劉文吉, 杜佳璐,*, 李 健, 李 諍

(1. 大連海事大學(xué)船舶電氣工程學(xué)院, 遼寧 大連 116026; 2. 大連海事大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院, 遼寧 大連 116026)

0 引 言

作業(yè)中的船舶在風(fēng)、浪等作用下產(chǎn)生橫漂、前進(jìn)、升沉、橫搖、縱搖和艏搖運(yùn)動(dòng),不可避免地威脅到船上設(shè)備的運(yùn)行安全[1]。船舶動(dòng)力定位系統(tǒng)可抑制船舶的橫移、前進(jìn)和艏搖運(yùn)動(dòng)[2-3],而船舶的橫搖、縱搖和升沉運(yùn)動(dòng)需要通過船載穩(wěn)定平臺(tái)來隔離其對(duì)船上設(shè)備的影響,從而使船載穩(wěn)定平臺(tái)上支撐面相對(duì)慣性空間保持穩(wěn)定,使船上設(shè)備安全平穩(wěn)作業(yè)。實(shí)際中,船載穩(wěn)定平臺(tái)是一個(gè)具有高度非線性、強(qiáng)耦合、變負(fù)載的多變量系統(tǒng)[4-6],并遭受隨機(jī)變化且不可預(yù)知的海洋環(huán)境引起的船舶搖蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)其產(chǎn)生的擾動(dòng),導(dǎo)致船載穩(wěn)定平臺(tái)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型具有動(dòng)態(tài)不確定和擾動(dòng)不確定,加大了船載穩(wěn)定平臺(tái)鎮(zhèn)定控制難度。

自20世紀(jì)50年代至今,陀螺式穩(wěn)定平臺(tái)研究已相對(duì)成熟。針對(duì)艦載雷達(dá)穩(wěn)定平臺(tái),文獻(xiàn)[7]將模糊邏輯控制與傳統(tǒng)比例-積分-微分(proportional-integral-derivative, PID)相結(jié)合,設(shè)計(jì)模糊PID控制器,較好地克服了系統(tǒng)非線性因素的影響。文獻(xiàn)[8]采用灰色滑模算法設(shè)計(jì)陀螺穩(wěn)定平臺(tái)穩(wěn)定控制器,有效減小了系統(tǒng)非線性摩擦擾動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]分別根據(jù)自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)的思想設(shè)計(jì)了陀螺式平臺(tái)鎮(zhèn)定控制器,有效提高了系統(tǒng)的魯棒性。然而,陀螺式平臺(tái)由于其自身結(jié)構(gòu)的限制,其承載能力低。

相較于陀螺式平臺(tái),并聯(lián)平臺(tái)具有承載能力高等優(yōu)點(diǎn)[11-13]。文獻(xiàn)[14]針對(duì)一個(gè)并聯(lián)三自由度船載平臺(tái),根據(jù)測(cè)得的船舶橫搖、縱搖和升沉運(yùn)動(dòng)量進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)反解,解算出平臺(tái)每個(gè)液壓缸的期望伸縮量,并設(shè)計(jì)位置PI控制器,協(xié)同控制3個(gè)液壓缸,補(bǔ)償船舶橫搖、縱搖和升沉三自由度運(yùn)動(dòng),使船載平臺(tái)上支撐面保持平穩(wěn),從而隔離船舶運(yùn)動(dòng)對(duì)船上設(shè)備產(chǎn)生的擾動(dòng)。針對(duì)3-SRR/SRU型并聯(lián)三自由度船載平臺(tái),文獻(xiàn)[15]在運(yùn)動(dòng)學(xué)反解基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了PID控制器,實(shí)現(xiàn)了船載平臺(tái)穩(wěn)定控制。文獻(xiàn)[16]將滑模控制和PID控制相結(jié)合,為3-RPS型并聯(lián)平臺(tái)設(shè)計(jì)了代理滑模穩(wěn)定控制器。文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)了一種3-SRR/RCR型并聯(lián)三自由度船載平臺(tái)及其非線性模型預(yù)測(cè)鎮(zhèn)定控制器,仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的平臺(tái)鎮(zhèn)定控制器在控制性能和能效方面優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制器。針對(duì)一款Stewart結(jié)構(gòu)船載平臺(tái),文獻(xiàn)[18]提出一種基于船舶運(yùn)動(dòng)預(yù)報(bào)的模型預(yù)測(cè)控制策略,并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制策略的有效性及高精度。上述文獻(xiàn)均未考慮船載穩(wěn)定平臺(tái)所遭受到的未知外界擾動(dòng)的影響,這是不實(shí)際的。針對(duì)2UPS-RPS-PS型并聯(lián)三自由度冗余驅(qū)動(dòng)穩(wěn)定平臺(tái),考慮穩(wěn)定平臺(tái)建模誤差及遭受的外部干擾,文獻(xiàn)[19]在動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)上,提出了基于終端滑模的平臺(tái)穩(wěn)定控制策略,計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真及樣機(jī)物理實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了穩(wěn)定控制策略的有效性。針對(duì)3-RRPRP/RS并聯(lián)復(fù)合驅(qū)動(dòng)的三自由度船載穩(wěn)定平臺(tái),考慮穩(wěn)定平臺(tái)所遭受的內(nèi)部及外部干擾,文獻(xiàn)[20]將滑模變結(jié)構(gòu)控制方法與擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer,ESO)相結(jié)合,提出了基于ESO的船載平臺(tái)滑模變結(jié)構(gòu)鎮(zhèn)定控制策略,計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真及樣機(jī)物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的鎮(zhèn)定控制策略能補(bǔ)償船舶運(yùn)動(dòng)。針對(duì)并聯(lián)三自由度船載平臺(tái),文獻(xiàn)[21]考慮到平臺(tái)橫搖、縱搖、升沉運(yùn)動(dòng)之間存在耦合及所遭受的動(dòng)態(tài)不確定與未知外界擾動(dòng),將其視為總擾動(dòng),構(gòu)造ESO,實(shí)時(shí)估計(jì)這個(gè)總擾動(dòng),并設(shè)計(jì)PID反饋控制律,實(shí)現(xiàn)平臺(tái)的穩(wěn)定控制。

本文針對(duì)并聯(lián)三自由度船載穩(wěn)定平臺(tái)(下文均簡(jiǎn)稱為船載平臺(tái)),同時(shí)考慮存在動(dòng)態(tài)不確定以及風(fēng)、浪等引起的船舶搖蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)船載平臺(tái)造成的未知外界擾動(dòng),構(gòu)造超螺旋擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(super-twisting extended state observer,STESO),進(jìn)一步,提出基于STESO的超螺旋滑模(super-twisting sliding mode,STSM)鎮(zhèn)定控制方案,使得船載平臺(tái)上支撐面漸近調(diào)節(jié)于慣性空間中某一期望的位姿,并保持不變,使船載平臺(tái)隔離船舶的橫搖、縱搖和升沉運(yùn)動(dòng)對(duì)船上設(shè)備運(yùn)行安全的影響。

1 問題描述與預(yù)備知識(shí)

如圖1所示,定義北東坐標(biāo)系與船載平臺(tái)上支撐面坐標(biāo)系。{NE}-OneXneYneZne為北東坐標(biāo)系,其坐標(biāo)原點(diǎn)One可取為地球表面上的任何一點(diǎn),OneXne軸和OneYne軸分別指正北、正東方向,OneZne軸垂直于地球表面指向下,{NE}-OneXneYneZne為慣性坐標(biāo)系。{TP}-OtpXtpYtpZtp為船載平臺(tái)上支撐面坐標(biāo)系,將其坐標(biāo)原點(diǎn)Otp選在上支撐面的質(zhì)心,OtpXtp軸平行于船舶中線從船尾指向船艏,OtpYtp軸垂直船舶中線指向船舶右舷,OtpZtp軸垂直于OtpXtpYtp平面指向船底。平面OneXneYne與OtpXtpYtp均平行于靜水面。

依據(jù)牛頓-歐拉法,建立船載平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程[22]為

(1)

式中:p=[z,φ,θ]T為船載平臺(tái)上支撐面在慣性坐標(biāo)系下的位姿,由升沉位移z、橫搖角φ和縱搖角θ組成;τ=[τ1,τ2,τ3]T表示船載平臺(tái)運(yùn)動(dòng)控制向量,τ1為升沉控制力、τ2為橫搖控制力矩、τ3為縱搖控制力矩;τd=[τd1,τd2,τd3]T表示海洋環(huán)境引起的船舶運(yùn)動(dòng)對(duì)船載平臺(tái)的擾動(dòng),τd1為升沉擾動(dòng)力、τd2為橫搖擾動(dòng)力矩、τd3為縱搖擾動(dòng)力矩;M(p)∈R3×3為慣性矩陣,其表達(dá)式為

(2)

(3)

G=[mpg,0,0]T為重力向量,g為重力加速度。

假設(shè) 2風(fēng)、浪等海洋環(huán)境引起的船舶運(yùn)動(dòng)對(duì)船載平臺(tái)的擾動(dòng)τd是未知時(shí)變的,τd,i(i=1,2,3)及其變化率是有界的。

其中,船載平臺(tái)的動(dòng)態(tài)模型參數(shù)難以精確獲得;另外風(fēng)、浪等對(duì)船舶運(yùn)動(dòng)的干擾具有明顯的隨機(jī)性,且預(yù)先是不可知的,但其所具有的能量有限。因此,假設(shè)1與假設(shè)2合理。

控制目標(biāo):在假設(shè)1與假設(shè)2的條件下,設(shè)計(jì)船載平臺(tái)鎮(zhèn)定控制律,使得船載平臺(tái)上支撐面保持在慣性坐標(biāo)系中某一期望的位姿pd=[zd,φd,θd]T不變。

引理 1[23]考慮系統(tǒng):

(4)

(5)

(6)

2 船載平臺(tái)鎮(zhèn)定控制律設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

本節(jié)首先設(shè)計(jì)STESO,為船載平臺(tái)的總擾動(dòng)提供在線估計(jì),分析STESO的收斂性;基于此,利用超螺旋算法設(shè)計(jì)船載平臺(tái)有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制律,并進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。

2.1 STESO設(shè)計(jì)

(7)

針對(duì)式(7),設(shè)計(jì)如下滑模面:

S=ε2+λε1

(8)

將滑模面S對(duì)時(shí)間求導(dǎo),根據(jù)式(7),可得

(9)

將船載平臺(tái)的總擾動(dòng)L(t)擴(kuò)張為一個(gè)新的狀態(tài)向量N(t)=[N1(t),N2(t),N3(t)]T,得到如下增廣系統(tǒng):

(10)

記

(11)

針對(duì)增廣系統(tǒng)式(10),構(gòu)造如下形式的STESO:

(12)

證明定義STESO的估計(jì)誤差:

(13)

將式(13)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),根據(jù)式(10)和式(12),可得STESO的誤差動(dòng)態(tài)方程:

(14)

(15)

將η1對(duì)時(shí)間求導(dǎo),根據(jù)式(14),可得

(16)

將η2對(duì)時(shí)間求導(dǎo),根據(jù)式(14),可得

(17)

將η(t)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),根據(jù)式(16)與式(17),可得

(18)

式中:

針對(duì)STESO的誤差動(dòng)態(tài)方程式(14),構(gòu)造如下李雅普諾夫預(yù)選函數(shù):

V1(η(t))=η(t)TP1η(t)

(19)

式中:

將式(19)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),根據(jù)式(18)可得

(20)

式中:

(21)

根據(jù)完全平方不等式與式(21),可以得到

(22)

式中:

將式(22)代入式(20)中,可得

(23)

式中:

設(shè)計(jì)參數(shù)β1與β2滿足:

β1>2δ1

(24)

(25)

根據(jù)式(15)、式(19)以及式(21),有

(26)

將式(26)代入式(23)中可得

(27)

式中:

由引理1和式(27)可知,η(t)會(huì)在有限時(shí)間

(28)

證畢

2.2 船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律設(shè)計(jì)

基于所構(gòu)造的STESO式(12),利用超螺旋算法,設(shè)計(jì)船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律:

(29)

式中:α1>0與α2>0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

證明將控制律式(29)代入式(9)可得

(30)

(31)

將η′(t)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),根據(jù)式(30),可得

ω1=diag(|S1|-1/2,|S2|-1/2, |S3|-1/2)

針對(duì)由式(1)、式(12)和式(29)構(gòu)成的船載平臺(tái)閉環(huán)控制系統(tǒng),構(gòu)造如下李雅普諾夫預(yù)選函數(shù):

V2(η′(t))=η′(t)TP2η′(t)+V1(η(t))

(33)

式中:

將式(33)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),根據(jù)式(28)與式(32),可得

(34)

式中:

(35)

根據(jù)完全平方不等式與式(35),可以得到

(36)

式中:

將式(36)代入式(34)中,可得

(37)

式中:

如果設(shè)計(jì)參數(shù)α1與α2滿足

α1>2δ1

(38)

(39)

(40)

將式(40)代入式(37),并根據(jù)引理2,可得

(41)

式中:

根據(jù)引理1和式(41)可知,η′(t)在有限時(shí)間

(42)

內(nèi)收斂到零,則滑模面S在有限時(shí)間ts2內(nèi)收斂于零。進(jìn)一步,根據(jù)式(8),船載平臺(tái)鎮(zhèn)定誤差ε1與ε2漸近收斂于零。

證畢

3 仿真研究

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律的有效性,以某一船載平臺(tái)為例進(jìn)行仿真研究,其動(dòng)力學(xué)方程式(1)中的模型參數(shù)標(biāo)稱值為mp=300 kg、Ix=10.59 kg·m2、Iy=10.59 kg·m2、Iz=19.85 kg·m2[21]。進(jìn)一步,將所設(shè)計(jì)的船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律與基于ADRC的船載平臺(tái)鎮(zhèn)定控制律進(jìn)行仿真比較,以表明所設(shè)計(jì)的船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律的優(yōu)越性。

3.1 船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律仿真

本節(jié)利用Fossen[25]和Perez研制的MSS(Marine Systems Simulator)軟件包,獲得海浪引起的船舶運(yùn)動(dòng)對(duì)船載平臺(tái)的擾動(dòng)力及力矩,分別在兩種海況下對(duì)所提出船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

分別在2級(jí)和4級(jí)海況下進(jìn)行仿真。仿真中采用ITTC(International Towing Tank Conference)雙參數(shù)海浪譜,2級(jí)海況參數(shù)選擇為波浪擴(kuò)散因子數(shù)值為2、平均波向?yàn)?0°、有義波高為0.5 m;4級(jí)海況參數(shù)選擇為波浪擴(kuò)散因子數(shù)值為3、平均波向?yàn)?20°、有義波高為2.5 m。不施加控制作用情況下的船載平臺(tái)上支撐面位姿運(yùn)動(dòng)仿真曲線如圖2所示。

(1) 2級(jí)海況下船載平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程式(1)的慣性矩陣取其標(biāo)稱值,即M(X1)=M0(X1)。

仿真中,設(shè)船載平臺(tái)上支撐面的期望位姿X1d=[0 m,0°,0°]T,船載平臺(tái)上支撐面的初始狀態(tài)為X1(0)=[0.1 m,1°,2°]T和X2(0)=[0 m/s,0°/s, 0°/s]T;選取所構(gòu)造的STESO的設(shè)計(jì)參數(shù)為λ=1,β1=3,β2=20,所設(shè)計(jì)的STSM鎮(zhèn)定控制律的參數(shù)為α1=4,α2=0.3,仿真結(jié)果如圖3～圖5中實(shí)線所示。圖3為船載平臺(tái)上支撐面在升沉、橫搖和縱搖方向上的運(yùn)動(dòng)曲線,由圖3可知,所設(shè)計(jì)的船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律能控制船載平臺(tái)有效隔離船舶的橫搖、縱搖和升沉運(yùn)動(dòng)對(duì)船上設(shè)備運(yùn)行安全的影響,保證船載平臺(tái)的上支撐面始終保持期望的位姿。圖4為船載平臺(tái)上支撐面升沉控制力以及橫搖、縱搖控制力矩曲線,由圖4可知,控制力及力矩是合理的。圖5為船載平臺(tái)的總擾動(dòng)及其估計(jì)曲線,由圖5可知,所構(gòu)造的STESO可以提供對(duì)總擾動(dòng)的估計(jì)。

(2) 4級(jí)海況下船載平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程式(1)的慣性矩陣攝動(dòng)為M(X1)=(1+30%)M0(X1)。

仿真中,設(shè)船載平臺(tái)上支撐面的初始狀態(tài)、期望位姿、STESO和STSM鎮(zhèn)定控制律的設(shè)計(jì)參數(shù)均與2級(jí)海況下的一樣,這意味著在不同海洋環(huán)境擾動(dòng)下,船載平臺(tái)鎮(zhèn)定控制律保持不變,仿真結(jié)果如圖6～圖8中實(shí)線所示。由圖3～圖5與圖6～圖8可知,在海洋環(huán)境擾動(dòng)變大且存在模型參數(shù)攝動(dòng)時(shí),所設(shè)計(jì)的船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律展現(xiàn)了與2級(jí)海況下幾乎同樣的控制效果,這表明所設(shè)計(jì)的船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律對(duì)模型參數(shù)攝動(dòng)和未知外界擾動(dòng)具有良好的自適應(yīng)能力和魯棒性。

3.2 仿真比較

本節(jié)中,將所設(shè)計(jì)的船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律與文獻(xiàn)[21]中的船載平臺(tái)ADRC鎮(zhèn)定控制律式(43)和式(44)進(jìn)行仿真比較。

(43)

(44)

式中:i=1,2,3。

取設(shè)計(jì)參數(shù)b0,1=300,ωo,1=13,kp1=12,kd1=20;b0,2=13,ωo,2=13,kp2=14,kd2=48;b0,3=14,ωo,3=13,kp3=15,kd3=50,分別在第3.1節(jié)中的兩種情況下對(duì)船載平臺(tái)ADRC鎮(zhèn)定控制律進(jìn)行仿真,仿真結(jié)果見圖3～圖8中點(diǎn)線。由圖3和圖4可知,在2級(jí)海況下,船載平臺(tái)ADRC鎮(zhèn)定控制律和本文所提的船載穩(wěn)定平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律均具有同樣令人滿意的控制性能。但由圖6和圖7可知,在4級(jí)海況下,本文所提出的船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律的鎮(zhèn)定誤差較小。另一方面,由圖5和圖8可知,兩種情況下,所設(shè)計(jì)的STESO相較文獻(xiàn)[21]中的船載平臺(tái)構(gòu)造的常規(guī)ESO的估計(jì)精度都高。上述仿真結(jié)果充分表明了本文設(shè)計(jì)的基于STESO的船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律較船載平臺(tái)ADRC鎮(zhèn)定控制律的優(yōu)越性。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)船載平臺(tái)存在的動(dòng)態(tài)不確定以及未知外界擾動(dòng),構(gòu)造了STESO,估計(jì)由動(dòng)態(tài)不確定以及未知外界擾動(dòng)引起的總擾動(dòng);進(jìn)一步,設(shè)計(jì)了船載平臺(tái)STSM鎮(zhèn)定控制律,理論分析及仿真結(jié)果均證明了所設(shè)計(jì)的控制律可使船載平臺(tái)上支撐面保持在慣性空間中某一期望的位姿不變,且較船載平臺(tái)ADRC鎮(zhèn)定控制律控制精度高,可隔離船舶運(yùn)動(dòng)對(duì)船上設(shè)備運(yùn)行安全的影響,從而可提高船上設(shè)備在不同海洋環(huán)境條件下的可操作性和安全性。