)、對(duì)數(shù)正態(tài)等無界分布會(huì)使結(jié)果失去實(shí)際工程意義[4]。beta 分布可有效地反映巖土參數(shù)的分布特點(diǎn),是經(jīng)典分布有限范圍內(nèi)的最優(yōu)分布[4-5]。研究人員發(fā)現(xiàn)某些情況下參數(shù)法擬合巖土參數(shù)概率分布時(shí)存在較大誤差[9]，故而提出非參數(shù)擬合方法。文獻(xiàn)[10]系統(tǒng)考察了非參數(shù)擬合的方法如：最大熵法[1,11-12]、正態(tài)信息擴(kuò)散法(NIS)[13]和正交多項(xiàng)式法[15]在推斷巖土參數(shù)概率分布時(shí)的優(yōu)劣，最終給出正態(tài)信息擴(kuò)散法為相對(duì)最優(yōu)推斷方法的結(jié)論。文獻(xiàn)[14]進(jìn)一步證明正態(tài)信息擴(kuò)散法在大樣本巖土參數(shù)概率分布推斷中的有效性，但該方法在應(yīng)用的過程中存在窗寬選擇的難題[16]。

迄今，研究人員提出了眾多的巖土參數(shù)概率分布推斷方法，對(duì)于工程人員來說，面對(duì)一組新測(cè)試樣本時(shí)仍存在著選擇哪種理論分布推斷樣本概率分布的難題。

為此，對(duì)于大量的巖土參數(shù)測(cè)試樣本，將借助數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)中的模糊C-均值聚類方法，探尋巖土參數(shù)概率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律；對(duì)于一組新測(cè)試的巖土參數(shù)樣本，基于其數(shù)字特征值和判別分析方法，將其分類，獲得概率分布模型；解析巖土參數(shù)分布特征對(duì)正態(tài)信息擴(kuò)散法最優(yōu)窗寬的影響，提出正態(tài)信息擴(kuò)散法最優(yōu)窗寬的確定方法。為巖土參數(shù)概率分布推斷提供簡(jiǎn)單、有效的方法。

1 巖土參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征值

對(duì)任意的隨機(jī)變量，除了可用其概率密度函數(shù)來表示外，還可以用各階矩來刻畫該隨機(jī)變量[17]。如果能確定巖土參數(shù)的概率密度函數(shù)和相應(yīng)的數(shù)字特征，就可全面地描述巖土參數(shù)的概率特征[2,17]。大量的研究工作主要關(guān)注巖土參數(shù)概率密度函數(shù)的獲得，忽視了其主要數(shù)值特征分布規(guī)律的研究。工程中可以用巖土參數(shù)的某些關(guān)鍵量或主要數(shù)值特征量去近似地描述它的概率特征，這些特征值需能表征巖土參數(shù)測(cè)試樣本的波動(dòng)性、離散型和分布的不對(duì)稱性[2,17]。為此，定義了有效系數(shù)，為2階原點(diǎn)矩與平均值之比，用來表征巖土參數(shù)測(cè)試樣本的波動(dòng)程度；變異系數(shù)表征巖土參數(shù)樣本的離散性，為樣本的方差與均值之比，一般當(dāng)變異系數(shù)cv>0.2時(shí)，說明巖土參數(shù)樣本的離散性很嚴(yán)重[2]；偏度系數(shù)表征巖土參數(shù)分布的不對(duì)稱性。當(dāng)樣本數(shù)量較大時(shí)，可以采用更高階矩來描述其數(shù)字特征，由于巖土參數(shù)測(cè)試樣本數(shù)量通常較小，屬于小樣本，高階矩將失去意義[2]。

為了從統(tǒng)計(jì)中尋找規(guī)律，收集了19組巖土參數(shù)測(cè)試樣本，來說明統(tǒng)計(jì)的思路和得出的關(guān)鍵結(jié)論。19組巖土參數(shù)測(cè)試樣本數(shù)據(jù)如表1所示。

工程中，當(dāng)各個(gè)隨機(jī)變量的量綱和數(shù)量級(jí)不一致時(shí)，為了探尋海量數(shù)據(jù)內(nèi)在的規(guī)律性，需對(duì)樣本進(jìn)行變換處理，以消除各樣本量綱和數(shù)量級(jí)的限制。首先對(duì)巖土參數(shù)測(cè)試樣本進(jìn)行了極差歸一化變換處理[21]，即：

(1)

表1內(nèi)收集得到的巖土參數(shù)測(cè)試樣本采樣于不同的地質(zhì)單元，且采用的測(cè)試設(shè)備及測(cè)量控制方法等也不盡相同[22]。對(duì)表1內(nèi)的樣本不難獲得其統(tǒng)計(jì)特征值(如表3所示)，但很難從統(tǒng)計(jì)特征值中直觀地判斷采用何種理論分布推斷其概率密度函數(shù)。

表1 巖土參數(shù)測(cè)試樣本

2 巖土參數(shù)的聚類分析

2.1 模糊C-均值聚類

要從眾多的數(shù)據(jù)中抽取巖土參數(shù)固有的特征，獲得簡(jiǎn)潔的系統(tǒng)行為，模糊C-均值聚類分析是解決上述問題的有效手段之一。

傳統(tǒng)的系統(tǒng)聚類和K均值聚類法存在把每個(gè)測(cè)試樣本嚴(yán)格地劃分到某個(gè)類中的局限性，Bezdek借助模糊理論，提出模糊C-均值聚類方法[23]。該方法通過迭代計(jì)算不斷修正隸屬度矩陣，極小化所有測(cè)試樣本到聚類中心的距離和隸屬度的加權(quán)，最終通過優(yōu)化目標(biāo)獲得每個(gè)測(cè)試樣本對(duì)所有類中心的隸屬度，實(shí)現(xiàn)對(duì)大量測(cè)試樣本進(jìn)行分類的目的。

設(shè)矩陣X由n個(gè)測(cè)試樣本(x1x2…xn)的p個(gè)特征值構(gòu)成。

(2)

c個(gè)類的聚類中心記為V={v1,v2,…,vc}，其中vi=(vi1,vi2,…,vic)，i=1,2,…,c，2≤c≤n。

(3)

其中dik=‖xk-vi‖

式中：U=(uik)c×n為隸屬度矩陣。

模糊C-均值聚類法的具體步驟如下[17,21]：

2)計(jì)算迭代至第l步的聚類中心V(l)：

(4)

3)修正U(l)，計(jì)算J(l)。

(5a)

i=1,2,…,c;k=1,2,…,c

(5b)

4)判斷收斂的條件:

(6)

式中：εu為終止容限。

如滿足收斂條件，終止迭代，否則l=l+1，然后轉(zhuǎn)至第2步。

2.2 巖土參數(shù)聚類

針對(duì)表1的19組數(shù)據(jù)進(jìn)行模糊C-均值聚類分析。分類的個(gè)數(shù)取決于聚類數(shù)形圖和不一致系數(shù)[17]，將19組測(cè)試樣本分成4類，迭代收斂的條件取εu=10-6。19組巖土參數(shù)的隸屬度矩陣如表2所示。

表2 隸屬度矩陣

由表2可見：如1號(hào)測(cè)試樣本壓縮系數(shù)屬于第4類的隸屬度最大為0.926 9，所以將其歸為第4類，其他測(cè)試樣本分類方法相同。表3給出了歸聚為一類的巖土參數(shù)測(cè)試樣本的統(tǒng)計(jì)特征值。

由表3明顯可見，歸聚為一類的巖土參數(shù)測(cè)試樣本數(shù)字特征值相近，表明其概率分布相近。由概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)可知，直方圖以很高的概率接近隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)[2]，歸聚為一類的巖土參數(shù)測(cè)試樣本的直方圖如圖1～4所示。

a—樣本序號(hào)2; b—樣本序號(hào)7; c—樣本序號(hào)9; d—樣本序號(hào)11; e—樣本序號(hào)13?！猙eta分布； ----正態(tài)信息擴(kuò)散法。

表3 聚類之后的樣本的統(tǒng)計(jì)特征值

3 巖土參數(shù)概率分布選擇

3.1 推斷巖土參數(shù)的概率密度函數(shù)

大量巖土參數(shù)測(cè)試樣本進(jìn)行分類后，目標(biāo)是獲得各類巖土參數(shù)測(cè)試樣本的概率分布形式。在既有研究成果的基礎(chǔ)上，采用的巖土參數(shù)概率密度擬合方法為beta分布和正態(tài)信息擴(kuò)散法。

3.1.1標(biāo)準(zhǔn)beta分布

標(biāo)準(zhǔn)beta分布為[17]

(7)

式中：α1、α2為B分布參數(shù)。

文獻(xiàn)[17]提出根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)beta分布的均值、方差與分布參數(shù)α1、α2的關(guān)系，同時(shí)考慮概率性質(zhì)和巖土參數(shù)的數(shù)字特征，只要獲得巖土參數(shù)測(cè)試樣本的平均值和有效值，即可獲得beta分布的參數(shù)α1和α2。

3.1.2正態(tài)信息擴(kuò)散法

正態(tài)信息擴(kuò)散法的概率密度函數(shù)為：

(8)

式中：K()為核函數(shù)；h為窗寬；n為樣本個(gè)數(shù)；X1,X2,…,Xn為取自總體X的樣本。

詳細(xì)的原理過程見文獻(xiàn)[6,24-25]，窗寬h采用文獻(xiàn)[14]給出的窗寬計(jì)算式：

(9)

式中：δ為樣本觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差。

3.2 擬合效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

K-S檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)量是整個(gè)取值范圍內(nèi)的最大偏差值，且與顯著性水平有關(guān)，不能提供某一分布擬合是良好的絕對(duì)信息[2]。為了從全局角度評(píng)估beta分布和正態(tài)信息擴(kuò)散法對(duì)巖土參數(shù)概率密度函數(shù)的擬合質(zhì)量，采用均方差指標(biāo)ηMSE對(duì)擬合曲線進(jìn)行效果校驗(yàn)[17]：

a—樣本序號(hào)4; b—樣本序號(hào)6; c—樣本序號(hào)8; d—樣本序號(hào)16; e—樣本序號(hào)17; f—樣本序號(hào)18; g—樣本序號(hào)19。——beta分布； ----正態(tài)信息擴(kuò)散法。

a—樣本序號(hào)3; b—樣本序號(hào)5; c—樣本序號(hào)14; d—樣本序號(hào)15?！猙eta分布； ----正態(tài)信息擴(kuò)散法。

a—樣本序號(hào)1; b—樣本序號(hào)10; c—樣本序號(hào)12。——beta分布； ----正態(tài)信息擴(kuò)散法。

(10)

式中：fi為理論頻率；S*(xi)為頻率直方圖中每個(gè)子區(qū)間的相對(duì)頻率；m為區(qū)間個(gè)數(shù)。

3.3 巖土參數(shù)測(cè)試樣本的概率密度函數(shù)推斷

3.3.1各類樣本概率密度擬合效果分析

圖1～4分別給出了第1～4類巖土參數(shù)測(cè)試樣本beta分布和正態(tài)信息擴(kuò)散法擬合效果。

由圖1～4可見，歸聚為一類的巖土參數(shù)樣本概率分布形狀基本相同。表4給出了巖土參數(shù)測(cè)試樣本的beta分布參數(shù)和正態(tài)信息擴(kuò)散法的窗寬。表5給出了兩種擬合方法的誤差分析。其中表4中的h指按式(9)計(jì)算所得值。

表4 擬合參數(shù)求解結(jié)果

表5 擬合誤差分析

由表3～5可見：1)第1類測(cè)試樣本有效系數(shù)和偏度系數(shù)均較?。坏?類測(cè)試樣本對(duì)比第1類測(cè)試樣本，有效系數(shù)相當(dāng)，偏度系數(shù)較大；這兩類測(cè)試樣本反映的概率分布特征為波動(dòng)性較小，這兩類巖土參數(shù)測(cè)試樣本采用beta分布和正態(tài)信息擴(kuò)散法進(jìn)行擬合均有效，誤差均在0.1以內(nèi)[17]，且正態(tài)信息擴(kuò)散法擬合最優(yōu)窗寬均為h。2)第3類測(cè)試樣本的有效系數(shù)和偏度系數(shù)明顯變大，測(cè)試樣本反映的概率分布特征為波動(dòng)性較大，不對(duì)稱性明顯。第3類測(cè)試樣本采用beta分布擬合時(shí)誤差均大于0.1，正態(tài)信息擴(kuò)散法擬合誤差小于0.1，所以，對(duì)于第3類測(cè)試樣本推薦采用正態(tài)信息擴(kuò)散法進(jìn)行擬合其概率密度函數(shù)，最優(yōu)窗寬仍為h。3)對(duì)于第4類測(cè)試樣本，顯著特征是有效系數(shù)更大，變異系數(shù)四類中最大，測(cè)試樣本反映的概率分布特征為波動(dòng)性、離散性嚴(yán)重。beta分布擬合誤差更大，當(dāng)采用正態(tài)信息擴(kuò)散法擬合其概率密度函數(shù)時(shí)，式(9)給出的窗寬h顯然已不能體現(xiàn)樣本的較大波動(dòng)性。

3.3.2正態(tài)信息擴(kuò)散法最優(yōu)窗寬確定

正態(tài)信息擴(kuò)散法的窗寬選擇一直是個(gè)難題，為此，提出對(duì)波動(dòng)性較大的巖土參數(shù)測(cè)試樣本窗寬選擇方法，具體步驟如下：

1)按式(9)計(jì)算窗寬h的初始值；2)依次改變窗寬的大小為h/2、h/3、h/4、…，進(jìn)行粗選窗寬，設(shè)為h′，粗選窗寬的確定依據(jù)為均方差最??；3)確定粗選窗寬h′后，以更小的步長(zhǎng)微調(diào)粗選窗寬h′(文中以0.000 5為步長(zhǎng)，增大、減小窗寬h′)，確定最優(yōu)窗寬h″，最優(yōu)窗寬的確定依據(jù)為均方差最小。

仿真分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)于波動(dòng)性較大的測(cè)試樣本，工程誤差允許范圍內(nèi)，可選擇粗選窗寬h′為最優(yōu)窗寬。

對(duì)于第4類測(cè)試樣本，窗寬取為h和尋優(yōu)之后的窗寬h″的對(duì)比曲線如圖5所示。

a—樣本序號(hào)1; b—樣本序號(hào)10; c—樣本序號(hào)12。

當(dāng)窗寬取為h時(shí)，3組測(cè)試樣本的均方差分別為0.239 8、0.466 4、0.293 1。當(dāng)窗寬取為h″時(shí)，均方誤差分別為0.093 8、0.036 3、0.043 4。證明本文方法的有效性。

4 工程實(shí)例分析

測(cè)試樣本取自南昌地鐵二號(hào)線翠苑路站[18]，該地鐵二號(hào)線粉質(zhì)黏土壓縮系數(shù)參數(shù)30個(gè)測(cè)試樣本：27.3，18.6，22.9，23.7，21.9，20.7，22.7，21.7，23.1，22.0，23.0，21.5，21.5，22.8，21.3，23.7，25.2，23.0，23.1，24.1，21.5，23.7，22.2，25.6，20.4，23.6，22.3，20.7，22.5，19.0 MP-1。通過計(jì)算，該測(cè)試樣本經(jīng)過極差歸一化處理后的有效系數(shù)為1.1，變異系數(shù)為0.21，偏度系數(shù)為0.25。根據(jù)判別分析方法，判斷該組測(cè)試樣本屬于第1類。采用beta分布和正態(tài)信息擴(kuò)散法都可推斷其概率密度函數(shù)。采用beta分布推斷其概率分布，測(cè)試樣本的平均值為0.449 4，有效值為0.493 2，求得beta分布的參數(shù)α1=2.560 6和α2=2.471 1。獲得beta分布的概率密度函數(shù)為：

(11)

繪制其頻率直方圖和beta分布擬合曲線如圖6所示。均方差為0.017 1。

圖6 beta分布擬合曲線

為驗(yàn)證方法的有效性，提取文獻(xiàn)[18]提供的23個(gè)黏聚力測(cè)試樣本：14.515 5，14.645 0，14.671，14.877 9，15.018 7，15.232 9，15.257 5，15.269 8，15.287，15.377 5，15.395 3，15.402 7，15.495 5，15.587 6，15.635，15.654 1，15.710 8，16.003，16.029 2，16.121，16.141 5，16.878 7，17.142 3 kPa。通過計(jì)算，該測(cè)試樣本經(jīng)過極差歸一化處理后的有效系數(shù)為1.18，變異系數(shù)為0.25，偏度系數(shù)為0.78。采用判別分析方法，判斷該組測(cè)試樣本屬于第3類。采用正態(tài)信息擴(kuò)散法推斷其概率密度函數(shù)，最優(yōu)窗寬為h=0.139 8。采用正態(tài)信息擴(kuò)散法擬合其概率分布如圖7所示，為了對(duì)比，亦給出beta分布擬合曲線。

——beta分布； —·—正態(tài)信息擴(kuò)散法。

正態(tài)信息擴(kuò)散分布法擬合曲線的均方差指標(biāo)為0.087 2，beta分布擬合曲線的均方差指標(biāo)為0.317 9。

以上工程實(shí)例表明，對(duì)于一組新的測(cè)試樣本，只要先計(jì)算出其數(shù)值特征值，即可簡(jiǎn)單、有效地確定采用何種理論模型推斷其概率分布。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過模糊C-均值聚類方法分析，對(duì)19組巖土參數(shù)測(cè)試樣本進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)結(jié)果能有效地展現(xiàn)巖土參數(shù)測(cè)試樣本概率分布選擇的規(guī)律性，結(jié)論如下：

1)基于參數(shù)估計(jì)的beta分布只適用于推斷波動(dòng)性較小的巖土參數(shù)測(cè)試樣本的概率分布(如第1類和第2類)。

2)正態(tài)信息擴(kuò)散法當(dāng)窗寬取為h時(shí)，僅適用于推斷波動(dòng)性和離散性不嚴(yán)重的巖土參數(shù)測(cè)試樣本的概率分布(如第1、2、3類)；對(duì)于波動(dòng)性、離散性嚴(yán)重的巖土參數(shù)測(cè)試樣本，正態(tài)信息擴(kuò)散法在推斷其概率分布時(shí)最優(yōu)窗寬需根據(jù)具體樣本尋優(yōu)選擇，采用較小的窗寬才能反映出樣本的波動(dòng)性。

限于篇幅，僅以參數(shù)估計(jì)法中的beta分布和非參數(shù)估計(jì)的正態(tài)信息擴(kuò)散法兩種典型概率模型為例，其他概率分布的判斷過程與此相同。采用聚類分析后，巖土參數(shù)測(cè)試樣本的概率分布推斷不再是一個(gè)復(fù)雜的、反復(fù)試錯(cuò)的過程，整個(gè)工作將變得系統(tǒng)化、程序化。