張亞麟,王輔忠

(天津工業(yè)大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，天津 300387)

0 引言

1981年，Benzi等人[1]在研究周期性回歸冰河期問(wèn)題時(shí)提出了隨機(jī)共振這一概念，該概念的提出克服了傳統(tǒng)信號(hào)提取中將噪聲作為干擾的局限性，描述了非線(xiàn)性系統(tǒng)中由噪聲引起的信號(hào)增強(qiáng)現(xiàn)象[2-3]。近40年來(lái)，它被廣泛應(yīng)用于圖像處理[4-5]、化學(xué)[6]、傳感器[7]、機(jī)械故障檢測(cè)[8]、信號(hào)檢測(cè)與提取[9-10]等領(lǐng)域。在通信領(lǐng)域，隨機(jī)共振常用于噪聲背景下的微弱信號(hào)檢測(cè)[11-12]，因?yàn)殡S機(jī)共振系統(tǒng)能夠能夠?qū)⒃肼暷芰哭D(zhuǎn)移到信號(hào)當(dāng)中，對(duì)信號(hào)有一定的增強(qiáng)作用，所以其應(yīng)用不斷擴(kuò)展。對(duì)于研究模擬信號(hào)的隨機(jī)共振理論推導(dǎo)和仿真模型在30年來(lái)已逐漸趨于完善，但對(duì)數(shù)字信號(hào)而言隨機(jī)共振系統(tǒng)的研究還相對(duì)較少，因此，在當(dāng)前數(shù)字集群通信環(huán)境下的理論與技術(shù)發(fā)展中，研究如何在Levy噪聲背景下提取數(shù)字信號(hào)并降低數(shù)字信號(hào)誤碼率就顯得尤為重要。

4 FSK信號(hào)全稱(chēng)為“四進(jìn)制頻移鍵控信號(hào)”[13]。4 FSK調(diào)制解調(diào)技術(shù)是DMR協(xié)議的關(guān)鍵核心技術(shù)，也是數(shù)字通信中常用的一種調(diào)制方式。該調(diào)制是是一種恒定的包絡(luò)調(diào)制，是一種可以用多個(gè)不同的載波頻率代表各種數(shù)字信息的調(diào)制模式。該調(diào)制具有一定的抗干擾性能[14]。一般來(lái)說(shuō)，4 FSK調(diào)制和解調(diào)通常由濾波器、包絡(luò)檢測(cè)器、采樣決策裝置和邏輯電路組成。多個(gè)系統(tǒng)代碼誤碼率隨著系統(tǒng)進(jìn)制數(shù)的增加而增加。當(dāng)比特能量固定時(shí)，誤碼率隨著基數(shù)的增加而降低。因此，在有噪聲的信道傳輸中仍存在誤碼率較高的現(xiàn)象。

傳統(tǒng)的去噪方法通常是基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、多重分形理論和小波閾值算法[15-17]。在濾除噪聲的同時(shí)，原始信號(hào)中的有用信息也被濾掉，從而增加了信號(hào)傳輸中的誤碼率，降低了信號(hào)傳輸?shù)馁|(zhì)量。而隨機(jī)共振系統(tǒng)能夠利用噪聲放大弱信號(hào)從而達(dá)到抑制噪聲的目的。進(jìn)行信號(hào)仿真檢測(cè)時(shí)，通常需要模擬環(huán)境噪聲，本文選用了更加符合現(xiàn)實(shí)的Levy噪聲作為仿真檢測(cè)的背景噪聲，與理想分布的高斯白噪聲不同，Levy噪聲具有很強(qiáng)的沖擊性，更加符合真實(shí)信道環(huán)境。

本文根據(jù)4 FSK信號(hào)的特點(diǎn)，提出了Levy噪聲下基于自適應(yīng)級(jí)聯(lián)三穩(wěn)隨機(jī)共振隨機(jī)共振理論的4 FSK信號(hào)提取方法。以4 FSK信號(hào)為研究對(duì)象，采用四階Runge-Kutta算法，通過(guò)自適應(yīng)級(jí)聯(lián)三穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)，進(jìn)行信號(hào)的提取與誤碼率的檢測(cè)，研究隨機(jī)共振方法相較于傳統(tǒng)方法的優(yōu)越性，從而拓展隨機(jī)共振的應(yīng)用領(lǐng)域。

1 Levy噪聲的分布函數(shù)及頻譜

Levy噪聲也被稱(chēng)為α噪聲，是由Levy等人在1934年研究中心極限定理和大數(shù)定律時(shí)提出的。與服從理想分布的高斯噪聲不同，Levy噪聲是唯一滿(mǎn)足廣義中心極限定理分布的噪聲。Levy噪聲作為一種典型的具有漸近冪律行為的噪聲模型，近年來(lái)受到了越來(lái)越多的關(guān)注[18-19]。Levy噪聲可用參數(shù)化方法對(duì)其進(jìn)行描述[20]，其分布的特征函數(shù)表達(dá)式如下：

(1)

式(1)中，α代表特征指數(shù)，取值區(qū)間為(0,2]，該參數(shù)決定了噪聲分布的拖尾性和脈沖性。其拖尾性隨著α的增大而增大，脈沖性隨著α的增大而減小。β代表對(duì)稱(chēng)參數(shù)，取值區(qū)間為[-1,1]，該參數(shù)決定了Levy噪聲分布的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)β=0時(shí)，呈對(duì)稱(chēng)分布。σ代表尺度參數(shù)，取值區(qū)間為(0,+∞)，該參數(shù)決定了噪聲分布樣本點(diǎn)偏離μ的離散程度。μ代表位置參數(shù)控制著噪聲分布的左右移動(dòng)。當(dāng)α等于1，β等于0時(shí)，此時(shí)噪聲服從柯西分布；當(dāng)α等于2，β等于0時(shí)，此時(shí)噪聲服從高斯分布。圖1為不同Levy噪聲參數(shù)下的概率密度函數(shù)分布圖。

圖1 不同Levy噪聲參數(shù)下的概率密度函數(shù)

Chambers-Mallows-Stuck(CMS)方法生成的Levy分布隨機(jī)變量X的表達(dá)式如下：

(2)

式(2)中，V服從區(qū)間(-2π,2π)的均勻分布，W服從均值為1的指數(shù)分布，V和W相互獨(dú)立。其中Bα,β和Sα,β的表達(dá)式如下:

(3)

(4)

參數(shù)α分別為0.5,1,1.5,2時(shí)的Levy穩(wěn)定噪聲分布如圖2所示。從圖中可以看出Levy噪聲參數(shù)越小時(shí)，沖擊性越強(qiáng)，使得在SR系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)的布朗粒子會(huì)沖出非線(xiàn)性勢(shì)函數(shù)的運(yùn)動(dòng)軌跡范圍，因此在實(shí)際模擬中需要根據(jù)系統(tǒng)以及信號(hào)的實(shí)際情況進(jìn)行截?cái)唷?/p>

圖2 不同參數(shù)α下的Levy噪聲分布

2 4 FSK的調(diào)制與調(diào)制

2.1 4 FSK模型

頻移鍵控(FSK)是利用載波頻率變化來(lái)傳輸數(shù)字信息。它是一種利用數(shù)字基帶數(shù)字信號(hào)的離散值特征來(lái)鎖定載波頻率以傳輸信息的數(shù)字調(diào)制技術(shù)。由接收端接收到的載波信號(hào)被轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)，從而完成數(shù)字信息的傳輸。由于易于實(shí)現(xiàn)，具有較好的抗噪聲和抗褪色能力而得到了廣泛的應(yīng)用。

4 FSK是多頻移位鍵控(MFSK)的一種典型形式。通過(guò)增加正弦波的不同數(shù)、不同頻率和正弦振幅，可以形成四頻調(diào)制模型。該表達(dá)式如下：

S(t)=m1(t)Acos(2πf1t+φ1)+

m2(t)Acos(2πf2t+φ2)+m3(t)Acos(2πf3t+φ3)+

m4(t)Acos(2πf4t+φ4)

(5)

2.2 4 FSK調(diào)制

4 FSK調(diào)制是一個(gè)恒定的包絡(luò)調(diào)制。在第四元符號(hào)區(qū)間內(nèi)，被調(diào)制信號(hào)的載波頻率是4個(gè)可能的離散值之一。每個(gè)載波頻率對(duì)應(yīng)兩個(gè)二進(jìn)制符號(hào)，二進(jìn)制位流首先通過(guò)串行到并行的轉(zhuǎn)換生成兩個(gè)并行位，相當(dāng)于轉(zhuǎn)換為四元符號(hào)。然后每?jī)晌挥成涞? FSK信號(hào)波形中的一個(gè)，從而完成4 FSK調(diào)制。根據(jù)DMR標(biāo)準(zhǔn)，二進(jìn)制位與四元符號(hào)之間的關(guān)系如表1所示。

表1 二進(jìn)制符號(hào)對(duì)4 FSK信號(hào)的映射

四頻調(diào)制具有4個(gè)不同的載波頻率，對(duì)應(yīng)于4個(gè)不同的數(shù)字信號(hào)，并且在一個(gè)符號(hào)時(shí)間內(nèi)只傳輸一個(gè)頻率。其實(shí)現(xiàn)原理如圖3所示。

圖3 4 FSK調(diào)制原理圖

當(dāng)輸入值為0、1、2、3時(shí)，4 FSK調(diào)制信號(hào)如下:

(6)

2.3 4 FSK解調(diào)

常用的4 FSK解調(diào)方法有很多，主要分為相干(同步)解調(diào)和非相干解調(diào)。相干解調(diào)也稱(chēng)為同步檢測(cè)，適用于所有線(xiàn)性調(diào)制信號(hào)的解調(diào)。實(shí)現(xiàn)相干解調(diào)的關(guān)鍵是，接收機(jī)需要恢復(fù)一個(gè)與被調(diào)制的載波嚴(yán)格同步的相干載波。恢復(fù)載波的性能與接收機(jī)的解調(diào)性能直接相關(guān)。非相干解調(diào)也被稱(chēng)為包絡(luò)檢測(cè)。信封檢測(cè)是為了直接從無(wú)相干載波的調(diào)制波形的振幅中恢復(fù)原始的調(diào)制信號(hào)。本文采用包絡(luò)檢測(cè)技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了4 FSK信號(hào)解調(diào)。該方法的優(yōu)點(diǎn)是，接收機(jī)不需要產(chǎn)生與發(fā)射機(jī)具有相同頻率的相干載波，且實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、高效。4 FSK包絡(luò)檢測(cè)解調(diào)的原理如圖4所示。

圖4 4 FSK解調(diào)原理圖

3 隨機(jī)共振系統(tǒng)模型

3.1 三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振模型

三穩(wěn)態(tài)動(dòng)力系統(tǒng)可以用非線(xiàn)性朗之萬(wàn)方程(LE)表示，考慮外力和Levy噪聲驅(qū)動(dòng)的三穩(wěn)模型，如下方程所示：

dx/dt=-dU(x)/dt+Aε(t)+Dξ(t)

(7)

式中，ε(t)為本文輸入振幅為A的4 FSK信號(hào)，ξ(t)為強(qiáng)度為D的Levy噪聲，經(jīng)典的三穩(wěn)態(tài)勢(shì)函數(shù)描述如下：

U(x)=ax2/2-bx4/4+cx6/6

(8)

其中:a、b和c為勢(shì)參數(shù)。圖5表示參數(shù)a、b和c對(duì)勢(shì)分布的影響。從圖5可以看出3個(gè)參數(shù)隨著x的變化對(duì)勢(shì)分布的影響。值a和b影響兩側(cè)勢(shì)井的清晰度。當(dāng)a值越大b值越小時(shí)，勢(shì)井會(huì)變得越平坦。值c會(huì)影響勢(shì)壘的陡度，隨著c值的增加，勢(shì)函數(shù)兩邊將逐漸變得陡峭。

圖5 不同參數(shù)a，b，c下的勢(shì)函數(shù)U(x)

在這種情況下，方程可如下所示：

dx/dt=-ax+bx3-cx5+Aε(t)+Dξ(t)

(9)

方程(9)表示了具有傳統(tǒng)反射對(duì)稱(chēng)第六勢(shì)的一個(gè)變量的非線(xiàn)性朗之萬(wàn)方程，形成了經(jīng)典的三穩(wěn)定SR模型?？梢员砻?，系統(tǒng)輸出x由電位、輸入信號(hào)和噪聲決定。隨隨力在這種非線(xiàn)性三穩(wěn)勢(shì)中發(fā)揮著積極的作用，將部分噪聲能量轉(zhuǎn)化為信號(hào)能量，從而提高信號(hào)能量。當(dāng)信號(hào)振幅非常小時(shí)，在沒(méi)有噪聲的前提下，粒子將在3個(gè)勢(shì)阱中的任何一個(gè)中。此時(shí)，調(diào)整系統(tǒng)不足以使粒子從一個(gè)勢(shì)阱過(guò)渡到另一個(gè)勢(shì)阱。通過(guò)施加周期性的驅(qū)動(dòng)力和隨機(jī)力，粒子可以通過(guò)高度穿過(guò)勢(shì)壘，使系統(tǒng)的輸出在3個(gè)勢(shì)阱之間形成大規(guī)模的連續(xù)躍遷運(yùn)動(dòng)，從而出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象。只有當(dāng)電勢(shì)處于與周期力相匹配的最優(yōu)條件下時(shí)，周期力和隨機(jī)力才能放大粒子的振蕩，并增強(qiáng)周期信號(hào)。同時(shí)，通過(guò)調(diào)整勢(shì)參數(shù)a、b、c的值，可以實(shí)現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)勢(shì)函數(shù)的直接參數(shù)控制。然而，在模擬中，調(diào)整勢(shì)參數(shù)a、b和c的值不需要設(shè)置復(fù)雜的限制。該自適應(yīng)算法可以更直觀(guān)、更方便地找到最佳參數(shù)值。

為了達(dá)到對(duì)4 FSK信號(hào)最好的處理效果，在三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，采取三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)[19]的方法，建立了級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)模型，對(duì)于級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振已有學(xué)者進(jìn)行了該方面的相關(guān)研究，將兩個(gè)或者兩個(gè)以上隨機(jī)共振系統(tǒng)級(jí)聯(lián)在一起，使得信號(hào)多次經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)，從而使得系統(tǒng)內(nèi)的噪聲能量不斷地向信號(hào)能量轉(zhuǎn)移。式(10)表示了級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)方程：

(10)

級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)如圖6所示。

圖6 多級(jí)級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)圖

當(dāng)i>2時(shí)，xi(t)既是上一級(jí)隨機(jī)共振系統(tǒng)的系統(tǒng)輸出，也是下一級(jí)隨機(jī)共振系統(tǒng)的系統(tǒng)輸入，本文主要研究?jī)杉?jí)的級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)模型對(duì)4 FSK信號(hào)的提取，以誤碼率為評(píng)價(jià)指標(biāo)分析系統(tǒng)的作用效果。

3.2 自適應(yīng)算法

圖7 自適應(yīng)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振方法流程圖

圖8 基于自適應(yīng)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的4 FSK信號(hào)處理流程圖

本文采用四階Runge-Kutta算法對(duì)朗之萬(wàn)方程(LE)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，其數(shù)學(xué)分析步驟如式(11)所示：

(11)

式中，y為系統(tǒng)處理的信號(hào)，s為摻雜Levy噪聲的系統(tǒng)輸入4 FSK信號(hào)，h為該算法的步長(zhǎng)，其中h=1/fs。a、b和c是四階龍格-庫(kù)塔算法中的直接控制勢(shì)參數(shù)。

4 Levy噪聲下4 FSK信號(hào)的自適應(yīng)級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振響應(yīng)

圖9(a)為4 FSK信號(hào)傳統(tǒng)調(diào)制解調(diào)模型，圖9(b)為4 FSK信號(hào)自適應(yīng)級(jí)聯(lián)隨機(jī)共振調(diào)制解調(diào)模型，本文的參數(shù)調(diào)節(jié)和設(shè)置均基于以下兩個(gè)模型。

圖9 信號(hào)傳輸系統(tǒng)模型圖

實(shí)驗(yàn)仿真中，使用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生4 FSK信號(hào)基碼，并通過(guò)頻率調(diào)制生成4 FSK調(diào)制信號(hào)圖，如圖10所示。

圖10 4 FSK數(shù)字基碼與調(diào)制信號(hào)時(shí)域圖

固定Levy噪聲的參數(shù)α、β、σ和μ分別為1.65、0、1和0，噪聲強(qiáng)度D為0.8，4 FSK信號(hào)幅度A為1，其4個(gè)頻率f0、f1、f2和f3分別為0.02 Hz、0.04 Hz、0.08 Hz和0.16 Hz，采樣頻率fs為10 Hz。圖11(a)和(b)分別表示系統(tǒng)輸入信號(hào)的時(shí)域分布圖和頻域分布圖，從圖中可以看出4 FSK時(shí)域信號(hào)完全淹沒(méi)在Levy噪聲當(dāng)中，而在頻率分布圖中雖然可以觀(guān)察到信號(hào)的特征頻率，但是頻譜脈沖過(guò)于集中在低頻帶上，在信號(hào)處理中容易混雜在一起，導(dǎo)致原始信號(hào)無(wú)法恢復(fù)。

圖11 隨機(jī)共振系統(tǒng)輸入信號(hào)時(shí)域頻域分布圖

為了更好地提高自適應(yīng)級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的有效性，本文對(duì)4 FSK信號(hào)進(jìn)行了預(yù)處理，并通過(guò)濾波器將其分為4個(gè)單獨(dú)的信號(hào)分別通過(guò)自適應(yīng)隨機(jī)共振系統(tǒng)。設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)a、b和c的掃描間隔為(0,1]、(0,1]和(0,1]。參數(shù)a、b和c的掃描步長(zhǎng)均為0.01，本文將最后的誤碼率作為信號(hào)質(zhì)量改善的指標(biāo)，將預(yù)處理的單個(gè)頻率信號(hào)與經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)后的單個(gè)頻率信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，得到系統(tǒng)輸入輸出對(duì)比圖如圖12～15所示。

圖12 隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出f0信號(hào)時(shí)域頻域分布對(duì)比圖

從圖12中可以看出，f0信號(hào)經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)后的時(shí)域圖毛刺相較經(jīng)過(guò)系統(tǒng)之前明顯減少且頻率圖中的頻譜峰值從7.8×104增加到1.04×105。頻譜達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)的a，b和c值分別為0.1、0.3和0.8。與圖12相似，在圖13、14和15中，時(shí)域圖都變得更加清晰、毛刺更少，不再被Levy噪聲完全淹沒(méi)。頻域最高幅值也從更為突出，噪聲的能量轉(zhuǎn)移到信號(hào)能量之中，證實(shí)了隨機(jī)共振的有效性。其中圖13的頻譜幅值由輸入的4.47×104增大至6.17×104。圖14的頻譜幅值由輸入的6.89×104增大至7.85×104。其中圖15的頻譜幅值則由輸入的5.06×104減小至4.36×104。雖然圖15的頻率幅值相較未經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)的信號(hào)略小，但時(shí)域仍然比未經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)的信號(hào)要更為清晰。頻譜值減小的原因在于隨機(jī)共振對(duì)低頻信號(hào)的作用明顯要優(yōu)于高頻信號(hào)，因此經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)的高頻率f3信號(hào)會(huì)比低頻的f0信號(hào)效果要略差一些。

圖13 隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出f1信號(hào)時(shí)域頻域分布對(duì)比圖

圖14 隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出f2信號(hào)時(shí)域頻域分布對(duì)比圖

圖15 隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出f2信號(hào)時(shí)域頻域分布對(duì)比圖

自適應(yīng)級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)包絡(luò)檢波器并解調(diào)的圖形如圖16(a)所示。經(jīng)傳統(tǒng)調(diào)制解調(diào)系統(tǒng)模型的圖形如圖16(b)所示。

圖16 兩種模型解調(diào)信號(hào)對(duì)比圖

考慮到Levy噪聲的影響，進(jìn)行了500次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，得到了仿真中系統(tǒng)輸出的平均誤碼率。信號(hào)經(jīng)4 FSK自適應(yīng)級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)模型解調(diào)后相比傳統(tǒng)模型誤碼率平均降低了4%。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于隨機(jī)共振原理設(shè)計(jì)了一種Levy噪聲下4 FSK信號(hào)自適應(yīng)級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的新方法，在4個(gè)支路上分別加上三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)，4個(gè)支路都發(fā)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象，大幅提高載波的頻譜幅值同時(shí)降低了4 FSK信號(hào)的誤碼率，相比于傳統(tǒng)的解調(diào)方式有著很大的提升。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在Levy噪聲背景下可以通過(guò)調(diào)節(jié)隨機(jī)共振系統(tǒng)參數(shù)a、b和c來(lái)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象；與傳統(tǒng)的解調(diào)方法相比，自適應(yīng)級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振方法更能從含有噪聲的原始信號(hào)中識(shí)別4 FSK信號(hào)，誤碼率相比于傳統(tǒng)模型降低了4%。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明自適應(yīng)級(jí)聯(lián)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)可以作為L(zhǎng)evy噪聲背景下提取4 FSK信號(hào)的有效方法。本文研究了Levy噪聲下數(shù)字信號(hào)提取的研究，下一步將對(duì)數(shù)字圖像信號(hào)的檢測(cè)進(jìn)行研究。