上官偉，巴明明，孟月月

(1.北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 北京 100044；2.北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044；3.北京市電磁兼容與衛(wèi)星導(dǎo)航工程技術(shù)研究中心， 北京 100044)

高速鐵路的快速發(fā)展，對(duì)列車定位技術(shù)提出了更高的要求?；谌蛐l(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)和慣性測(cè)量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)的列車組合定位方式，可以實(shí)現(xiàn)列車動(dòng)態(tài)的精準(zhǔn)定位，保障列車定位的連續(xù)性、自主性，減少列車定位對(duì)軌道電路和應(yīng)答器等地面設(shè)備的依賴，降低鐵路建設(shè)投入以及運(yùn)營(yíng)維護(hù)成本，是列車定位技術(shù)未來(lái)的重要發(fā)展方向[1]。作為其中的關(guān)鍵設(shè)備，確保組合定位系統(tǒng)中IMU在服役期間的工作性能，對(duì)保障系統(tǒng)的定位精度和運(yùn)行可靠性十分重要。列車定位慣性單元(以下簡(jiǎn)稱“慣性單元”)是高集成度、高可靠性的捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，主要由慣性傳感器和電子部件組成。捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)直接固定在運(yùn)載體上，其中精密部件慣性傳感器直接承受高速列車的振動(dòng)、沖擊以及角運(yùn)動(dòng)。隨著運(yùn)行時(shí)間的積累，慣性單元的性能會(huì)發(fā)生退化，當(dāng)退化達(dá)到一定程度時(shí)，測(cè)量系統(tǒng)不再滿足列車定位精度的要求，意味著慣性單元的有效使用壽命也隨之終結(jié)。

針對(duì)上述問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外開展了大量關(guān)于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的壽命預(yù)測(cè)研究，主要通過(guò)設(shè)備的性能退化數(shù)據(jù)，評(píng)估、預(yù)測(cè)設(shè)備服役期間的健康狀態(tài)或剩余使用壽命(Remaining Useful Life, RUL)。設(shè)備性能評(píng)價(jià)指標(biāo)是實(shí)現(xiàn)RUL精確預(yù)測(cè)的重要基礎(chǔ)?，F(xiàn)有的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)RUL預(yù)測(cè)方法[2]，從采用不同元數(shù)性能參量的角度可分為單性能參量和多元性能參量?jī)纱箢悺?/p>

單性能指標(biāo)的RUL預(yù)測(cè)方法極其豐富，根據(jù)目標(biāo)設(shè)備自身性能表征特點(diǎn)、性能數(shù)據(jù)采集的條件以及工程需求不同，進(jìn)行RUL預(yù)測(cè)的思路也會(huì)不同。Huang等[3]利用狀態(tài)空間刻畫一個(gè)帶自適應(yīng)漂移的非線性Wiener過(guò)程模型，推導(dǎo)了退化漂移狀態(tài)條件下RUL預(yù)測(cè)的顯示表達(dá)式。王瑞峰等[4]建立基于Gamma退化過(guò)程的狀態(tài)空間模型，采用EM-PF算法估計(jì)模型參數(shù)，并據(jù)此求得RUL的概率密度和分布函數(shù)。Lei等[5]提出一種基于Wiener過(guò)程且考慮四源不確定性的隨機(jī)性能模型，通過(guò)離線數(shù)據(jù)與在線數(shù)據(jù)的聯(lián)合估計(jì)，實(shí)時(shí)獲得軸承的剩余壽命。Wang等[6]進(jìn)一步利用一個(gè)基于多隱狀態(tài)帶非線性漂移的擴(kuò)散過(guò)程，進(jìn)行可充電電池RUL的預(yù)測(cè)。

目前針對(duì)具有多性能評(píng)價(jià)指標(biāo)的復(fù)雜設(shè)備，進(jìn)行健康狀態(tài)評(píng)估、RUL預(yù)測(cè)的方法主要有兩種途徑： ①采用數(shù)據(jù)融合的技術(shù)，先將多元性能參數(shù)信息融合后進(jìn)行單特征的提取，再采用單性能參量的RUL預(yù)測(cè)方法；②直接對(duì)現(xiàn)有性能退化模型或者RUL預(yù)測(cè)模型進(jìn)行擴(kuò)展，采用相關(guān)性描述技術(shù)，準(zhǔn)確、有效建立多元性能參量間的關(guān)系，確保RUL預(yù)測(cè)的精度。金曉航等[7]針對(duì)軸承具有二元性能指標(biāo)，提出一種基于二元維納過(guò)程的RUL預(yù)測(cè)方法，并利用AIC準(zhǔn)則選擇Copula函數(shù)進(jìn)行描述兩個(gè)性能指標(biāo)間的相關(guān)性。Hao等[8]針對(duì)LED燈的二元性能參量采用二元非線性擴(kuò)散過(guò)程構(gòu)建退化模型，并基于Copula函數(shù)描述二元性能參量的依賴關(guān)系，利用蒙特卡洛(MCMC)算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，實(shí)現(xiàn)退化設(shè)備的可靠性評(píng)估。Peng等[9]提出一種基于逆Gaussian的二元退化模型，采用Copula函數(shù)建立聯(lián)合分布，并利用兩階段貝葉斯方法進(jìn)行退化過(guò)程和Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)。

針對(duì)慣性單元的RUL預(yù)測(cè)是對(duì)其進(jìn)行健康管理、維修維護(hù)時(shí)，所需的重要健康狀態(tài)評(píng)估信息。縱觀當(dāng)前PHM領(lǐng)域技術(shù)的研究重點(diǎn)可知，RUL預(yù)測(cè)的關(guān)鍵是如何考慮預(yù)測(cè)的不確定性因素，建立合理的性能退化模型，獲得RUL的概率密度分布并提高RUL預(yù)測(cè)精度。周源等[10]采用加速度計(jì)的零位電壓百分比增量作為加速度計(jì)的性能退化參數(shù)，基于逆Gaussian過(guò)程建立性能退化模型，實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)的剩余壽命預(yù)測(cè)。Miao等[11]針對(duì)慣性器件陀螺儀提出一種小波分析和SVM結(jié)合的方法，采用小波分析進(jìn)行陀螺儀性能數(shù)據(jù)的預(yù)處理，利用SVM對(duì)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，實(shí)現(xiàn)陀螺儀的剩余壽命預(yù)測(cè)。滕飛等[12]以加速度計(jì)加速退化數(shù)據(jù)為對(duì)象，提出了一種較為客觀、實(shí)用的加速退化數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法，其特點(diǎn)是基于加速因子不變?cè)瓌t進(jìn)行加速退化數(shù)據(jù)建模，結(jié)合 Matlab軟件中的相關(guān)函數(shù)實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)及可靠壽命預(yù)測(cè)。

根據(jù)上述文獻(xiàn)研究現(xiàn)狀，提出一種列車定位慣性單元的RUL自適應(yīng)預(yù)測(cè)研究方法。首先，從IMU結(jié)構(gòu)組成和功能性質(zhì)角度出發(fā)，選取慣性傳感器陀螺儀和加速度計(jì)的隨機(jī)誤差指標(biāo)評(píng)價(jià)設(shè)備性能狀態(tài)，構(gòu)建IMU的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)體系。其次，采用具有普適性的非線性漂移維納過(guò)程建立性能指標(biāo)退化模型?；谑走_(dá)時(shí)間概念獲取RUL的概率密度函數(shù)(Probability Density Function，PDF)，在此基礎(chǔ)上，利用Copula理論描述二元性能指標(biāo)間的動(dòng)態(tài)相關(guān)性，建立二元性能退化模型及RUL的聯(lián)合分布。再次，根據(jù)參數(shù)分步估計(jì)的思想，先對(duì)退化模型參數(shù)利用期望最大化(Expectation Maximization, EM)和Rauch-Tung-Striebel(RTS)后向平滑聯(lián)合算法，實(shí)現(xiàn)退化模型參數(shù)的實(shí)時(shí)自適應(yīng)估計(jì)；再利用極大似然估計(jì)(Maximum Likelihood Estimation, MLE)算法更新Copula函數(shù)的相關(guān)性參數(shù)。最后，通過(guò)對(duì)比預(yù)測(cè)結(jié)果，證明本文提出的RUL預(yù)測(cè)方法可以有效減小預(yù)測(cè)的不確定性、提高預(yù)測(cè)精度。

1 列車定位慣性單元的性能指標(biāo)選取

作為列控系統(tǒng)的重要裝備，列車定位單元普遍使用基于GNSS和IMU的組合定位方式，其結(jié)構(gòu)見圖1。IMU作為其中的重要組成部分，對(duì)其開展基于性能狀態(tài)的壽命預(yù)測(cè)具有重要意義。慣性單元性能的主要評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是測(cè)量信息的精準(zhǔn)度。近年來(lái)，中國(guó)學(xué)者結(jié)合實(shí)際應(yīng)用，普遍采用隨機(jī)漂移中的隨機(jī)游走系數(shù)作為慣性器件的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)[13]。

圖1 基于GNSS和IMU組合的列車定位系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

本文的研究對(duì)象為實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的列車定位系統(tǒng)中所采用的微機(jī)電型慣性測(cè)量單元(MEMS-IMU)。該型號(hào)慣性單元的產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格說(shuō)明中，明確標(biāo)明隨機(jī)游走系數(shù)是該型號(hào)慣性單元內(nèi)MEMS慣性器件的主要性能指標(biāo)。因此，本文針對(duì)列車定位慣性單元的性能指標(biāo)體系為加速度計(jì)的速率隨機(jī)游走系數(shù)和陀螺儀的角度隨機(jī)游走系數(shù)。

本文用于研究驗(yàn)證的數(shù)據(jù)是對(duì)目標(biāo)慣性單元失效前近2年服役過(guò)程中周期性監(jiān)測(cè)得到的測(cè)量數(shù)據(jù)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)需求和實(shí)際應(yīng)用安排，針對(duì)目標(biāo)慣性單元每7 d作為一個(gè)采樣間隔進(jìn)行性能監(jiān)測(cè)。在相同的采集條件下，性能監(jiān)測(cè)采集周期共計(jì)85周，總計(jì)85組性能退化數(shù)據(jù)。

高速列車具有沿軌道水平運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，根據(jù)列車定位系統(tǒng)車內(nèi)實(shí)驗(yàn)的安裝方式，可知慣性單元的主要敏感軸為x軸與y軸。

針對(duì)目標(biāo)慣性單元退化周期內(nèi)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，采用Allan方差法[14]對(duì)敏感方向上慣性器件的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行性能指標(biāo)辨識(shí)，所得每個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的性能退化量見圖2。

圖2 IMU關(guān)鍵部件性能監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

由圖2可知，沿敏感方向y軸的慣性傳感器，監(jiān)測(cè)獲得的性能指標(biāo)參數(shù)具有明顯的退化趨勢(shì)。因此，為有效評(píng)估設(shè)備的健康狀態(tài)，列車定位慣性單元的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)參數(shù)為y軸加速度計(jì)和陀螺儀的隨機(jī)游走系數(shù)。

根據(jù)列車定位系統(tǒng)的精度指標(biāo)要求，結(jié)合實(shí)驗(yàn)室列車組合定位系統(tǒng)中目標(biāo)慣性設(shè)備的性能指標(biāo)評(píng)價(jià)體系，慣性單元性能的失效閾值設(shè)定情況如表1所示。

表1 慣性單元性能指標(biāo)的失效閾值

2 基于Copula函數(shù)的慣性單元剩余壽命建模方法

2.1 單性能參量的剩余壽命建模

2.1.1 單性能參量的性能退化模型

由第1節(jié)可知，列車定位慣性單元的性能狀態(tài)可由陀螺儀和加速度計(jì)的性能指標(biāo)共同表征，且兩種慣性器件的退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)均呈現(xiàn)非單調(diào)、連續(xù)波動(dòng)的特點(diǎn)，表明單部件的性能退化過(guò)程具有明顯的隨機(jī)性和時(shí)變不確定性。對(duì)此本節(jié)將基于具有一般性帶有非線性漂移Wiener過(guò)程進(jìn)行單部件的性能退化建模。

假設(shè)單部件的性能退化過(guò)程為{X(t),t≥0}，基于帶非線性漂移Wiener過(guò)程建立的性能退化模型為

( 1 )

性能退化軌跡的個(gè)體差異性見圖3。由圖3可以看出，實(shí)際退化過(guò)程中，設(shè)備性能狀態(tài)退化估計(jì)，不僅和當(dāng)前時(shí)刻的性能退化量相關(guān)，而且依賴于設(shè)備歷史性能退化軌跡。

圖3 性能退化軌跡的個(gè)體差異性

為了充分利用設(shè)備性能退化軌跡信息，假設(shè)當(dāng)前監(jiān)測(cè)時(shí)刻為tk，單部件的性能退化模型可以重構(gòu)為以下狀態(tài)空間模型

( 2 )

依據(jù)式(2)和STF濾波技術(shù)的高斯特性可知，基于X0:k的漂移狀態(tài)λx的概率密度分布為高斯分布，即

( 3 )

2.1.2 單性能參量的RUL分布

基于性能退化過(guò)程首達(dá)時(shí)間的概念,認(rèn)為當(dāng)性能退化過(guò)程{X(t),t≥0}初次到達(dá)預(yù)先設(shè)定的性能指標(biāo)失效閾值ω時(shí)，判定部件發(fā)生了失效。因此，性能退化模型{X(t),t≥0}對(duì)應(yīng)壽命的數(shù)學(xué)定義為

T=inf{t:X(t)≥ω|X(0)<ω}

( 4 )

根據(jù)式(4)，文獻(xiàn)[16]給出退化過(guò)程基于首達(dá)時(shí)間的壽命概率密度函數(shù)如下

( 5 )

Lk=inf{lk:X(lk+tk)≥ω|X0:k}

( 6 )

由文獻(xiàn)[2]的相關(guān)推論可知，基于性能退化過(guò)程的狀態(tài)空間模型式( 2 )和部件運(yùn)行到當(dāng)前時(shí)刻的全部監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)X0:k，監(jiān)測(cè)時(shí)刻tk處RUL的概率密度分布fLk|X0:k(lk|X0:k)為

( 7 )

綜上所述，每當(dāng)監(jiān)測(cè)獲取新的性能退化數(shù)據(jù)xk，可通過(guò)漂移狀態(tài)λk的更新機(jī)制，依賴全部歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)X0:k，并利用式(7)自適應(yīng)的更新RUL的概率密度分布，實(shí)現(xiàn)RUL的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)。

2.2 二元性能參量的相關(guān)性分析方法

2.2.1 二元Copula函數(shù)原理

Copula函數(shù)是把多個(gè)隨機(jī)向量X1,X2,…，XN的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1,x2,…,xN)與各自對(duì)應(yīng)的邊緣分布函數(shù)u1,u2,…,uN相連接的函數(shù)，表達(dá)式為

F(x1,x2,…，xN)=C(u1,u2,…,uN;θ)

( 8 )

式中：C(u1,u2,…,uN;θ)為Copula函數(shù)。其中，θ為相關(guān)性參數(shù);ui為第i(i=1,2,…,N)個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布。

Sklar定理是用來(lái)證明Copula函數(shù)存在性的定理。其中，針對(duì)二元變量聯(lián)合分布的Sklar定理為：

假設(shè)H(x,y)是邊緣分布分別為F(x)、G(y)的二元變量聯(lián)合分布函數(shù)，則必定存在一個(gè)Copula函數(shù)C(u1,u2)滿足H(x,y)=C[F(x),G(y)]。若F(x)，G(y)是連續(xù)函數(shù)，那么C(u1,u2)唯一確定；相反，若F(x)、G(y)是一元分布函數(shù)，C(u1,u2)是Copula函數(shù)，則H(x,y)是具有邊緣分布為F(x)、G(y)的二元聯(lián)合分布函數(shù)。

2.2.2 二元Copula函數(shù)選擇方法

根據(jù)Sklar定理，在已知Copula函數(shù)具體表達(dá)形式的前提下，可以更加靈活地建立多元變量間的聯(lián)合分布。

選擇對(duì)多元變量間相關(guān)性描述適配度較高的Copula函數(shù)，有助于提高基于二元性能退化過(guò)程RUL預(yù)測(cè)的精度。本文基于性能指標(biāo)的邊緣分布和Coupla相關(guān)基礎(chǔ)理論，通過(guò)邊緣分布的二元直方分布特性及其與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的歐氏距離，綜合評(píng)判選取最佳適配Copula函數(shù)來(lái)描述兩個(gè)性能變量間的動(dòng)態(tài)相關(guān)性。

定義經(jīng)驗(yàn)Copula：設(shè)(xi,yi)(i=1,2,…,n)為取自二維總體(X,Y)的樣本。將X，Y的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)分別記為Fn(x)和Gn(y)，得到樣本的經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)定義如下

(9)

2.3 二元性能參量的剩余壽命建模

2.3.1 二元性能參量退化過(guò)程

假設(shè)基于二元性能指標(biāo)設(shè)備的性能退化過(guò)程Z(t)={X1(t),X2(t),t≥0}，其中，Xi(t)(i=1,2)為2.1.1節(jié)中描述的單部件性能退化過(guò)程，并且滿足以下假設(shè)：

假設(shè)1：設(shè)備兩個(gè)性能指標(biāo)的退化過(guò)程均可利用帶線性或非線性漂移的Wiener過(guò)程進(jìn)行建模，如式(1)。

假設(shè)2：針對(duì)同一設(shè)備，兩個(gè)性能指標(biāo)的監(jiān)測(cè)時(shí)間和間隔保持同步。

假設(shè)3：兩個(gè)性能指標(biāo)的退化存在相關(guān)性，且相關(guān)性可以利用某種二元Copula函數(shù)進(jìn)行合理描述。

假設(shè)4：當(dāng)設(shè)備的任意一個(gè)性能退化過(guò)程的退化量超過(guò)其對(duì)應(yīng)失效閾值時(shí)，視作設(shè)備失效，設(shè)備的失效閾值向量記為W=[ωi],i=1,2。

2.3.2 RUL聯(lián)合分布模型

假設(shè)設(shè)備在當(dāng)前監(jiān)測(cè)時(shí)刻tk未發(fā)生失效，根據(jù)式(6)和二元性能退化過(guò)程失效定義(假設(shè)4)，基于二元性能指標(biāo)設(shè)備的RUL定義如下

(10)

(11)

(12)

3 預(yù)測(cè)模型參數(shù)分步自適應(yīng)更新方法

3.1 性能退化模型參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)算法

假設(shè)單性能指標(biāo)退化模型中“隱含”狀態(tài)λ的歷史數(shù)據(jù)為Υk={λ0,λ1,…,λk}，EM算法的基本原理是通過(guò)最大化聯(lián)合似然函數(shù)p(X0:k,Υk|ψ)來(lái)逼近參數(shù)的極大似然估計(jì)。

圖4為EM算法過(guò)程，L(θ)為完全數(shù)據(jù)的極大似然函數(shù)，B(θ,θi)為極大似然函數(shù)的下界函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)θ=θi時(shí)，兩函數(shù)值才相等。在E步，已有一個(gè)估計(jì)的參數(shù)值(初始化或上次迭代計(jì)算出的參數(shù))，但是此時(shí)這個(gè)參數(shù)值對(duì)應(yīng)B(θ,θi)的值不等于L(θ)的值。因此在E步以當(dāng)前的估計(jì)參數(shù)，極大化B(θ,θi)，使得該參數(shù)對(duì)應(yīng)的B(θ,θi)與L(θ)的數(shù)值相等。結(jié)果見圖4，θ=θi處極大似然函數(shù)與下界函數(shù)的函數(shù)值相等。在M步，求出使得B(θ,θi)取得極大的參數(shù)θi+1，然后將其作為下一次迭代的當(dāng)前參數(shù)值。

圖4 EM算法過(guò)程圖

EM算法主要步驟包括：

E步-對(duì)似然函數(shù)求期望得

(13)

M步-求極值

(14)

最后，通過(guò)EM算法循環(huán)迭代可得到ψ的最終估計(jì)值。

其中，根據(jù)單性能指標(biāo)退化過(guò)程的狀態(tài)空間模型式(2)，E步-計(jì)算期望可以表示為

(15)

Step2后向迭代最優(yōu)平滑估計(jì)。

form=k:1

Step3協(xié)方差初始化。

Step4平滑協(xié)方差的后向迭代計(jì)算。

Zm|k=Pm|mJm-1+Jm(Zm+1|k-Pm|m)Jm-1

(16)

(17)

(18)

3.2 Copula函數(shù)未知參數(shù)估計(jì)

(19)

于是得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

(20)

求解對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最大值點(diǎn)，即可得Copula函數(shù)的未知參數(shù)的估計(jì)為

(21)

未知參數(shù)向量Ψ自適應(yīng)的更新估計(jì)流程如下。

Step1將模型參數(shù)Ψ分成兩部分：ψ退化模型參數(shù)和Copula函數(shù)的參數(shù)θ。

Step3基于EM算法性能退化模型參數(shù)的自適應(yīng)預(yù)測(cè)：

4 仿真測(cè)試與驗(yàn)證

本節(jié)針對(duì)第2、3節(jié)提出的列車定位慣性單元的RUL自適應(yīng)預(yù)測(cè)方法，利用第1節(jié)中描述的慣性單元性能退化的實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析和模型、算法的有效性驗(yàn)證。

4.1 慣性單元性能監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析

根據(jù)鐵路應(yīng)用RAMS標(biāo)準(zhǔn)，列車定位慣性單元中慣性器件的失效閾值如表1所示，陀螺儀的性能退化軌跡于第64個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)達(dá)到失效閾值，加速度計(jì)的性能退化軌跡于第85個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)首次到達(dá)失效閾值。由設(shè)備失效定義推知，該實(shí)驗(yàn)設(shè)備在初始監(jiān)測(cè)點(diǎn)的真實(shí)RUL為64周。

4.2 基于單性能指標(biāo)的剩余壽命預(yù)測(cè)

陀螺儀和加速度計(jì)在每個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)處的實(shí)際退化量與一步預(yù)測(cè)結(jié)果的均方誤差(MSE)見圖5。預(yù)測(cè)的退化軌跡在前期由于數(shù)據(jù)不夠充足與實(shí)際退化軌跡略有出入。此外，陀螺儀和加速度計(jì)性能退化量預(yù)測(cè)MSE的期望分別為0.71×10-2與0.64×10-4。特別的在設(shè)備判定的失效監(jiān)測(cè)點(diǎn)處，陀螺儀性能退化量預(yù)測(cè)的MSE為0.21×10-2，加速度計(jì)性能退化量預(yù)測(cè)的MSE為0.47×10-4。表明本文采用的非線性漂移Wiener過(guò)程可以對(duì)不同類型的慣性器件的退化過(guò)程進(jìn)行有效建模。

圖5 慣性器件性能退化量一步預(yù)測(cè)的MSE

由式(17)和式(18)計(jì)算可以得到陀螺儀、加速度計(jì)性能退化模型參數(shù)隨著性能監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的累積，在各監(jiān)測(cè)點(diǎn)自適應(yīng)估計(jì)、更新的軌跡見圖6、圖7。由圖6、圖7可見，模型參數(shù)可以敏感性能退化過(guò)程的狀態(tài)變化保持更新。與參考文獻(xiàn)[10]中使用EM算法對(duì)共軛先驗(yàn)分布函數(shù)超參數(shù)值進(jìn)行估計(jì)方法相比，本文提出的參數(shù)分步自適應(yīng)估計(jì)的方法不受先驗(yàn)初始化信息的影響，具有良好的魯棒性，為實(shí)現(xiàn)RUL的自適應(yīng)預(yù)測(cè)奠定基礎(chǔ)。

圖6 陀螺儀性能退化模型參數(shù)更新曲線

圖7 加速度計(jì)性能退化模型參數(shù)更新曲線

已知各慣性器件的失效點(diǎn)，由此可推出在每個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)處慣性器件的實(shí)際RUL。為進(jìn)一步定量評(píng)價(jià)RUL預(yù)測(cè)結(jié)果，定義實(shí)際RUL與RUL預(yù)測(cè)的期望均方誤差(EMSE)為

(22)

圖8 單性能指標(biāo)RUL自適應(yīng)預(yù)測(cè)結(jié)果

圖8(a)、圖8(b)為慣性器件失效前多個(gè)關(guān)鍵監(jiān)測(cè)點(diǎn)處剩余壽命的PDF曲線，可看出預(yù)測(cè)的PDF曲線包含實(shí)際剩余壽命點(diǎn)，并隨著監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的累積曲線逐漸變窄，意味著RUL預(yù)測(cè)的不確定逐漸減小。

圖9(a)、圖9(b)為慣性器件在各個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)剩余壽命預(yù)測(cè)的EMSE，在慣性器件各自的失效點(diǎn)處，陀螺儀RUL預(yù)測(cè)的EMSE為0.72，加速度計(jì)的EMSE為0.33。通過(guò)觀察EMSE曲線可以得出隨著數(shù)據(jù)累計(jì)RUL的預(yù)測(cè)精度將不斷提高。

圖9 單性能指標(biāo)RUL的EMSE

4.3 基于Copula函數(shù)的剩余壽命預(yù)測(cè)

通過(guò)將設(shè)備失效前多個(gè)關(guān)鍵監(jiān)測(cè)點(diǎn)處的二元分布直方圖，與不同形式Copula函數(shù)的分布密度圖進(jìn)行對(duì)比，可以初步選定的Copula函數(shù)類型有Gaussian、Frank和Gumbel函數(shù)。接著，根據(jù)極大似然估計(jì)的方法對(duì)相應(yīng)Copula函數(shù)的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并據(jù)此求解歐氏距離，依據(jù)距離越小相關(guān)性描述越精準(zhǔn)的原則，選定Gumbel函數(shù)作為描述二元變量相關(guān)性的Copula函數(shù)。

完成Copula函數(shù)選擇和基于式(21)的參數(shù)極大似然估計(jì)后，根據(jù)式(12)計(jì)算設(shè)備的實(shí)時(shí)剩余壽命概率密度函數(shù)，得到設(shè)備RUL概率密度曲線見圖10。

圖10 RUL概率密度曲線

藍(lán)色實(shí)線是陀螺儀的PDF預(yù)測(cè)曲線，綠色點(diǎn)劃線是加速度計(jì)的PDF預(yù)測(cè)曲線，紅色虛線為基于陀螺儀和加速度計(jì)二元性能參量的PDF預(yù)測(cè)曲線。相較于另外兩條PDF曲線，二元性能參量的預(yù)測(cè)曲線方差較小、收斂更加集中、尖銳，具有較高的峰值。

在失效前的最后6個(gè)監(jiān)測(cè)時(shí)刻，分別采用陀螺儀性能指標(biāo)、加速度計(jì)性能指標(biāo)和二元性能參量3種不同性能退化指標(biāo)，計(jì)算RUL預(yù)測(cè)期望值，并計(jì)算預(yù)測(cè)的RUL期望值與實(shí)際RUL的均方相對(duì)誤差(MRE)為

(23)

表5 基于3種性能指標(biāo)方案的RUL預(yù)測(cè)的期望和MRE

由表5可知，在失效前最后6個(gè)監(jiān)測(cè)時(shí)刻，考慮二者相關(guān)性RUL預(yù)測(cè)期望值的平均MRE為9.87%，基于陀螺儀RUL預(yù)測(cè)的平均MRE為13.14%?？擅黠@看出本文提出的基于Copula函數(shù)的二元性能參量剩余壽命預(yù)測(cè)方法可以充分利用設(shè)備組成部件的性能退化信息，提高RUL預(yù)測(cè)精度。

5 結(jié)論與展望

本文主要針對(duì)列車定位慣性單元RUL預(yù)測(cè)方法進(jìn)行研究，基于列車定位慣性單元的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，構(gòu)建了基于Copula函數(shù)的二元性能參量剩余壽命聯(lián)合分布模型，并采用未知參數(shù)自適應(yīng)分步更新的方法，實(shí)現(xiàn)RUL的自適應(yīng)更新預(yù)測(cè)。結(jié)果表明，本文提出的基于二元性能參量的RUL預(yù)測(cè)方法可以提高預(yù)測(cè)精度，對(duì)存在多個(gè)退化變量且它們關(guān)系未知的設(shè)備的剩余壽命預(yù)測(cè)有著重要的參考價(jià)值。

后續(xù)工作中在列車定位慣性單元具有較多退化、失效數(shù)據(jù)時(shí)，可以結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)與隨機(jī)過(guò)程方法預(yù)測(cè)設(shè)備RUL，進(jìn)一步豐富RUL預(yù)測(cè)結(jié)果，提高RUL的預(yù)測(cè)性能。