秦 楨，唐秋華，魏國前，孫 偉

(武漢科技大學a.冶金裝備及其控制教育部重點實驗室；b.機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，武漢 430081)

0 引言

在裝配時裝配體末端的功能要求，須由各個裝配特征參數(shù)聯(lián)合保證[1]。各參數(shù)的組合形式不同，最終裝配體性能差異可能會很大。對于精度要求較高的機構，在設計初期亟需對裝配特征參數(shù)進行優(yōu)化，通過合理的公差分配，既降低產(chǎn)品制造成本，又保證裝配體的精度。

針對裝配公差設計，王輝等[2]構建了雅克比旋量模型，進行了基于公差原則的裝配公差統(tǒng)計分析，考慮了不同公差原則下裝配體末端公差的范圍；PENG等[3]基于雅可比旋量模型，提出以統(tǒng)計學原理來解決機械裝配體的三維公差重新設計的新方法。高瑞等[4]在滿足整體裝配質(zhì)量的前提下，利用中間計算法優(yōu)化零件尺寸公差，從而提高了零件合格率。趙帥帥等[5]構建了成本公差函數(shù)，提出了基于群智能算法的中間軸公差優(yōu)化設計方法。周釗等[6]提出了一種基于布谷鳥算法的多目標公差設計方法。

上述三維公差分析方法，大多基于蒙特卡洛仿真，對某種裝配特征參數(shù)進行公差分析，而對多種裝配特征參數(shù)組合優(yōu)化的考慮較少；其次，他們只獲得裝配誤差的概率分布曲線，未計算公差上下區(qū)間的最大邊界值，導致優(yōu)化計算時工作量較大，計算結(jié)果的魯棒性較差。為此，提出一種雅克比矩陣旋量最值模型，以此獲得裝配體末端的公差最大分布區(qū)間；再利用各個裝配特征參數(shù)的聯(lián)合優(yōu)化，得到給定條件下的最優(yōu)公差參數(shù)組合。

1 問題描述和求解思路

本問題可描述為在不考慮其它因素對裝配體末端誤差影響的前提下，對各個裝配特征參數(shù)進行聯(lián)合優(yōu)化，以提高末端裝配精度。下面以手術時用于安全分離腫瘤和腦組織的腦神經(jīng)外科手術機器人為例，描述裝配公差優(yōu)化問題。該機器人結(jié)構簡圖如圖1所示，共有6個自由度。

(a) 主視圖 (b) 俯視圖

在圖1中O0是全局坐標系，Oi是裝配特征的參考坐標系；Li為各個坐標系的相對位置，L1～L14分別為{600、90、300、300、400、200、400、300、200、100、60、100、10、90}，單位是mm。軸1連接機座，整個機構主要通過軸1→機身→軸2→大臂→軸3→小臂→軸4傳遞力和力矩，連桿和平衡臂起輔助作用。故而，所建立的裝配公差優(yōu)化模型著重考慮上述傳遞路徑上的裝配特征，包括軸1的圓柱度、軸2的圓柱度、O3處大臂孔軸線以大臂外表面為基準的平行度、O4處小臂孔軸線以小臂外表面為基準的平行度、O5處大臂孔的中心線基于大臂端面的垂直度、O6處小臂孔的中心線基于小臂端面的垂直度。

對該問題的主要求解思路是，建立各裝配特征的雅可比旋量模型；通過對該模型改進，得到雅克比旋量最值模型，推導出裝配體末端公差最大分布區(qū)間的計算公式。在此基礎上，優(yōu)化裝配特征參數(shù)，找到使末端公差分布最大區(qū)間最小化的參數(shù)組合，亦即裝配體末端裝配精度最高。

2 公差優(yōu)化數(shù)學模型

在公差計算時，若能知道公差變動區(qū)間的邊界，并以此為約束，即可簡化問題求解。為此，本節(jié)提出基于雅克比旋量最值模型的裝配體末端誤差分布區(qū)間求解方法。該方法首先建立裝配特征的小位移旋量模型，確定每個裝配特征平動矢量的上下限；其次通過對旋量表達式進行分析，獲得誤差極限；最后，構建雅克比旋量最值模型，計算裝配體的末端誤差分布區(qū)間，找到使末端誤差最小的裝配參數(shù)組合。

2.1 雅克比旋量模型

雅克比旋量模型以機器人運動學、計算機圖形學和旋量理論為基礎，通過空間尺寸鏈的誤差傳遞，建立最終功能要求與各裝配特征之間的數(shù)學關系，從而為裝配體公差分析提供數(shù)學依據(jù)。具體模型如下：

(1)

式中，F(xiàn)R表示功能要求；JFEi表示第i個裝配特征的雅克比矩陣；τFEi表示第i個裝配特征的小位移旋量；n表示對末端誤差有影響的裝配特征數(shù)量。

(2)

(3)

(4)

裝配體中包含多種裝配特征，這里以軸1圓柱度為例，建立其公差數(shù)學模型[9]：

(5)

式中，l是圓柱的長度；TL是圓柱直徑尺寸的下偏差的絕對值；TU是圓柱直徑尺寸的上偏差的絕對值；Tcyl是圓柱度的公差值；x、y、z是圓柱度公差帶的邊界坐標；θ和d表示對應的平動矢量和轉(zhuǎn)動矢量。

2.2 雅克比旋量最值模型

雅克比旋量模型結(jié)合了雅克比矩陣和小位移旋量，可用于表征誤差的傳遞與累積[7-8]。但是，小位移旋量為公差域范圍，需通過蒙特卡洛仿真進行大規(guī)模實驗，再利用統(tǒng)計分析獲得末端誤差的分布區(qū)間。若仿真次數(shù)不夠，無法獲得功能要求方向變動的最大區(qū)間；如果仿真次數(shù)過多，增加了模型的計算量，且求解時間過長。若能直接推算出末端誤差的最大分布區(qū)間，則不僅能減少計算時間，還能提高計算精度。

由式(1)可得x軸方向的誤差：

(6)

(7)

在x軸方向上誤差區(qū)間的右邊界為：

(8)

式中，當τi(N,1)指數(shù)(-1)k和(-1)j的值大于0時，τi(N,1)取右邊界，反之取左邊界。所以，x軸方向上的最大誤差為：

式(7)和式(8)指出了x軸方向末端誤差的最大分布范圍，可通過平動矢量和轉(zhuǎn)動量的邊界約束求解，無需再次使用蒙特卡洛仿真。同理可得y軸和z軸方向末端誤差最大分布范圍。則裝配體的雅克比旋量最值模型可表示如下：

(9)

(10)

式中，

式中，N表示矩陣τi的第N行，N={1,2…6}；H表示雅克比矩陣的第H行，H={1,2…6}。

2.3 末端誤差優(yōu)化模型構建

公差優(yōu)化是在給定的裝配體內(nèi)和相對經(jīng)濟的前提下，尋找最優(yōu)的特征參數(shù)組合，以獲得最小的末端誤差。針對給定的裝配體，尋找最優(yōu)裝配特征參數(shù)組合的優(yōu)化模型如下：

xi∈{CBDi,Di,Li,Ti}

(11)

式中，X表示各種裝配特征參數(shù)的組合；xi表示第i個裝配特征參數(shù)等級，它可能是CBDi、Di、Li、Ti，CBD代表孔和軸基本偏差代號；D和L是形位公差主要參數(shù)；T表示公差等級；Errorx、Errory、Errorz分別代表裝配體x、y、z軸方向累積的末端誤差；error是裝配體的末端誤差。

3 改進粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法(PSO)是一種群智能優(yōu)化算法[10]，源于對鳥群捕食行為的研究，其基本思想是：通過群體中個體之間的協(xié)作和信息共享來尋找最優(yōu)解[11]。粒子群算法本質(zhì)上是一種連續(xù)優(yōu)化算法，但通過一定轉(zhuǎn)換，也已成功用于求解組合優(yōu)化問題。針對裝配公差優(yōu)化問題，提出一種改進的粒子群算法(GRLPSO)，用于求解最優(yōu)的裝配特征參數(shù)組合。

3.1 編碼和解碼設計

在裝配公差優(yōu)化模型(11)中，優(yōu)化對象為基本偏差代號、形位公差主參數(shù)和公差等級等離散變量。因此，將不同裝配特征參數(shù)劃分為不同的等級，各參數(shù)的每一等級對應不同的參數(shù)值。

以軸1圓柱度為例進行簡單編碼。通過分析式(5)，可以發(fā)現(xiàn)圓柱度公差的旋量參數(shù)取值區(qū)間受TU、TL、Tcyl和l四個常量的影響，鑒于加工難度和成本，通過變換配合類別來改變TU的取值，從而改變圓柱度公差的旋量參數(shù)取值區(qū)間，是比較合理的手段。若與軸1配合的孔為標準件，其公差等級為IT6，通過查詢基孔制優(yōu)先常用配合表[12]，可得到軸基本偏差代號為f～t。將其劃分為不同的等級，得到如表1所示的簡單編碼，即可表示各特征參數(shù)的對應范圍。

表1 裝配特征等級

故而，各裝配參數(shù)的編碼設計可如圖2所示。將各裝配特征參數(shù)FE1～FE6依照序號順次排列，得到編碼{2,3,2,1,5,4}，如其中特征FE1表示軸1的圓柱度。第一個參數(shù)的特征等級為2，查詢表1，可得到其基本偏差代號為g。同理，可得到其余裝配特征參數(shù)的參數(shù)值。

圖2 案例的一個編碼

在上述編碼基礎上，利用式(5)，獲得小位移旋量參數(shù)；同理，建立其余特征的小位移旋量模型。再利用雅克比旋量最值模型如式(9)和式(10)所示，計算出末端誤差的最大分布區(qū)間；最后，利用式(11)，求得裝配體末端的誤差值。

3.2 PSO進化算子

PSO算法的粒子速度和位置迭代更新表達為：

(12)

Xk+1=Xk+Vk+1

(13)

式中，Gbest為整個種群中令末端誤差最小的最優(yōu)裝配特征參數(shù)等級組合；Pbest為在局部范圍內(nèi)令末端誤差最小的最優(yōu)裝配特征參數(shù)等級組合；慣性權重ω采用自適應慣性權重[13]，其最大值和最小值分別為{0.9、0.4}。

通過式(12)和式(13)，粒子位置Xk+1變成了實數(shù)。為此，采用Sigmoid方程進行離散化處理，使得粒子位置能表征裝配特征參數(shù)等級。

3.3 算法其它改進

為防止算法陷入局部最優(yōu)，在PSO基礎上引入遺傳算法的交叉操作來實現(xiàn)不同粒子之間的信息共享，變異操作實現(xiàn)粒子內(nèi)部信息共享。同時，各個裝配特征參數(shù)之間相互關聯(lián)，可能需要變化多個參數(shù)才能獲得更小的末端誤差。為提升算法性能，引入反向?qū)W習策略，讓部分編碼片段的元素值發(fā)生變化，剩余位置保持不變，位置發(fā)生變化的數(shù)量通過下面公式進行計算。

式中，N為需要反向?qū)W習的位置個數(shù)；n為裝配特征的總個數(shù)，k={1,2,3,…,n}。在粒子上隨機產(chǎn)生N個位置，并標記為1，位置標記為1的元素值進行反向?qū)W習。

Bi=1+Di-Bi

表2 蒙特卡洛仿真取值與末端誤差

式中，Bi為當前位置第i個裝配特征的參數(shù)等級，i={1,2,3,…,N}；Di為第i個裝配特征的最大等級。

為了讓算法在迭代次數(shù)增加后，更容易跳出局部最優(yōu)，需要引入懲罰函數(shù)機制。該機制能夠讓交叉概率Rc和變異概率Rm隨著優(yōu)化進程的進行，逐步達到最大值。懲罰函數(shù)可以表示如下:

Rc=Rc,min+(Rc,max-Rc,min)·progpen

Rm=Rm,min+(Rm,max-Rm,min)·progpen

式中，Rc,min和Rm,min分別是Rc和Rm的最小值；Rc,max和Rm,max分別是Rc和Rm的最大值。

3.4 算法流程

根據(jù)前文中GRLPSO方法的模型構建和求解過程，GRLPSO的偽代碼如下：

過程:GRLPSO方法Input:種群規(guī)模NP,裝配特征參數(shù),迭代次數(shù)G,特征維度DBegin:x←randi(NP,D);v←rand(NP,D);Pbesti←x;Gbest←min(fit_Pbest);For k=1 to G doωi=F(ωi-1) //權重更新Ric=F(Ri-1c) //交叉概率更新Rim=F(Ri-1m) //變異概率更新For i=1 to NP dox'i←x'i-1+vi;xi=S(x'i) //基于Sigmoid的離散If ?x?xlim then //超出左右邊界限制x←xlim;End Ifx'i←交叉(xi,Ric); //交叉操作x'i←變異(xi,Rim); //變異操作x'i←反向?qū)W習(xi); //反向?qū)W習策略If fit_xi

4 案例分析

4.1 最值模型有效性

圖3 蒙特卡洛參數(shù)校驗圖

從表2和圖3中可以發(fā)現(xiàn)：隨著N的增加，計算時間變長，各個方向的誤差不斷變大，但方差不斷減小。當N較小時，雖然模型求解時間短，但是誤差值卻遠小于N較大時的誤差值，且數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性也不夠，無法獲得裝配體末端誤差的真實值；當N=4時，末端誤差為0.36 mm，更接近裝配體末端誤差的真實值，方差也更趨近于0，但是，單次求解的時間需要57 s左右。而最值模型數(shù)據(jù)穩(wěn)定，求解時間短，單次求解時間僅需0.034 s。圖4為N=4時其中一次求解的末端誤差分布情況，從中可以發(fā)現(xiàn)：通過最值模型求解的誤差值大于蒙特卡洛仿真獲得的誤差值，說明雅克比旋量最值模型求解的末端誤差更接近真實值，模型具有效性。

(a) x軸誤差概率分布圖 (b) y軸誤差概率分布圖

(c) z軸誤差概率分布圖

4.2 算法性能分析

結(jié)合遺傳操作和反向?qū)W習策略對PSO算法進行改進，與標準的PSO算法、常用的改進方法(改進慣性權重取值IWPSO、改進種群多樣性PDPSO)、遺傳算法和模擬退火算法進行比較。30次求解結(jié)果如表3所示。

表3 算法性能比較

續(xù)表

從實驗結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：GA算法的求解時間雖然較短，但是最優(yōu)解較差，只有3.33%的概率能找到最優(yōu)解；SA算法獲得最優(yōu)解的概率能達到96%左右，但是相對其它算法求解時間較長，約為4 s；標準PSO算法獲得最優(yōu)解的概率只有26.67%，其它兩種改進算法性能有所提升，但也不能保證100%獲得最優(yōu)解。GRLPSO算法除了求解時間在1 s以內(nèi)之外，還能夠保證每次都找到最優(yōu)解。這是因為設計的交叉和變異算子能夠增加粒子間的信息交流，反向?qū)W習策略符合裝配特征參數(shù)之間相互關聯(lián)的實際情況。綜上可知本文提出的GRLPSO算法在求解此問題時，能夠優(yōu)于標準的PSO算法、其它改進的PSO算法、遺傳算法和模擬退火算法，具有良好的性能。

5 結(jié)論

本文基于雅克比旋量模型，分析平動和轉(zhuǎn)動矢量的約束關系，提出了雅克比旋量最值模型，并基于此建立裝配末端誤差優(yōu)化模型。用該模型計算裝配體末端累積誤差，能夠快速獲得誤差的最大分布區(qū)間，大幅縮短了通過蒙特卡洛方法求解誤差區(qū)間的時間，并保證了每次計算誤差的精度。

在傳統(tǒng)粒子群算法PSO基礎上，通過Sigmoid方程對粒子的位置進行離散化處理，引入交叉變異算子、反向?qū)W習策略，對算法進行改進，實現(xiàn)特征參數(shù)的組合優(yōu)化。實驗表明，GRLPSO算法相對于其它算法，能夠有效地提升求解質(zhì)量，提高求解速度，蒙特卡洛仿真驗證了模型的可靠性。