陳英偉，常之魁，王志軍

(河北經貿大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，河北 石家莊 050061)

1 基礎概念

函數(shù)空間的正線性算子逼近中，Korovkin逼近定理通過驗證幾個測試函數(shù)的逼近就可決定該函數(shù)空間中所有函數(shù)的逼近性，故Korovkin定理處理連續(xù)函數(shù)逼近問題上顯得更為簡潔和方便. 不同的連續(xù)函數(shù)空間中具有不同測試函數(shù)的算子逼近及應用，例如一些著名的逼近算子如Bernstein算子、 Baskakov算子、卷積算子(例如 Gauss-Weierstrass 算子)等.此外， 也可通過引入連續(xù)模來研究逼近算子的逼近階及相關逼近性質.

實際研究中經常會遇到不完整和不精確的數(shù)據，常利用不確定性理論，如概率論、模糊集理論來研究.其中，模糊集理論作為集合論的直接推廣由Zadeh[1]引入，鑒于其已成功應用于很多科學領域,如經濟金融、天氣預報、電子信息、生物技術等領域,有必要將很多經典集合理論推廣到模糊集領域，其中模糊值 Korovkin定理給出了通過模糊連續(xù)模來刻畫模糊單變量連續(xù)函數(shù)的多項式逼近及其逼近階[2-6].近來模糊型卷積型算子也常被研究[7-9].

本文中將考慮Rn中以2π為周期的多變量模糊值連續(xù)函數(shù)的三角 Korovkin 逼近定理，借助于連續(xù)模獲得多項式逼近階.由多元模糊值函數(shù)的 Fourier 級數(shù)引入多元模糊型Fejér算子，并對 Korovkin逼近定理加以驗證.

下面給出一些概念和符號.

并定義距離

定義2模糊型多元連續(xù)函數(shù)f連續(xù)模定義為

對δ>0,

(1)

其中,x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2，…,yn).

2 引理

引理1令f為定義在Rn上2π周期的模糊值連續(xù)函數(shù).則對任一δ∈[0,π]，有

(2)

1)?m∈Zn，x,y∈I(m1,m2,…,mn);2)?m∈Zn，滿足對某一個下標不妨為i，使得x∈I(m1,m2,…,mi,…，mn),y∈I(m1,m2,…,mi+1,…，mn)或x∈I(m1,m2,…,mi+1,…，mn),y∈I(m1,m2,…,mi,…，mn);3) ?m∈Zn，滿足對2個或2個以上的下標，不妨為i,j，有x∈I(m1,m2,…,mi,…，mj,…,mn),y∈I(m1,m2,…,mi+1,…，mj+1,…，mn)，或x∈I(m1,m2,…,mi+1,…，mj+1,…，mn),y∈I(m1,m2,…,mi,…,mj,…，mn).

只需證明2)、3)的前一種情況，因為x,y地位相同，通過交換x,y可得后一種.

令x′=x-(2m1π,2m2π,…,2mnπ),y′=y-(2m1π,2m2π,…,2mnπ)，易得d(x′,y′)=d(x,y)≤δ.

情況1x,y∈Im,x′,y′∈I0=[0,2π]×…×[0,2π]，由f的周期性，知

情況2x∈I(m1,m2,…,mi,…，mn),y∈I(m1,m2,…,mi+1,…，mn)，則x∈I0=[0,2π]×…×[0,2π],y∈Ii=[0,2π]×…×[2π,4π]×…×[0,2π].令l為連接x,y的線段，由f的周期性，取點l′=l∩I0∩Ii，有

情況3 2個或2個以上的類似于情況2同理可得.

引理得證.

證明:令x=(x1,x2，…,xn)∈[-π,π]n.只需以下分情況討論.

若對i=1,2,…，n,|yi-xi|≤δ,其中δ足夠接近零， 則

情況2 若存在某1個i,有|yi-xi|>π,而其他j(j≠i)|yj-xj|≤π.

令k為整數(shù)滿足|yi+2kπ-xi|≤π，則

情況3 對2個以上的|yi-xi|>π，參考情況2,類似可證.

引理得證.

3 模糊型Korovkin定理

對任x?[0,2π]n，則存在y∈[0,2π]n使得(y1,y2,…,yn)=(x1+2m1π,x2+2m2π,…,xn+2mnπ),m1,m2,…，mn∈Z{0}.故

D(f(x),0)=D(f(y),0)≤M,?y∈Rn[0,2π]n.

由上可知f為Fuzzy值有界.

令m→∞表示對所有的i(i=1,2,…，n)，均有mi→+∞.下面給出Fuzzy型連續(xù)函數(shù)空間上的Korovkin逼近定理.

(3)

進一步，對

f0(x1,x2,…,xn)=1,f1(x1,x2,…,xn)=sinx1,f2(x1,x2,…，xn)=sinx2,…,fn(x1,x2,…,xn)=sinxn,fn+1(x1,x2，…,xn)=cosx1,fn+2(x1,x2,…,xn)=cosx2,…,f2n(x1,x2,…,xn)=cosxn,若有

(4)

由f的連續(xù)性，則對任意給定的ε>0，存在δ>0，滿足當d(x,y)≤δ，有

故

對式(3)兩邊同時取supα∈[0,1]max，則

由式(4)，則意味著

定理得證.

最后給出Fuzzy連續(xù)函數(shù)Korovkin逼近收斂階的結論.

.

最后再對x=(x1,x2,…,xn)取上確界，有

由條件i)、ii)，可得

定理得證.

下面通過模糊型多元算子對Korovkin逼近定理加以驗證.

模糊型多元Fejér算子可定義如下:

其中Fejér核[10-11]為

則定義正線性算子