鄭建擁, 魏光輝

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)電磁環(huán)境效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 河北 石家莊 050003)

0 引 言

由于現(xiàn)代電子產(chǎn)品如5G手機(jī)、虛擬現(xiàn)實(shí)和物聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展和普及,電磁環(huán)境變得非常復(fù)雜。伴隨而來(lái)的復(fù)雜電路系統(tǒng),包括非線性元件、不連續(xù)結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的激勵(lì)信號(hào),會(huì)遇到串?dāng)_、輻射泄漏、高次諧波以及由此產(chǎn)生的非線性電磁輻射等問(wèn)題,已經(jīng)成為射頻干擾和寬帶輻射雜散發(fā)射的噪聲源。通常,這些信號(hào)和輻射只能被記錄和呈現(xiàn)為時(shí)域或頻域信號(hào),而環(huán)境中電磁輻射的動(dòng)態(tài)變化也對(duì)信號(hào)處理和工程技術(shù)提出了高要求。因此,正確實(shí)時(shí)分析和解釋電磁輻射的更多物理特性具有重要意義。為了解決這一問(wèn)題,學(xué)者們提出了一種對(duì)傳統(tǒng)掃頻測(cè)量的頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉反變換的頻域瞬態(tài)建模方法。然而,這種方法需要在頻域和時(shí)域分辨率之間進(jìn)行權(quán)衡,通常需要大量的測(cè)量時(shí)間才能達(dá)到預(yù)期的效果。為了解決這一問(wèn)題,出現(xiàn)了幾種時(shí)域電磁干擾(electromagnetic interference,EMI)測(cè)量系統(tǒng),利用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)減少測(cè)量時(shí)間,如模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器和數(shù)字示波器。這些時(shí)域EMI測(cè)量系統(tǒng)具有多分辨率、全頻譜、省時(shí)、低成本等優(yōu)點(diǎn)。隨后,經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解,也被稱為Hilbert-Huang變換,將時(shí)變數(shù)據(jù)集分解為幾個(gè)內(nèi)在模態(tài)函數(shù),提供對(duì)測(cè)量結(jié)果的物理解釋。然而,由于時(shí)域測(cè)量方法的限制,對(duì)保留信號(hào)完整性至關(guān)重要的輻射場(chǎng)空間信息丟失了。隨著時(shí)域數(shù)值方法和先進(jìn)的空間實(shí)驗(yàn)技術(shù)對(duì)電磁輻射、時(shí)變輻射場(chǎng)數(shù)據(jù)的高空間分辨率分析的發(fā)展,學(xué)者們開(kāi)發(fā)了基于空間特征提取來(lái)定義物理特征輻射的領(lǐng)域。尤其是,奇異值分解可以從微帶線的輻射場(chǎng)中提取模態(tài),其中每個(gè)模態(tài)由特征幅值來(lái)區(qū)分。還有研究將奇異值分解和時(shí)域有限差分相結(jié)合,可以提取出所有可能的傳播模態(tài)和倏逝模態(tài)而不需要有復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)知識(shí)。然而,上述空間分析方法中丟失了時(shí)域信息,因此在分解的結(jié)果中沒(méi)有明確的時(shí)間物理意義。

針對(duì)這些信號(hào)分析方法時(shí)-頻-空間不兼容的問(wèn)題,動(dòng)態(tài)模態(tài)分解(dynamic mode decomposition,DMD)被開(kāi)發(fā)出來(lái)。DMD來(lái)源于庫(kù)普曼理論和動(dòng)力系統(tǒng)的結(jié)合,是一種無(wú)方程的、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法,可以在短時(shí)間內(nèi)對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)中的時(shí)空相干結(jié)構(gòu)進(jìn)行評(píng)估甚至預(yù)測(cè),已成為一種處理時(shí)空信號(hào)的新工具。DMD方法的核心是將本征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)這一空間降維技術(shù)與時(shí)域傅里葉變換相結(jié)合。更準(zhǔn)確地說(shuō),DMD方法在數(shù)據(jù)收集范圍內(nèi)生成一個(gè)線性動(dòng)力系統(tǒng)的最小二乘回歸。在具有可觀測(cè)狀態(tài)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中,基于局部線性假設(shè),該方法可以得到動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的主模態(tài)及其變化規(guī)律。該方法通過(guò)低維分解狀態(tài)來(lái)捕捉非線性動(dòng)力場(chǎng)的主要特征,產(chǎn)生非線性偏微分方程的可觀測(cè)值,并在全球電力系統(tǒng)和大規(guī)模神經(jīng)記錄中提取顯著的時(shí)空模式。但是在諸多研究中,DMD多用于流體動(dòng)力學(xué)、振動(dòng)力學(xué)等動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域,而在電路和電磁輻射信號(hào)分析等電動(dòng)力學(xué)方面,并沒(méi)有很深入的研究。在射頻信號(hào)分析方面也沒(méi)有時(shí)空耦合的分析方法。

同時(shí),在時(shí)間和空間上的多尺度系統(tǒng)建模,已經(jīng)滲透到工程、生物和物理科學(xué)的現(xiàn)代理論和計(jì)算工作中。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的創(chuàng)新方法和算法規(guī)避了連接微觀和宏觀尺度效應(yīng)的重大挑戰(zhàn)。這種多分辨率分析(multi-resolution analysis, MRA)一般是基于小波變換或加窗傅里葉變換來(lái)執(zhí)行的。Kutz整合了DMD分解與小波理論,將MRA的概念與最近興起的DMD相結(jié)合,提出一種產(chǎn)生低維時(shí)空模態(tài)的技術(shù),提出的多分辨率DMD(multi-resolution DMD, mrDMD)能夠自然地整合空間和時(shí)間,方便地分離多尺度時(shí)空特征,并建立近似的動(dòng)力學(xué)模型。

mrDMD兼具DMD的所有優(yōu)點(diǎn)。首先,不需要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法所要求的訓(xùn)練過(guò)程,避免了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所需的大量數(shù)據(jù)和訓(xùn)練時(shí)間。其次,這種純數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法不受時(shí)頻分辨率限制,可以實(shí)現(xiàn)基于數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)分析。第三,提取的DMD頻譜和動(dòng)態(tài)模式分別在時(shí)域和空間域提供了明確的物理意義。最后,提出的方法可以降低維數(shù)。分解后的動(dòng)態(tài)模態(tài)中已經(jīng)包含了線性和非線性系統(tǒng)的主要特征。mrDMD最顯著的改進(jìn),是增強(qiáng)了頻率捕捉的能力,并且在醫(yī)學(xué)檢測(cè)、圖像處理、非線性分析等領(lǐng)域取得了良好的成果。但在電磁領(lǐng)域,還沒(méi)有相關(guān)應(yīng)用。

本文首次將mrDMD引入到電磁信號(hào)分析領(lǐng)域,在mrDMD的基礎(chǔ)上結(jié)合時(shí)頻分布,提取各模態(tài)瞬時(shí)能量特征,并對(duì)電磁輻射信號(hào)進(jìn)行分析。且首次從時(shí)-頻-空間-能量4個(gè)方面多角度動(dòng)態(tài)偵測(cè)電磁環(huán)境,解決了電磁信號(hào)時(shí)-頻-空間-能量分析不兼容的問(wèn)題。這個(gè)新方法可以為大規(guī)模EMI分析提供強(qiáng)有力的工具。

1 DMD理論基礎(chǔ)

DMD方法將時(shí)空相干的數(shù)據(jù)分解為一組動(dòng)態(tài)模式,這些動(dòng)態(tài)模式來(lái)源于給定系統(tǒng)采集的數(shù)據(jù)快照或測(cè)量結(jié)果。數(shù)據(jù)收集過(guò)程涉及兩個(gè)參數(shù):,每個(gè)時(shí)間快照的空間測(cè)量的數(shù)量;,時(shí)間快照的數(shù)量。DMD中時(shí)間快照的間隔可以是不規(guī)律的,但是為了敘述方便,設(shè)定快照間隔的時(shí)間相等:

=-1+Δ

(1)

式中:采集時(shí)間開(kāi)始于,結(jié)束于;為整數(shù)計(jì)數(shù)單位,Δ為數(shù)據(jù)采集時(shí)間間隔。在mrDMD方法中,由于算法提取的是多時(shí)間尺度時(shí)空結(jié)構(gòu),快照總數(shù)會(huì)發(fā)生變化,數(shù)據(jù)快照被排列成一個(gè)×矩陣。這將在下一章詳細(xì)解釋。

=[(),(),…,()]

(2)

式中:向量為維列向量,是在數(shù)據(jù)采集點(diǎn)上感興趣的系統(tǒng)狀態(tài)變量的個(gè)測(cè)量值,目的是挖掘數(shù)據(jù)矩陣中重要的動(dòng)態(tài)信息。接著,截取中的一個(gè)×分矩陣,定義為

(3)

DMD方法近似于所謂的庫(kù)普曼算子的模態(tài)。庫(kù)普曼算子是一個(gè)線性的、無(wú)限維的算子,具體的過(guò)程是對(duì)其最佳擬合線性算子的特征分解進(jìn)行近似,該算子將時(shí)刻的狀態(tài)與下一個(gè)時(shí)間的狀態(tài)+1相關(guān)聯(lián):

+1≈

(4)

(5)

由此,式(4)可以寫(xiě)成如下形式:

(6)

相反地,DMD通過(guò)應(yīng)用基于POD投影矩陣的秩約化表示來(lái)繞過(guò)的特征分解。DMD算法具體如下。

(7)

(8)

(9)

式中:的列是特征向量;是包含相應(yīng)特征值的對(duì)角矩陣。

最后,可以從和中重建的特征分解。的特征值由給出,的特征向量(即DMD的模態(tài))由列給出:

(10)

得到所有特征值和特征向量以后,就可以構(gòu)造未來(lái)所有時(shí)間的預(yù)測(cè)解。為了方便,首先重寫(xiě)=ln()Δ,然后給出所有未來(lái)時(shí)間的近似解():

(11)

現(xiàn)在只剩下計(jì)算初始系數(shù)值(0)。如果考慮=0時(shí)刻的初始快照,那么結(jié)合式(11)得出的=,通常不是一個(gè)方陣,所以其解一般表示為

=

(12)

式中:表示在Matlab中通過(guò)pinv命令解出的Moore-Penrose偽逆。偽逆等價(jià)于在最小二乘(最佳擬合)意義上找到最佳解決方案。到此,完成DMD的基本推導(dǎo)。

2 mrDMD

mrDMD的靈感來(lái)自于視頻處理和傳輸中分離慢模塊和快模塊的技術(shù),其可以遞歸地從給定的快照集合中分離出低頻或緩慢變化的內(nèi)容。一般來(lái)講,需要合適地選擇快照的數(shù)量,以便DMD提供所采集到的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的近乎全秩的近似模態(tài)。因此，可以選擇,使所有的高頻和低頻內(nèi)容都存在。在mrDMD中,最初以同樣的方式選擇,這樣就可以完成一個(gè)近乎全秩的近似。從這個(gè)初始的數(shù)據(jù)傳遞過(guò)程中,最慢的模態(tài)被分離出,然后數(shù)據(jù)域被分成兩部分,每部分有/2個(gè)快照。之后還會(huì)對(duì)這兩部分的快照再次執(zhí)行DMD。再次分離出最慢的模態(tài),并繼續(xù)執(zhí)行算法,直到期望的終止。在數(shù)學(xué)上,mrDMD在第一輪DMD過(guò)程如下:

(13)

式(13)中的第一個(gè)和表示慢模塊動(dòng)態(tài),而第二個(gè)和是所有其他的。因此,可以計(jì)算第二個(gè)和,得到矩陣:

(14)

接著,在2上進(jìn)行第二輪DMD分解,主要注意的是,2已經(jīng)被分為兩部分:

(15)

(16)

3 時(shí)頻分布

近年來(lái),時(shí)頻分析在信號(hào)處理領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注。時(shí)頻處理方法是將信號(hào)顯示在一個(gè)完整的空間中,可以提供更多的信號(hào)信息,是結(jié)合頻域和時(shí)域發(fā)展起來(lái)的信號(hào)處理方法,而且這些方法在非平穩(wěn)信號(hào)處理中更為實(shí)用。但是,目前信號(hào)的振幅或功率譜不能提供信號(hào)頻率如何隨時(shí)間變化的信息,而這一信息對(duì)于調(diào)頻或非平穩(wěn)信號(hào)非常重要。尤其是目前工程技術(shù)要求實(shí)時(shí)分析變化的電磁信號(hào)的多種特征信息。

為了使mrDMD能更進(jìn)一步地提取電磁信號(hào)的能量特征,采用蔡氏分布(Choi-Williams distribution,CWD)方法觀察所有模態(tài)的時(shí)頻分布:

(17)

的值指定了在時(shí)間-頻率平面上去除重疊部分的剩余信號(hào)的數(shù)量。研究表明:

(1) CWD是實(shí)值;

(2) 信號(hào)在時(shí)間(或頻率)上的移位導(dǎo)致相應(yīng)的分布移位;

(3) 在每個(gè)頻率上所有時(shí)間的CWD的積分等于該頻率上信號(hào)的頻譜密度;

(4) 每一時(shí)刻的CWD對(duì)所有頻率的積分為該時(shí)刻的瞬時(shí)功率;

(5) 在整個(gè)(,)平面上的積分等于總信號(hào)能量。

需要注意的是,在時(shí)頻域檢測(cè)信號(hào)的特性比單獨(dú)在時(shí)域或頻域檢測(cè)信號(hào)的特性要容易得多。為了提取電磁信號(hào)的時(shí)-頻-能量這3種相互關(guān)聯(lián)的特征信息,沿時(shí)間軸和頻率軸的時(shí)頻平面,將整個(gè)平面劃分成不同的區(qū)域,然后通過(guò)積分可以獲得每個(gè)區(qū)域的能量隨時(shí)域(頻域)動(dòng)態(tài)變化的具體過(guò)程。CWD可以詳細(xì)描述沿時(shí)間軸、頻率軸和整個(gè)時(shí)頻平面的能量變化,而能量變化的細(xì)節(jié)更能提供有用的信息。而整體特征,例如時(shí)頻平面的總能量,可以通過(guò)求和獲得,也可以為電磁信號(hào)分析提供一部分參考。

具體而言,首先將時(shí)頻平面劃分為小的、相等的窗口,然后計(jì)算每個(gè)窗口的能量(,其中和分別表示沿時(shí)間和頻率的坐標(biāo))。這些能量歸一化后的總和為時(shí)頻平面的全部能量。對(duì)信號(hào)細(xì)節(jié)的分析具體可以通過(guò)調(diào)節(jié)小窗口的大小和數(shù)量來(lái)掌控。而沿不同方向的積分(時(shí)域軸和頻域軸)可以獲得不同類(lèi)型的信號(hào)特征信息。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文的方法,利用Matlab的simulink工具箱,建立了兩個(gè)方向正交、頻率不同的二維時(shí)空耦合的射頻電磁信號(hào)模型,并在加入高斯白噪聲后合成混合信號(hào),通過(guò)上述方法流程進(jìn)行處理。

信號(hào)1沿軸正方向傳播,設(shè)置為10 ns。的頻率設(shè)置為100 MHz,其公式如下:

=sin(-2π)cos(2)exp()

(18)

信號(hào)2沿軸正方向傳播,的頻率設(shè)置為50 MHz,其公式如下:

=sincos(2-π)exp()

(19)

兩個(gè)信號(hào)的動(dòng)態(tài)傳播演示如圖1所示,分別截取了總信號(hào)和兩個(gè)分信號(hào)一個(gè)周期的傳播形態(tài)。

圖1 仿真信號(hào)動(dòng)態(tài)演示Fig.1 Dynamic demonstration of simulated signal

需要注意的是,圖1中代指各信號(hào)周期,不代表具體時(shí)間。接下來(lái)對(duì)總信號(hào)進(jìn)行mrDMD處理,分解后的前三階模態(tài)如圖2所示。

圖2 mrDMD結(jié)果Fig.2 Results of mrDMD

需要注意的是,圖2中黑色箭頭代表的是電磁波的傳播和振動(dòng)方向。如圖2所示,mrDMD清晰地將不同頻率和不同方向的兩個(gè)時(shí)空耦合信號(hào)分離開(kāi)來(lái),而第三階分解模態(tài)代表了高斯噪聲。

圖3是經(jīng)過(guò)CWD的總信號(hào)時(shí)頻分析結(jié)果。圖4是經(jīng)過(guò)CWD的兩個(gè)分信號(hào)時(shí)頻分析結(jié)果?？梢?jiàn),mrDMD對(duì)兩個(gè)信號(hào)和噪聲的分離效果比較理想。結(jié)合圖3和圖4,可以采集更多電磁信號(hào)的時(shí)-頻-能量信息。

圖3 總信號(hào)CWD分析結(jié)果Fig.3 CWD analysis results of total signal

圖4 兩個(gè)分信號(hào)CWD分析結(jié)果Fig.4 CWD analysis results of two subsignals

為了定量理解所提出方法的精度,使用均方誤差(mean squared error, MSE)函數(shù)作為誤差指標(biāo):

(20)

式中:()為實(shí)際電磁信號(hào)(場(chǎng))的強(qiáng)度；()為DMD分解后重組或者預(yù)測(cè)的電磁信號(hào)(場(chǎng))強(qiáng)度;將兩個(gè)分信號(hào)組合后得到重構(gòu)信號(hào),并計(jì)算重構(gòu)信號(hào)和實(shí)際信號(hào)的MSE,如圖5所示,MSE的平均值在-18 dB以下,驗(yàn)證了方法的良好效果。第5 ns時(shí),MSE最大的誤差主要來(lái)自仿真中的數(shù)值誤差和分解中的殘差誤差。

圖5 重組信號(hào)和原信號(hào)的MSEFig.5 MSE of the recombinant signal and the original signal

需要注意的是,mrDMD要求每個(gè)時(shí)間快照保存的空間點(diǎn)的數(shù)量應(yīng)該大于快照的數(shù)量,且mrDMD在觀察時(shí)需要等間隔的時(shí)間采樣。另外,觀測(cè)中的噪聲會(huì)干擾式(8)中的矩陣,使分解結(jié)果失真,從而使預(yù)測(cè)或重組的性能變差,對(duì)于長(zhǎng)時(shí)間預(yù)測(cè)尤其如此，而且mrDMD方法只適合于分析非平穩(wěn)電磁信號(hào)。此外,DMD方法可以看作是庫(kù)普曼算子的有限維近似,其中觀測(cè)函數(shù)是數(shù)據(jù)本身。因此,在DMD方法中重建和預(yù)測(cè)的效果完全依賴于數(shù)據(jù),這也就對(duì)信號(hào)的探測(cè)和采集提出了更高的要求。

5 結(jié) 論

以精確、實(shí)時(shí)的分析電磁信號(hào)的時(shí)空-頻率-能量特征,適應(yīng)目前動(dòng)態(tài)變化的電磁信號(hào)分析的工程要求為目的,首次提出了對(duì)電磁射頻信號(hào)進(jìn)行多重特征分析。采用mrDMD和CWD分析方法,對(duì)電磁信號(hào)的時(shí)間、空間、頻率、能量特征進(jìn)行了采集?？傻贸鲆韵陆Y(jié)論:

(1) mrDMD可以有效地分離出時(shí)空耦合的不同頻率的射頻電磁信號(hào)和噪聲,并且可以精確地捕捉信號(hào)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);

(2) CWD視頻分析技術(shù)可以應(yīng)用于mrDMD分解出的模態(tài)的時(shí)頻分析,在時(shí)-頻-能量特征的采集方面具有比較理想的效果;

(3) 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了提出的電磁射頻信號(hào)時(shí)空-頻率-能量分析方法的可行性,可以為抗電磁干擾提供一定工程參考。