任秋艷, 楊巧玲

(1. 蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050; 2. 蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息工程學(xué)院， 甘肅 蘭州 730020)

1990年,德國學(xué)者Hilger發(fā)表了其有關(guān)測(cè)度鏈理論的論文[1]. 這一新的理論在離散分析和連續(xù)分析之間建立了一座橋梁,使人們可以同時(shí)處理離散和連續(xù)系統(tǒng),分析其異同點(diǎn),這樣就避免了對(duì)很多問題的兩次重復(fù)研究.同時(shí),因?yàn)闇y(cè)度鏈除了包含實(shí)數(shù)集和整數(shù)集之外還包含其它一些集合,因而可以得到更為廣泛的結(jié)果.

近年來,測(cè)度鏈上的最優(yōu)控制問題因其具有廣泛的應(yīng)用背景而備受人們的關(guān)注.例如,Bartosiewicz等[2]、Ferreira等[3]、Hilscher等[4]、Malinowska等[5]討論了測(cè)度鏈上的變分問題,Stehlik等[6]、Hilscher等[7]、Zhou等[8]、Bohner等[9]考慮了測(cè)度鏈上的最大值原理,而Liu等[10]、Carlson[11]、Lavrova[12]、Sun等[13]研究了測(cè)度鏈上最優(yōu)控制問題最優(yōu)解的存在性和最優(yōu)的必要條件.雖然在測(cè)度鏈上最優(yōu)控制問題方面已經(jīng)取得了一定的研究成果,但是他們討論的控制系統(tǒng)都是由測(cè)度鏈上整數(shù)階動(dòng)力方程構(gòu)成的.

分?jǐn)?shù)階微分方程是整數(shù)階微分方程的拓展,它具有深刻的物理背景和豐富的理論內(nèi)涵,現(xiàn)在已應(yīng)用于混沌與湍流、控制理論、物理化學(xué)、隨機(jī)過程、粘彈性力學(xué)與非牛頓流體學(xué)等許多科學(xué)領(lǐng)域.近來,分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題受到人們的高度重視[14-19].

本文總是假設(shè)T是一個(gè)測(cè)度鏈(實(shí)數(shù)集R的任意一個(gè)非空閉子集),T>0固定,0,T∈T,σ(T)=T且Uad表示容許控制集.對(duì)于R中的任意子區(qū)間I,定義IT=I∩T.

對(duì)于任意給定的控制策略u(píng)∈Uad,本文討論的控制系統(tǒng)是下述測(cè)度鏈T上的非線性分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程初值問題

(1)

通過給f和g一些合適的條件,對(duì)于任意給定的控制策略u(píng)∈Uad,獲得了非線性分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)(1)唯一解的存在性.研究測(cè)度鏈上的最優(yōu)控制問題(P):找一個(gè)u0∈Uad,使得

J(u)≥J(u0)u∈Uad

其中

u∈Uad

是二次型性能指標(biāo),其中xu是非線性分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)(1)相應(yīng)于控制策略u(píng)的解且xd是期望值.

1 預(yù)備知識(shí)

給出本文需要的有關(guān)測(cè)度鏈及測(cè)度鏈上分?jǐn)?shù)微積分的一些基本的定義和引理,詳細(xì)的內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[20-23].

定義1對(duì)于t∈T,定義向前跳躍算子σ:T→T為

定義向后跳躍算子ρ:T→T為

在這個(gè)定義中,令inf ?=supT以及sup ?=infT,其中?表示空集.如果σ(t)>t,則稱t是右稀的;如果ρ(t)infT且ρ(t)=t,則稱t是左稠的.T的子集Tk定義為如果T有左稀的最大值m,則Tk=T-{m},否則,Tk=T.函數(shù)μ:T→[0,+∞)定義為

定義2設(shè)f:T→R且t∈Tk,如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)θ,使得對(duì)于任意的ε>0,存在t的一個(gè)開領(lǐng)域U(U=(t-δ,t+δ)T,δ>0),使得對(duì)于所有的s∈U,都有

|f(σ(t))-f(s)-θ(σ(t)-s)|≤ε|σ(t)-s|

成立,則稱f在t點(diǎn)是Δ-可微的,θ被稱為f在t點(diǎn)的Δ-導(dǎo)數(shù),記為θ=fΔ(t).若對(duì)于所有的t∈Tk,f在t點(diǎn)都是Δ-可微的,則稱f在Tk上是Δ-可微的.

定義3設(shè)F和f:T→R是兩個(gè)函數(shù),如果對(duì)于所有的t∈Tk,

FΔ(t)=f(t)

則稱F是f的一個(gè)原函數(shù).此時(shí),定義f的Cauchy積分為

定義4設(shè)0<α<1,[a,b]T上α階的Riemann-

其中Γ是Gamma函數(shù).

引理2[22]設(shè)α>0,β>0且h是[a,b]T上的Δ-可積函數(shù),則

引理3[22]設(shè)f是[a,b]T上的連續(xù)遞增函數(shù),如果f的延拓F定義為

則

本文的工具是下面的定理.

定理1[24](Banach壓縮映射原理) 設(shè)(X,d)是完備的距離空間且Φ:X→X是壓縮映射，則Φ在X中有唯一的不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果

記C([0,T]T,R)={x|x:[0,T]T→R是連續(xù)函數(shù)},賦予其范數(shù)為

則C([0,T]T,R)是Banach空間.

引理4對(duì)于任意給定的y∈C([0,T]T,R),測(cè)度鏈上的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程初值問題

(2)

有唯一解

t∈[0,T]T

證明因?yàn)?/p>

所以由引理2可知：

x(t)-x(0)t∈[0,T]T

從而,由式(2)可得

t∈[0,T]T

首先,列出后面要用到的條件:

(A2)g:R→R且存在K>0,使得

|g(ω)-g(v)|≤K|ω-v|,ω,v∈R

假設(shè)控制空間是C([0,T]T,R)且容許控制集Uad是C([0,T]T,R)中的緊子集.

引理5假設(shè)(A1)和(A2)成立,則對(duì)于任意給定的控制策略u(píng)∈Uad,非線性分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)(1)有唯一解xu且

證明對(duì)于任意固定的u∈Uad,定義算子Φu:C([0,T]T,R)→C([0,T]T,R)為

顯然,Φu的不動(dòng)點(diǎn)即為非線性分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)(1)的解.

對(duì)于任意固定的t∈[0,T]T,由引理3易知：

(3)

令x,y∈C([0,T]T,R),則根據(jù)式(3)和(A1)可得

這表明

定理2假設(shè)(A1)和(A2)成立,則最優(yōu)控制問題(P)存在一個(gè)最優(yōu)解u0∈Uad.

證明首先,由引理5可知,對(duì)于任意給定的控制策略u(píng)∈Uad,非線性分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)(1)有唯一解xu且

其次,因?yàn)?/p>

u∈Uad

(4)

(5)

另一方面,由(A1),(A2)和式(3)可知,對(duì)于任意的n=1,2,…,

|xun(t)-xu0(t)|=

f(s,xu0(s),xu0(σ(s)))+

f(s,xu0(s),xu0(σ(s)))|+

|g(un(s))-g(u0(s))|]Δs≤

|xun(σ(s))-xu0(σ(s))|]+

K|un(s)-u0(s)|}Δs≤

t∈[0，T]T

這表明

n=1,2,…

(6)

從而,由式(5)和式(6)可得

(7)

于是,由引理1,式(5)和式(7)可知：

再根據(jù)式(4)可得

因此,對(duì)于所有的u∈Uad,都有J(u)≥J(u0).這表明u0是最優(yōu)控制問題(P)的一個(gè)最優(yōu)解.

3 結(jié)論

本文考慮了一類測(cè)度鏈上非線性分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程的最優(yōu)控制問題.通過給相關(guān)函數(shù)適當(dāng)?shù)臈l件,對(duì)于任意給定的控制策略,獲得了非線性分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)唯一解的存在性.所用的工具是Banach壓縮映射原理.證明了最優(yōu)控制問題在容許控制集中存在一個(gè)最優(yōu)解.