孫慧靜 邢翠芳 馬啟建

（1.海軍航空大學(xué)航空基礎(chǔ)學(xué)院 煙臺(tái) 264001）（2.煙臺(tái)文化旅游職業(yè)學(xué)院 煙臺(tái) 264006）

1 引言

彈道導(dǎo)彈突擊已成為現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中實(shí)施遠(yuǎn)程精確打擊的重要手段，具有威力大、速度快、打擊精度高、突防能力強(qiáng)等特點(diǎn)[1～3]。 發(fā)射弧段和攔截弧段是衡量反導(dǎo)武器系統(tǒng)攔截能力的重要指標(biāo)，目標(biāo)在該弧段上飛行的時(shí)間越長(zhǎng)，戰(zhàn)勤人員的操作空間越大，攔截成功率也越高，發(fā)射弧段、攔截弧段與反導(dǎo)武器系統(tǒng)的部署位置、探測(cè)跟蹤能力、雷達(dá)扇區(qū)角度、攔截彈飛行速度以及殺傷空域等密切關(guān)聯(lián)。殺傷空域是導(dǎo)彈武器系統(tǒng)戰(zhàn)斗性能的重要指標(biāo)，它決定了武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)高度、射程和航路捷徑等，影響殺傷空域外形和尺寸的因素主要有武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)任務(wù)及射擊效能指標(biāo)、導(dǎo)彈的飛行彈道和機(jī)動(dòng)能力、目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特性以及反導(dǎo)彈對(duì)抗手段等[3～12]。

本文針對(duì)北天東（NSE）直角坐標(biāo)系下6枚來自不同方向來襲的彈道導(dǎo)彈，對(duì)某軍5個(gè)重點(diǎn)保衛(wèi)目標(biāo)實(shí)施空天打擊，在來襲導(dǎo)彈的相關(guān)參數(shù)包括導(dǎo)彈飛行時(shí)間、彈道軌跡的坐標(biāo)數(shù)據(jù)、雷達(dá)散射截面積等均已知的前提下，對(duì)某軍在該區(qū)域部署2套I型反導(dǎo)武器系統(tǒng)，武器系統(tǒng)性能以及部署位置也已知，分別通過殺傷空余模型的構(gòu)建、攔截能力的求解、導(dǎo)彈運(yùn)行軌跡的擬合與數(shù)值仿真等手段分析了這兩套武器系統(tǒng)對(duì)不同來襲導(dǎo)彈的攔截能力，對(duì)于反導(dǎo)武器系統(tǒng)部署的優(yōu)化調(diào)整提供依據(jù)。

2 殺傷區(qū)域數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

6枚來自不同方向來襲的彈道導(dǎo)彈對(duì)某軍重點(diǎn)保衛(wèi)目標(biāo)（目標(biāo)1～目標(biāo)5）實(shí)施空天打擊如圖1所示，假定武器系統(tǒng)的打擊方向可以360°旋轉(zhuǎn)，且在NSE直角坐標(biāo)系下，保衛(wèi)目標(biāo)1～目標(biāo)5的坐標(biāo)依次為-11080，-305，60290，-13980，-223，51586，-9490，-290，50440，-4186，-206，62370，-13930，-294，59370，單位：m。

圖1 彈道導(dǎo)彈的落點(diǎn)和2套I型反導(dǎo)導(dǎo)彈示意圖

2.1 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

在北天東（NSE）坐標(biāo)系下，假設(shè)某型武器系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為(x0，y0，z0)，其在系下的坐標(biāo)即為原點(diǎn)O(0，0，0)，S軸與來襲目標(biāo)速度矢量的水平投影平行且反向，H軸垂直于水平面（向上為正），P軸與S、H軸垂直于水平形成右手直角坐標(biāo)系，新舊坐標(biāo)之間就存在一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，即從北天東（NSE）坐標(biāo)系經(jīng)過一次坐標(biāo)平移變換和一次旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換就得到速度坐標(biāo)系。假設(shè)M為三維空間中任意一點(diǎn)，并設(shè)其在NSE坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(x，y，z)，其在速度坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(Χ，Y，Z) ，則NSE坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式為

2.2 殺傷空域的模型建立

殺傷空域指反導(dǎo)武器系統(tǒng)以不低于給定概率值毀傷目標(biāo)的空域（如圖2所示），通常用遠(yuǎn)界、近界、高界、低界、側(cè)界等特征參數(shù)確定的水平平面殺傷區(qū)和垂直平面殺傷區(qū)描述[4～5]。

圖2 反導(dǎo)武器系統(tǒng)的殺傷區(qū)示意圖

I型反導(dǎo)武器系統(tǒng)性能參數(shù)如下：高界Hmax=150km，低界Hmin=45km，遠(yuǎn)界（斜距）Dmax=200km，近界（斜距）Dmin=70km，最大航路角γ=45°，殺傷空域俯仰角為 30°～70°，導(dǎo)彈平均飛行速度為2.0km/s，雷達(dá)扇區(qū)方位角（雷達(dá)扇區(qū)固定）為 ±α=-50°～50°，雷達(dá)扇區(qū)俯仰角為β1～β2=0～80°，系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間為T=10s。

I型反導(dǎo)武器系統(tǒng)初始部署位置如表1所示。

表1 I型反導(dǎo)武器系統(tǒng)初始部署位置

由表可以看出，I武器系統(tǒng)1在NSE坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

I型反導(dǎo)武器系統(tǒng)殺傷區(qū)域的邊界曲線在NSE坐標(biāo)系下的等價(jià)數(shù)學(xué)模型為

下面分成兩種情況進(jìn)行分析并計(jì)算兩個(gè)I型導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的攔截能力。

情形1：不考慮I型導(dǎo)彈武器系統(tǒng)初始部署位置的天線法向方向。

首先計(jì)算攔截弧段在垂直剖面的投影長(zhǎng)度，從而可以計(jì)算來襲導(dǎo)彈在攔截弧段的飛行時(shí)間。據(jù)曲線弧長(zhǎng)公式，則曲線段l的長(zhǎng)度為

其中ds為弧長(zhǎng)微分，y=φ(z)為導(dǎo)彈的軌道方程，zearly，zlate為軌道與殺傷區(qū)域邊界的最早遭遇點(diǎn)和最晚遭遇點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

利用給定的來襲導(dǎo)彈相關(guān)參數(shù)數(shù)據(jù)，易得y=φ(z)的擬合表達(dá)式，通過聯(lián)立來襲導(dǎo)彈的軌道方程以及殺傷區(qū)域的邊界曲線，可得交點(diǎn)坐標(biāo)。對(duì)于I型攔截武器1，存在5個(gè)不同的保護(hù)目標(biāo)，對(duì)于保護(hù)目標(biāo)2有兩枚來襲導(dǎo)彈，即分別為導(dǎo)彈2，3進(jìn)行攻擊。這樣φ(z)有五種不同的形式，分別為φi(z)，i=1，2，…，5，故

該方程組的解為(zearly，yearly) 和 (zlate，ylate) ，相應(yīng)地，能求得對(duì)應(yīng)的時(shí)刻值tearly和tlate，從而可以計(jì)算出5個(gè)不同的攔截弧長(zhǎng)上對(duì)應(yīng)的導(dǎo)彈飛行時(shí)間ti=ti，late-ti，early，i=1，2，…，5 。同理，可以討論I型攔截武器2。

2.3 數(shù)值仿真與分析

設(shè)導(dǎo)彈在發(fā)射弧段上的飛行時(shí)間為T1=Tlate-Tearly，其中Tearly為攔截導(dǎo)彈的最早發(fā)射點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，Tlate為攔截導(dǎo)彈最晚發(fā)射點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，并設(shè)攔截導(dǎo)彈與目標(biāo)遭遇時(shí)的飛行時(shí)間為T2，V為攔截導(dǎo)彈的飛行速度，Smax，Smin分別為攔截導(dǎo)彈飛行到遠(yuǎn)界和近界時(shí)的距離。 顯然滿足如下關(guān)系式：

這里，對(duì)I型攔截武器來說Smin=70km?，Smax=200km?，V=2.0km/s。

圖3（a）是導(dǎo)彈1在天-東平面的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡及其4階擬合曲線，虛線為實(shí)際的運(yùn)動(dòng)軌跡，實(shí)線為4階擬合曲線。由圖和數(shù)據(jù)可以看出導(dǎo)彈不是勻速直線運(yùn)動(dòng)，而是變速直線運(yùn)動(dòng)。對(duì)于每一個(gè)時(shí)刻，其位置坐標(biāo)均已知。因此，根據(jù)數(shù)值模擬，就可以計(jì)算出任意一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，導(dǎo)彈的速度，也容易得出其攔截弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間以及發(fā)射弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間。利用Matlab仿真計(jì)算，I型反導(dǎo)武器系統(tǒng)1對(duì)于來襲導(dǎo)彈1攔截弧長(zhǎng)為203s，發(fā)射弧長(zhǎng)為175s，I型反導(dǎo)武器系統(tǒng)2的對(duì)于來襲導(dǎo)彈1的攔截弧長(zhǎng)為 170.5s，發(fā)射弧長(zhǎng)為 136.0s。圖3（b）描述的是導(dǎo)彈1在北-天平面的4階擬合曲線，計(jì)算出攔截弧長(zhǎng)及發(fā)射弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間與利用天東平面計(jì)算得出的數(shù)值基本吻合。

圖3 導(dǎo)彈1的擬合曲線

在后面的仿真中，首先在天-東平面計(jì)算武器攔截系統(tǒng)的攔截弧長(zhǎng)以及發(fā)射弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間，然后在北-天平面進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算的正確性。圖4（a）～圖8（a）分別展示導(dǎo)彈2～6在天-東平面的運(yùn)動(dòng)軌道和對(duì)應(yīng)的擬合運(yùn)動(dòng)軌跡及其運(yùn)動(dòng)表達(dá)式，并計(jì)算出攔截弧長(zhǎng)分別別為180s、198s、195s、160s、185s，發(fā)射弧長(zhǎng)分別為160s、165s、158s、135s、156s。

圖4 導(dǎo)彈2的擬合曲線

圖5 導(dǎo)彈3的擬合曲線

圖6 導(dǎo)彈4的擬合曲線

圖7 導(dǎo)彈5的擬合曲線

圖8 導(dǎo)彈6的擬合曲線

圖4（b）～圖8（b）分別展示了導(dǎo)彈2～6在北-天平面的運(yùn)動(dòng)軌道和對(duì)應(yīng)的擬合運(yùn)動(dòng)軌跡及其運(yùn)動(dòng)表達(dá)式，并計(jì)算出出攔截弧長(zhǎng)分別別為181s、196s、196s、162s、185s；發(fā)射弧長(zhǎng)分別為 161s、162s、156s、137s、155s.

為了使結(jié)果更加精確，分別在兩個(gè)平面上所得到的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)取平均值，作為最終攔截弧長(zhǎng)和發(fā)射弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間如表2所示。

表2 在不考慮反導(dǎo)系統(tǒng)天線發(fā)線朝向情況下的計(jì)算結(jié)果

情形2：考慮I型導(dǎo)彈武器系統(tǒng)初始部署位置的天線法向方向。

由于反導(dǎo)武器的攔截范圍并不是能旋轉(zhuǎn)360°，它們都有天線法線方向，由文中給出的I型反導(dǎo)武器系統(tǒng)1和2的天線法向方向以及它們的部署位置可以計(jì)算出，對(duì)于攔截系統(tǒng)武器1可以實(shí)現(xiàn)對(duì)導(dǎo)彈2、3、4、6進(jìn)行了有效攔截，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)2、3、5的有效保護(hù)。 對(duì)于攔截系統(tǒng)武器2，它的天線法向?yàn)橄鄬?duì)于正北方向順時(shí)針60°以及其最大航路角γ=45°可得，其可能殺傷范圍的角度為相對(duì)于正北方向15°～105°。來襲導(dǎo)彈均不在此范圍之內(nèi)，對(duì)于攔截武器2，其對(duì)于來襲導(dǎo)彈1～6是均沒有保護(hù)能力的。

鑒于情形2的討論與分析，可以得知I型反導(dǎo)武器系統(tǒng)2的部署位置急需調(diào)整，同時(shí)I型反導(dǎo)武器系統(tǒng)1的部署位置也需要進(jìn)一步微調(diào)，以期實(shí)現(xiàn)攔截效果最優(yōu)化。

表3 在考慮反導(dǎo)系統(tǒng)天線發(fā)線朝向情況下的計(jì)算結(jié)果

3 結(jié)語

防空導(dǎo)彈攔截彈道導(dǎo)彈的作戰(zhàn)效能與防空導(dǎo)彈火力單元的部署位置密切相關(guān)，合理的戰(zhàn)斗部署是成功反導(dǎo)的前提和關(guān)鍵。本文綜合考慮武器系統(tǒng)、防御對(duì)象、來襲彈道目標(biāo)等因素，建立了殺傷空域等重要參數(shù)的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)反導(dǎo)武器系統(tǒng)攔截能力的仿真與分析，所得結(jié)果對(duì)于反導(dǎo)作戰(zhàn)一定的參考價(jià)值。