張 勇,劉建新

(1. 南京工程學院數(shù)理學院, 江蘇 南京 211167；2. 南京工程學院圖書館, 江蘇 南京 211167)

1 研究背景

組合同余式研究一直是組合數(shù)論中的重要研究課題之一.實際上,同余式可以看成是有限域或者交換環(huán)上的等式.組合同余式主要研究具有組合意義的特殊序列(如二項式系數(shù)、Stirling數(shù)、gk數(shù)等)的算術(shù)性質(zhì).到目前為止,很多經(jīng)典同余式應用廣泛.例如Fermat小定理、Wilson定理、Lucas同余式、Wolstenholme定理等,有的已經(jīng)被推廣到模素數(shù)高冪次,而這種模高冪次同余式又常被稱為超同余式.因此,對超同余式的研究成了組合數(shù)論中有一定難度的課題.

對大于3的素數(shù)p,文獻[3]證明：

(1)

證明的關(guān)鍵是兩個同余式：

(2)

(3)

(4)

在式(4)中,g0=1,令m=r=1,則式(4)退化為同余式(1).本文主要研究同余式(4)的特殊情況.

定理1對大于3的素數(shù)p和正整數(shù)r≥2,有：

(5)

為了證明定理1,需要輔助性引理.

引理1任給素數(shù)p>3,對于任何整數(shù)a、b和正整數(shù)r、s,則

(6)

同余式(6)被稱為Jacobsthal二項式同余式.對于素數(shù)p≥5,文獻[5]和文獻[6]獨立地將同余式(6)推廣至a、b為非負整數(shù)情形.a、b為負整數(shù)情形是在文獻[7]中推廣的.

證明:根據(jù)組合數(shù)定義和引理1,有：

在文獻[8]中有：

(7)

結(jié)合以上的性質(zhì),證明引理2.

引理3任給素數(shù)p>3,對任何正整數(shù)r>1有：

證明:

2) 當r≥3時,令s=kp+l.任給s∈{0,…,pr-1-1},有pr|p2r-1H2s.則：

p2r-1H2pk+2l=

p2r-2H2k+1(modpr+2)

通過引理2容易得出：

因此:

所以:

依此類推：

從而引理3成立.

引理4任給素數(shù)p>3,對于任何正整數(shù)r有

證明:設(shè)k=ps+t.一方面,根據(jù)同余式(7)可知：

由引理2推出：

聯(lián)合式(2)和式(3)得到：

由引理3推出：

(H2s-Hs/2)≡0(modpr+2)

根據(jù)引理2可知：

H2s)(modpr+2)

根據(jù)引理2和引理3可知:

0(modpr+2)

聯(lián)合引理3和上面的結(jié)論可知：

0(modpr+2)

綜上所述,證明了引理4.

定理1的證明：文獻[3]證明對任何整數(shù)n有:

(8)

(9)

令x=n，由式(8)和式(9)可推出：

(10)

由此而得：

在式(10)中,令n∈{pr-1,pr},得出：

(11)

把同余式(11)右邊的第一個求和分成整除k與不整除k兩種情況:

最后,只需要證明:

(12)

聯(lián)合引理4即可證明定理1.

2 結(jié)語

本文研究孫智偉教授在文獻[4]中提出的超同余式猜想,即證明了一個關(guān)于gk同余式的特殊情況.通過分拆方法展開證明,分成整除k和不整除k的求和類型.本文對進一步完全證明這個同余式且深化該方向的研究有一定的研究意義.