高 巖

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

電力成本主要取決于耗電的尖峰時段，解決這一問題的關(guān)鍵措施是削峰填谷。然而，僅依靠供給側(cè)管理無法實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，通過有效的需求側(cè)管理，不僅可以實(shí)現(xiàn)削峰填谷，達(dá)到供需平衡，同時能促進(jìn)節(jié)能減排、提高社會效益[1-4]。需求側(cè)管理是指通過采取有效的激勵措施，引導(dǎo)電力用戶改變用電方式，提高終端用電效率，優(yōu)化資源配置，實(shí)現(xiàn)最小成本電力服務(wù)所進(jìn)行的用電管理活動。需求響應(yīng)是需求側(cè)管理的解決方案之一，需求響應(yīng)的核心是價格響應(yīng)，通過建立有效的價格機(jī)制，鼓勵電力用戶合理安排用電時間，將負(fù)荷從高峰期轉(zhuǎn)移至低谷期[1-4]?，F(xiàn)有的定價機(jī)制主要包括：固定電價（flat price）、分時電價（time of use price）、尖峰電價 （critical peak price）和實(shí)時電價（real-time price）。

電能的瞬時性及相對較高的存儲成本，要求電力的供給量應(yīng)依據(jù)即時的電力需求來確定，雖然分時電價和尖峰電價較固定電價具有一定優(yōu)勢，但仍然無法完全反映電力的瞬時需求，因此需要更具有實(shí)時特征的價格機(jī)制。實(shí)時電價是電力使用過程中某一瞬間發(fā)生的費(fèi)用，非預(yù)先確定，而是在每個時段實(shí)時調(diào)整。通常在需求上升時電價調(diào)高，在需求下降時電價調(diào)低，激勵用戶在高峰時段減少用電量，在低谷時段適當(dāng)增加用電量，達(dá)到削峰填谷目的[5-6]。文獻(xiàn)[7]利用智能電表數(shù)據(jù)，將實(shí)時電價分別與固定電價和分時電價進(jìn)行比較，數(shù)據(jù)分析結(jié)果顯示實(shí)時電價在實(shí)現(xiàn)供需平衡和削峰填谷方面顯著優(yōu)于固定電價和分時電價。實(shí)時電價被廣泛認(rèn)為是最有效且經(jīng)濟(jì)的定價機(jī)制之一，是未來智能電網(wǎng)環(huán)境下最理想的定價機(jī)制之一。隨著智能電網(wǎng)和能源互聯(lián)網(wǎng)的建設(shè)和發(fā)展，特別是智能電表和智能用電設(shè)備逐漸普及，實(shí)施實(shí)時電價機(jī)制將得到有效的硬件支撐[1-4]。在智能電網(wǎng)環(huán)境下，通過智能電表的雙向通訊，用戶接收供電方發(fā)布的實(shí)時電價信息、電力消耗控制器（ECS）自動控制智能電器（包括智能空調(diào)、智能冰箱、智能熱水器、智能電動車等）的使用，執(zhí)行預(yù)先安排的負(fù)載方案，并將用電需求信息發(fā)送給供電方。

1 經(jīng)濟(jì)概念和系統(tǒng)概況

1.1 效用函數(shù)

一般來講，消費(fèi)數(shù)量越多，得到的滿足度越高，獲得的效用越大。但是，也存在這種情況：當(dāng)消費(fèi)量達(dá)到一定程度后，多余的消費(fèi)不再增加消費(fèi)者的滿足度，這時候多余的消費(fèi)數(shù)量沒有產(chǎn)生效用價值，從而消費(fèi)者的效用不再增加，即效用飽和。

現(xiàn)有電力系統(tǒng)資源配置和定價模型中，效用函數(shù)主要采用如下形式的分段二次函數(shù)[9-10]：

式中：x代表用戶的用電量； α和 ω為非負(fù)常數(shù)，ω稱為用電彈性系數(shù)。

下述對數(shù)效用函數(shù)也被經(jīng)常使用：

式中， ω，d為常數(shù)[11]。

1.2 系統(tǒng)概況

基于需求側(cè)管理的實(shí)時定價研究中，為討論方便，模型構(gòu)建通常對供給側(cè)進(jìn)行簡化，考慮一個供電系統(tǒng)提供用電。同時，假設(shè)有N個電力用戶，每個用戶都配有智能電表，智能電表能夠收集用戶的實(shí)時用電需求，也能夠收到供電方實(shí)時制定的電力價格。

火力發(fā)電依然是現(xiàn)階段電力生產(chǎn)的主要方式，在不考慮其他電能生產(chǎn)情況下，根據(jù)發(fā)電機(jī)組的物理特征，電力成本函數(shù)普遍采用單調(diào)增加的二次凸函數(shù)，即

式中：L為 電量；u，v，w為給定的常數(shù)[9-11]。

2 社會福利最大化方法

社會福利最大化方法兼顧供需雙方的利益，廣泛應(yīng)用于能源、環(huán)境、政府立項(xiàng)等公共產(chǎn)品的定價問題中，早在20 世紀(jì)60 年代，就被用于電力產(chǎn)品定價[12]。本文介紹實(shí)時定價的社會福利最大化方法。

2.1 數(shù)學(xué)模型

文獻(xiàn)[9]最先將社會福利最大化方法用于智能電網(wǎng)環(huán)境下的實(shí)時定價研究，建立如下的社會福利最大化模型：

如果對每個時段用電相互獨(dú)立地進(jìn)行考慮，將問題（4）轉(zhuǎn)化為對每個時段k求解以下優(yōu)化問題：

模型（5）的含義是在時段k上追求社會福利最大。

社會福利最大化模型（4）和模型（5）都可以用來確定最優(yōu)用電量、供電量和電力價格，但其含義有所不同。應(yīng)用模型（4），通常是在一個周期前設(shè)計出每一個時段的具體用電量和電價，稱為日前定價（day ahead pricing）模型；應(yīng)用模型（5）則是在每一個時段內(nèi)，實(shí)時確定該時段的具體用電量和電價，因此更具有實(shí)時特征。目前，依據(jù)上述兩個社會福利最大化模型確定電力價格的模式都稱為實(shí)時定價。

另外，如果不考慮調(diào)節(jié)供電量，即在每個時段上供電量是固定的，這時對應(yīng)的社會福利最大化模型如下：

社會福利最大化模型以電力消耗數(shù)量和生產(chǎn)數(shù)量作為決策變量，以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)用電和供電。直接求解社會福利最大化模型只能確定最優(yōu)用電量和供電量，因此確定實(shí)時電價不僅要求解社會福利最大化模型，還應(yīng)得到相應(yīng)的影子價格。影子價格描述經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)處于最優(yōu)狀態(tài)時，反映勞動消耗、資源稀缺程度和終端產(chǎn)品需求情況的價格，它能使資源配置向優(yōu)化方向發(fā)展，因此影子價格是較交換價格更為合理的價格。從數(shù)學(xué)模型上來講，影子價格是約束優(yōu)化問題的拉格朗日乘子[9,13]。因此，從定價目的出發(fā)，還要計算社會福利最大化模型的拉格朗日乘子，進(jìn)而獲得影子價格。

2.2 對偶方法

利用對偶方法求解優(yōu)化問題（5），基本思路是構(gòu)造函數(shù)

其對偶優(yōu)化為下面的極小極大問題

即求函數(shù)

關(guān)于 λk的極小問題。將所構(gòu)造的拉格朗日函數(shù)（7）分解為如下形式：

基于上述分離性，在梯度投影算法迭代過程中，將對偶問題

分解為用戶方和供電方兩個子問題，進(jìn)行獨(dú)立求解，得到下一個迭代點(diǎn)。

以上說明社會福利最大化模型的對偶方法具有分布式性質(zhì)。按文獻(xiàn)[9]給出的求解問題（10）的迭代方法，具體實(shí)現(xiàn)過程如下：供電方先給出一個擬定電價，每個用戶依據(jù)擬定電價和自身的用電效用確定最佳用電量，同時將其作為擬用電量傳送給供電方；供電方根據(jù)用戶的擬用電量，極大化自身的效益，確定新的最佳電價和最佳生產(chǎn)電量，同時將新的最佳電價作為擬定電價傳送給用戶。重復(fù)這個過程，直到擬用電量和擬定電價不變或變化微小，即得到用戶和供電雙方均可接受的電力價格和用戶的最佳用電量。計算過程滿足兩方面特征。一是分布式：每個用戶根據(jù)自己的用電效用和供電方提供的擬定電價獨(dú)立確定自己的最佳用電量；每個用戶不需要對外公布自己的用電效用，這樣既保護(hù)用戶的個人隱私，又避免集中處理所有用戶信息的不可操作性。二是實(shí)時信息互換：用戶實(shí)時向供電方提供擬用電量，供電方實(shí)時向用戶提供擬定電價。

優(yōu)化模型（4），（5），（6）是社會福利最大化基本模型，后續(xù)的研究工作主要集中在對模型（4），（5），（6）的改進(jìn)和推廣。推廣工作在求解方法和模型改進(jìn)兩方面進(jìn)行，有些工作將求解方法與模型的改進(jìn)、完善同步進(jìn)行，各項(xiàng)研究工作側(cè)重點(diǎn)不同。一些工作側(cè)重于求解方法，另外一些工作側(cè)重于模型的合理化構(gòu)建。

在算法研究方面，考慮到對偶函數(shù)的非光滑性，文獻(xiàn)[14]給出一種結(jié)合Vickrey-Clarke-Groves機(jī)制的對偶方法，提高了計算效率。對偶問題的目標(biāo)函數(shù)是非光滑函數(shù)，為克服非光滑性，文獻(xiàn)[15]將對偶次梯度方法進(jìn)行兩次光滑化，并在不同的迭代步選取不同的步長，提出了快速對偶梯度方法。文獻(xiàn)[16]提出了一種實(shí)時交互式方法，以加權(quán)線性、對數(shù)、指數(shù)和雙曲函數(shù)作為效用函數(shù)，同時求得用戶和供電方的效用。許多學(xué)者對以非二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)作為效用函數(shù)的對偶方法進(jìn)行了系統(tǒng)研究，例如選取分片線性函數(shù)[17]和Logistic 函數(shù)[18]作為效用函數(shù)，得到了較好的數(shù)值效果。

現(xiàn)實(shí)的電力系統(tǒng)運(yùn)行呈現(xiàn)多種復(fù)雜形態(tài)，基本社會福利最大化模型不能精細(xì)、有效地刻畫實(shí)際用電行為，因此研究人員對此模型從不同角度進(jìn)行了改進(jìn)和發(fā)展。

a. 考慮電器分類。

根據(jù)電器運(yùn)行特點(diǎn)，將用戶的電器分成3類：必須運(yùn)行電器、彈性電器、半彈性電器，在此基礎(chǔ)上建立相應(yīng)的社會福利最大化模型。必須運(yùn)行的電器：運(yùn)行時間及用電量均是固定的，不受電價影響，例如電冰箱、照明設(shè)備，需要連續(xù)工作的工業(yè)生產(chǎn)設(shè)備等。彈性電器：運(yùn)行時間及用電量受電價影響較大，電價高時用電量下降，電價低時用電量升高，例如空調(diào)、工業(yè)制冷設(shè)備等。半彈性電器：與彈性電器類似，受電價影響較大，但運(yùn)行期間總用電量是固定的，且運(yùn)行是連貫的，一旦開啟，在工作完成之前不能停止運(yùn)行，例如洗衣機(jī)、洗碗機(jī)等。文獻(xiàn)[11,19-23]分別在社會福利最大化模型基礎(chǔ)上討論電器分類情況。構(gòu)建的模型本質(zhì)上是在基本社會福利最大化模型基礎(chǔ)上增加一些約束，研究重點(diǎn)是對半彈性電器的處理，仍然利用對偶方法求解。在求解過程中只需計算平衡約束的拉格朗日乘子，對其他約束無需考慮拉格朗日乘子，構(gòu)建的對偶方法仍然保證分布式和實(shí)時信息互換兩個基本特征。

b. 考慮用戶配有可再生能源發(fā)電和電力存儲設(shè)備。

用戶所擁有的風(fēng)能、太陽能等分布式能源可以自用，多余的可以向電網(wǎng)出售。電力存儲設(shè)備在電價低時段存儲電能，在電價高時段使用存儲的電能。事實(shí)上，從定量分析角度，完全可以將微電網(wǎng)看成配有可再生能源發(fā)電和電力存儲設(shè)備的用戶。文獻(xiàn)[24] 較早地考慮可再生分布式能源，建立了社會福利最大化模型，給出了實(shí)時定價方法。文獻(xiàn)[25]在社會福利最大化模型中，既考慮可再生能源又考慮電力存儲，給出了一種復(fù)雜并網(wǎng)情況下的實(shí)時定價方法。文獻(xiàn)[26]同時考慮可再生能源和電力存儲并網(wǎng)情形的社會福利最大化模型，由于該模型涉及非光滑函數(shù)，設(shè)計了光滑化對偶方法。在這些工作建立的優(yōu)化模型中，目標(biāo)函數(shù)均為社會總福利，約束條件要求所有用戶的用電量、充電量之和小于等于供電量與所有可再生能源發(fā)電之和，增加的約束均為線性約束，構(gòu)建的對偶方法仍然保證分布式和實(shí)時信息互換特征。

c. 考慮用戶用電量為不確定變量。

在一些情況下用戶用電行為不能完全由其效用確定，對此情形，將用戶用電量作為不確定變量。用電量不確定現(xiàn)象更多出現(xiàn)在多時段模型，即日前定價模型中。文獻(xiàn)[27]較早考慮用戶用電量的不確定性，分別建立了邊界不確定模型、高斯分布模型、未知分布模型的社會福利最大化模型。后續(xù)的研究工作包括在社會福利最大化模型的目標(biāo)函數(shù)中減去關(guān)于用電量的方差項(xiàng)，建立對偶求解方法[28]；利用相鄰時段用電量之間的關(guān)系，建立社會福利期望最大化模型，利用隨機(jī)理論將此不確定模型轉(zhuǎn)化為確定性模型，然后構(gòu)建對偶求解方法[29-30]；利用馬爾科夫決策過程表示用戶調(diào)度各種類型電器和可再生能源發(fā)電量的不確定性[31]。

2.3 交替方向乘子法

交替方向乘子法(ADMM)是一種具有分布式計算能力，解決可分離凸優(yōu)化問題的有效方法，在信號處理、圖像處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用[32]。通過分解協(xié)調(diào)過程，交替方向乘子法可以將大規(guī)模問題分解為若干較小問題，再通過協(xié)調(diào)子問題的求解，得到整體問題的解。類似于對偶方法，交替方向乘子法既可以計算決策變量，同時還可以附帶計算到拉格朗日乘子，是計算影子價格的有效方法之一。

考慮如下形式的優(yōu)化問題：

利用ADMM 方法研究實(shí)時定價近幾年剛剛開始。文獻(xiàn)[33]和文獻(xiàn)[34]對于用電量上界不確定的多代理社會福利最大化模型，采用基于共識的序列ADMM 方法求解，保證每次迭代過程中電力能源供需平衡。文獻(xiàn)[35]對于動態(tài)社會福利最大化模型，提出了基于雅可比分布式共識的ADMM算法，同時獲得實(shí)時電價和用電量，在理論上討論了算法的速度，仿真實(shí)驗(yàn)也說明了方法的有效性。此外，一些文獻(xiàn)僅從需求側(cè)管理角度研究ADMM方法[36-39]，事實(shí)上這些研究工作很容易附帶得到電力價格。

2.4 KKT 系統(tǒng)方法

根據(jù)最優(yōu)化理論，在一定條件下凸優(yōu)化可以等價地轉(zhuǎn)化為帶有拉格朗日乘子的互補(bǔ)問題，即KKT 系統(tǒng)。社會福利最大化模型 (6) 的KKT 系統(tǒng)如下:

考慮式（1）給出的二次效用函數(shù)，此時社會福利最大化模型（6）是凸優(yōu)化，且與它的KKT 系統(tǒng)等價。系統(tǒng)（13）是非線性互補(bǔ)問題，其求解方法之一是利用互補(bǔ)函數(shù)將其等價地轉(zhuǎn)化為非光滑方程組。

如果二維空間 R2上的二維函數(shù) ?(a,b)滿足：

KKT 系統(tǒng)求解社會福利最大化模型另外一種方法是直接求解互補(bǔ)問題（13），利用此方法，一些研究工作同時考慮了電器分類和效用分類問題[40-41]。然而，近期主要關(guān)注的工作還是將KKT系統(tǒng)等價地轉(zhuǎn)化為非光滑方程組，同時對非光滑方程組設(shè)計更有效的光滑化函數(shù)[18,42-44]。

3 雙層優(yōu)化方法

作為公共產(chǎn)品，電力產(chǎn)品定價可以從政府定價和市場化兩個角度考慮。從政府定價角度出發(fā)追求社會效用最大，前面介紹的社會福利最大化方法是最有效的方法之一；從市場化角度考慮，即商業(yè)定價機(jī)制，目前主要利用博弈論和雙層優(yōu)化方法。在博弈論方法模型中，將供電方（電網(wǎng)）作為博弈一方，將電力用戶作為博弈的另一方，這一方面已有一系列有意義的工作[45-46]。本文介紹實(shí)時定價的雙層優(yōu)化方法。

雙層優(yōu)化指目標(biāo)函數(shù)中的一組變量被約束為另一優(yōu)化問題的最優(yōu)解，即一個優(yōu)化問題的參數(shù)受限于另外一個優(yōu)化問題，這兩個問題相互影響，也可稱為雙層規(guī)劃。在雙層優(yōu)化模型中，通常上層模型代表領(lǐng)導(dǎo)者，下層模型代表跟隨者。在求解過程中，上層首先給出一個決策，并傳遞給下層；下層模型根據(jù)這個決策信息，給出自己的最優(yōu)行為方案，并反饋給上層決策者。因此，雙層優(yōu)化模型在一定意義上具有博弈特征。雙層優(yōu)化能夠有效地描述具有層次結(jié)構(gòu)的決策系統(tǒng)，廣泛應(yīng)用于產(chǎn)品定價[47]、社會政策等國民經(jīng)濟(jì)各個領(lǐng)域。在電力市場運(yùn)營過程中，供電方和電力用戶的目標(biāo)和利益各不相同，但又相互關(guān)聯(lián)、相互影響制約，雙層優(yōu)化模型可有效地刻畫它們之間的分層次關(guān)系，促進(jìn)雙方協(xié)調(diào)發(fā)展。

在電力市場中，上層優(yōu)化的市場主體通常選取供電方，利潤最大化為其追求目標(biāo)。同前面社會福利最大化模型一樣，考慮一個供電系統(tǒng)提供用電，N個電力用戶，則在雙層優(yōu)化中為一個領(lǐng)導(dǎo)者（供電方），多個追隨者（多個電力用戶）。

在第k時段上，建立如下上層優(yōu)化模型：

其中，第一項(xiàng)為用戶用電帶來的效用，第二項(xiàng)是用電成本。模型（18）以用戶的用電量為決策變量，以用戶的用電總效用減去總成本即用戶總福利為目標(biāo)。

在上述雙層優(yōu)化模型求解過程中，上層模型首先給出擬定電價，并傳遞給下層；下層模型根據(jù)這個擬定電價，給出自己的用電量，并反饋給上層決策者；上層決策者依據(jù)反饋信息調(diào)整新的電價，再次傳遞給下層，依次迭代。重復(fù)這個過程，直到電價不變或變化微小，即得到用戶和供電雙方均可接受的電價。

求解雙層優(yōu)化有許多方法，對于雙層凸優(yōu)化，可將下層模型等價地用其KKT 系統(tǒng)代替，轉(zhuǎn)化為單層規(guī)劃。選取效用函數(shù)Ui(xki,ωki)如式(1)給出的二次效用函數(shù)，此時下層模型(18) 是凸優(yōu)化，可以等價地轉(zhuǎn)為其KKT 系統(tǒng)。

除上述模型（17），（18）外，也有較多類似的模型，例如有模型將供電方的社會成本作為上層目標(biāo)，電力用戶用電成本作為下層目標(biāo)[48-49]。最近的研究工作主要集中在考慮可再生能源、電力存儲設(shè)備、微電網(wǎng)并網(wǎng)情形。文獻(xiàn)[50]考慮用戶配有可再生能源和電力存儲設(shè)備，根據(jù)價格形成過程中供電方和用戶之間的互動關(guān)系，建立實(shí)時定價雙層優(yōu)化模型，利用KKT 條件、光滑化方法將雙層優(yōu)化轉(zhuǎn)化為光滑的單層優(yōu)化問題，在此基礎(chǔ)上設(shè)計滾動罰函數(shù)算法求解模型。對用戶配有可再生能源和存儲設(shè)備，以及微電網(wǎng)并網(wǎng)的實(shí)時定價策略也有若干文獻(xiàn)進(jìn)行了系統(tǒng)研究[51-53]。這里的微電網(wǎng)是指一種微型配電系統(tǒng)，包含小型光伏發(fā)電系統(tǒng)（PV）、儲能系統(tǒng)（BESS）、各種類型負(fù)荷用戶，如大型工業(yè)用戶、商業(yè)用戶、智能小區(qū)等，它既可以自發(fā)自用，又可以在發(fā)電量多余的情況下賣給主網(wǎng)。將電動車作為一個特殊的電力存儲設(shè)備，文獻(xiàn)[54]同時考慮微電網(wǎng)和電動車充電問題。

文獻(xiàn)[55-56]考慮綜合能源系統(tǒng)，即主網(wǎng)有可再生能源等不確定能源發(fā)電，分別討論日前定價和實(shí)時定價?？紤]綜合能源系統(tǒng)的實(shí)時定價機(jī)制是近期受到關(guān)注的一個研究問題。

4 總結(jié)與展望

作為現(xiàn)代電力系統(tǒng)理想的定價機(jī)制，實(shí)時定價研究工作開展已十余年，盡管取得了長足進(jìn)展，但還有許多挑戰(zhàn)性工作需要完成。在此列舉幾個實(shí)時定價優(yōu)化方法研究值得關(guān)注的問題。

a. 多能互補(bǔ)綜合能源系統(tǒng)實(shí)時定價機(jī)制研究。目前對微網(wǎng)、用戶配有可再生能源發(fā)電等情形研究較多，對考慮主網(wǎng)有可再生能源發(fā)電情況的研究較少。

b. 實(shí)時定價分布式優(yōu)化算法研究。隨著系統(tǒng)模型構(gòu)建日趨實(shí)用化，導(dǎo)致優(yōu)化模型越來越復(fù)雜，給相應(yīng)分布式優(yōu)化方法設(shè)計帶來困難，現(xiàn)有的許多優(yōu)化算法缺少分布式特征。

c. 根據(jù)具體模型設(shè)計有針對性的實(shí)時定價優(yōu)化方法。運(yùn)籌學(xué)和數(shù)學(xué)優(yōu)化提供的優(yōu)化算法一般來說屬于理論框架，解決具體優(yōu)化問題需要對現(xiàn)有優(yōu)化算法再設(shè)計，以提高精度和計算效率，特別是實(shí)時定價算法要求具有快速響應(yīng)特性，更需要對優(yōu)化算法再設(shè)計。