路陽, 蔡彬, 喬道鵬, 付艷明, 張卯瑞

1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心, 黑龍江 哈爾濱 150001;2.北京電子工程總體研究所, 北京 100854

在軌衛(wèi)星在運行時,系統(tǒng)元部件不可避免地會出現(xiàn)故障情況,從而導(dǎo)致衛(wèi)星失效。將在軌失效的衛(wèi)星捕獲后進行修復(fù)或者燃料加注等操作,可以提升其工作效率,這對衛(wèi)星產(chǎn)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展具有重要意義[1-2]。與失效衛(wèi)星進行交會對接是實現(xiàn)上述在軌操作的關(guān)鍵性技術(shù),對該問題的研究已經(jīng)成為一個熱點。目前,國內(nèi)外學(xué)者對這一問題展開了一系列研究。文獻[3]利用參量Lyapunov方程,設(shè)計了交會過程中執(zhí)行器受限情況下的控制器,其目的是改變系統(tǒng)的增益以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。文獻[4]針對衛(wèi)星近距離段交會對接過程中的姿軌耦合控制問題,利用滑模自適應(yīng)控制方法設(shè)計了一類六自由度姿軌一體化控制器。文獻[5]考慮衛(wèi)星在攔截任務(wù)過程中,系統(tǒng)所面臨的參數(shù)不確定性和干擾情形,設(shè)計了使系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的控制器。文獻[6]研究了防止碰撞約束下最小能量的連續(xù)推力交會對接。文獻[7]研究了近地軌道電磁衛(wèi)星編隊飛行中的控制問題,提出了一種自適應(yīng)控制律使得編隊可以保持和重構(gòu)。文獻[8]考慮衛(wèi)星沿橢圓軌道運行時的近距離交會軌跡安全問題。

當在軌運行衛(wèi)星的執(zhí)行部件發(fā)生故障時,可能會使得系統(tǒng)失穩(wěn),從而增加控制難度。本文以文獻[9]中衛(wèi)星軌跡跟蹤控制的參數(shù)化方法為基礎(chǔ),提出了跳變控制輸入的方法來解決這一問題。該方法基于Markov跳變系統(tǒng),利用Markov跳變性質(zhì)的輸入,對執(zhí)行器發(fā)生故障的衛(wèi)星進行軌道控制。有關(guān)Markov跳變系統(tǒng)方面的研究,文獻[10]研究了Takagi-Sugeno(T-S)模糊型跳變系統(tǒng)的保性能控制問題。文獻[11]研究了帶有乘性噪聲和具有Markov跳變參數(shù)的隨機離散周期系統(tǒng)的魯棒控制問題。文獻[12]研究了跳變系統(tǒng)的二次型穩(wěn)定性問題,并且給出了其在RLC電子電路中的應(yīng)用。文獻[13]對含有有限能量干擾的Markov跳變系統(tǒng)進行了研究,給出了此類跳變系統(tǒng)的模型跟蹤控制問題的一種有效解法。文獻[14]研究了系統(tǒng)含隨機擾動以及轉(zhuǎn)移概率未知但是有界情況下離散跳變系統(tǒng)的H∞控制問題,以LMI的形式求解了狀態(tài)反饋控制器。

Markov跳變系統(tǒng)具有隨機特性并且易于建模,當衛(wèi)星執(zhí)行器發(fā)生跳變故障時可以用Markov跳變理論進行建模。在衛(wèi)星的相對軌道控制中加入具有Markov跳變性質(zhì)的控制輸入,就可以在可控的情形下對衛(wèi)星的相對軌道運動進行控制。

綜上所述，本文提出了執(zhí)行器跳變故障的失效衛(wèi)星軌跡跟蹤控制問題，并將所設(shè)計的控制器應(yīng)用于衛(wèi)星在軌交會任務(wù)中，給出了相應(yīng)的仿真結(jié)果與分析。

1 問題描述

考慮在圓軌道運行的衛(wèi)星,當其執(zhí)行器發(fā)生跳變故障時,描述衛(wèi)星近距離相對運動模型將變?yōu)槿缦滦问?/p>

(1)

式中

矩陣中的ω是目標衛(wèi)星的軌道角速度。d(t)∈L2[0,∞)是擾動信號,M(γ(t))是擾動矩陣。{γ(t),t≥0}表示與執(zhí)行器故障模態(tài)相關(guān)的Markov隨機過程,該隨機過程在有限可數(shù)集S={1,2,…,N}中取值,S為故障可能出現(xiàn)的模態(tài)集合。故障模態(tài)的轉(zhuǎn)移概率Λ為

Pr{γ(t+h)=j|γ(t)=i}=

引入如下形式的矩陣來描述衛(wèi)星執(zhí)行器的故障情況

F(γ(t))=diag(fi1,fi2,fi3)

式中：0≤fil≤1,(l=1,2,3分別表示x,y,z方向)；當執(zhí)行器處于模態(tài)γ(t)=i時,定義fil=0表示l方向執(zhí)行器完全失效;0

B(γ(t))=BF(γ(t))

式中

考慮失效衛(wèi)星系統(tǒng)(1),在狀態(tài)反饋控制的作用下,其閉環(huán)系統(tǒng)為

(2)

當其故障模態(tài)處于γ(t)=i時,為了書寫方便記

Ki是使得系統(tǒng)(2)隨機穩(wěn)定的狀態(tài)反饋增益矩陣。

定義1考慮失效衛(wèi)星系統(tǒng)(2),若對所有初始條件x(0)=x0和γ(0)=γ0∈S,有不等式

成立,則稱系統(tǒng)(2)是隨機穩(wěn)定的。

定義2給定標量r>0,如果對任意非零干擾d∈L2[0,∞),衛(wèi)星系統(tǒng)(2)是隨機穩(wěn)定的且在零初始條件下,干擾d到輸出y的傳遞函數(shù)滿足

(3)

成立,則稱該系統(tǒng)是隨機穩(wěn)定的并且滿足H∞性能指標r。

本文主要研究失效衛(wèi)星近距離軌跡跟蹤控制問題,其要求是閉環(huán)系統(tǒng)隨機穩(wěn)定且能夠?qū)崿F(xiàn)對給定信號的跟蹤,因此,可將該問題歸為一個模型參考跟蹤控制問題。通常情況下,參考信號可由以下線性連續(xù)參考模型系統(tǒng)生成

(4)

式中：xm(t)∈R3×1和ym(t)∈R3×1分別是參考模型系統(tǒng)的狀態(tài)向量和輸出向量；R表示實空間；Am和Cm是給定的相應(yīng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣。

面向失效衛(wèi)星的相對軌道跟蹤控制問題: 給定失效衛(wèi)星系統(tǒng)(1)和參考模型(4),設(shè)計反饋加前饋形式的控制器

u(t)=Kix(t)+Kmixm(t)

(5)

式中，Km(γ(t)=i)=Kmi是前饋補償器的增益矩陣,使得

1) 衛(wèi)星系統(tǒng)(2)是隨機穩(wěn)定的;

2) 輸出向量y(t)在均方意義下跟蹤上參考模型的輸出ym(t),也就是對任意初值x(0),xm(0)和γ(0)使得如下不等式成立

2 主要結(jié)果

2.1 模型參考跟蹤控制器的存在條件

文獻[9]給出了執(zhí)行器正常情形下的控制器存在條件,本文將該條件推廣到了執(zhí)行器發(fā)生跳變故障情形。以下是執(zhí)行器發(fā)生跳變故障時的控制器存在條件。

推論1控制器有解的充要條件是:在失效衛(wèi)星系統(tǒng)(2)是隨機穩(wěn)定的前提下,存在矩陣Gi∈R6×3和Hi∈R3×3(i=1,2,…,N)滿足下面的矩陣方程組

(6)

則前饋補償增益矩陣可表示為

Kmi=Hi-KiGi

(7)

由控制器的形式(5)可知,需設(shè)計狀態(tài)反饋控制律和前饋補償器。下面對狀態(tài)反饋控制律和前饋補償器分別進行設(shè)計。

2.2 魯棒H∞狀態(tài)反饋控制律設(shè)計

定理1在衛(wèi)星系統(tǒng)(2)當中,如果存在一組依賴于故障模態(tài)i的矩陣Wi和對稱正定矩陣Xi,i=1,2,…,N,滿足如下線性不等式成立

(8)

式中：

(9)

證明當系統(tǒng)(2)的干擾不為零時,為了得到衛(wèi)星的H∞性能指標,定義變量Ξ

(10)

選取依賴于故障模態(tài)i的Lyapunov函數(shù)Vi=xTPix,在零初始條件下,由Vi|t=0=0可得

成立。其中

(11)

進一步,考慮到衛(wèi)星控制中存在輸入上限的約束,為保證系統(tǒng)正常工作,定義約束條件

‖u(t)‖2≤umax

(12)

式中，umax是系統(tǒng)的最大控制輸入,表示衛(wèi)星的執(zhí)行器能夠提供的最大加速度?；谳斎胧芟薜氖l(wèi)星H∞狀態(tài)反饋控制律由以下定理給出。

定理2衛(wèi)星系統(tǒng)(2)是H∞隨機穩(wěn)定的并且同時滿足(12)式的充分條件是存在一組依賴于故障模態(tài)i的對稱正定矩陣Xi和一組矩陣Wi,滿足如下LMI條件

(13)

(14)

(15)

式中，ρ為給定的正數(shù)。此時,相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制律的增益矩陣可表示為

(16)

證明關(guān)于(15)式和控制器(16)式的證明,定理1已給出證明,這里不再贅述。參照文獻[15]中的相關(guān)定理直接給出另外2組LMI條件(13)式和(14)式的證明。

對每一個模態(tài)i定義一個Lyapunov函數(shù)Vi(x(t))=xT(t)Pix(t),考慮輸入約束條件(12),假設(shè)初始條件滿足xT(0)Pix(0)≤ρ,ρ為一個給定正值。則對于t>0有

xT(t)Pix(t)≤xT(0)Pix(0)≤ρ

(17)

(18)

聯(lián)合(17)和(18)式,由Schur補引理可以得到

(19)

同樣根據(jù)Schur補引理,初始條件xT(0)Pix(0)≤ρ可以寫為

(20)

在對干擾抑制過程中,總希望有最好的抑制效果,所以在狀態(tài)反饋控制律的設(shè)計過程中,需要在滿足定理2中LMI條件的情況下,盡量找到干擾抑制界r的最小值。關(guān)于r的求解由以下推論給出。

推論2衛(wèi)星系統(tǒng)(2)是隨機穩(wěn)定的并且對干擾抑制界r的求解,可轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題:

minr

(21)

此時狀態(tài)反饋控制器的增益矩陣可表示為(16)式的形式。

2.3 前饋補償器的設(shè)計

前饋補償器的作用是滿足對給定信號的跟蹤。文獻[16]通過對非齊次廣義Sylvester矩陣方程組的求解,獲得了前饋補償器的參數(shù)化表達形式。這部分參照文獻[16]當中對前饋補償器的求解方法,類似地可以得到矩陣Gi和Hi(i=1,2,…,N)的一組參數(shù)化通解表達式為

(22)

式中，矩陣Zi∈R3×3是任意參數(shù)矩陣,代表參數(shù)化通解的自由度。具體求解過程以及(22)式中相關(guān)矩陣的定義可以參考文獻[16],限于文章篇幅,不再贅述。

2.4 控制器求解算法

本文針對失效衛(wèi)星所求解的模型參考跟蹤控制核心問題就是設(shè)計控制器u(t)使其能保證系統(tǒng)是魯棒H∞隨機穩(wěn)定的,并且能夠滿足對給定指令的跟蹤。接下來給出失效衛(wèi)星控制器求解的詳細算法:

第1步 選取參考模型的參數(shù)矩陣Am,Cm以及干擾矩陣Mi;

第2步 求解狀態(tài)反饋控制律。利用線性矩陣不等式(21),解出最小的干擾抑制界r,以及矩陣Xi和Wi;

第4步 求解前饋補償器,利用(22)式求解矩陣Gi和Hi;

第5步 由(7)式計算前饋補償器增益矩陣Kmi=Hi-KiGi。

3 仿真校驗

本文考慮目標衛(wèi)星運行在地球同步軌道,其軌道參數(shù):軌道周期T=86 164 s,軌道角速度ω=7.292 1×10-5rad/s,半徑R=4.224 1×107m。接下來考慮失效衛(wèi)星的執(zhí)行器發(fā)生跳變故障情形,假定執(zhí)行器出現(xiàn)以下3種故障模態(tài):①f11=f12=f13=1,表示衛(wèi)星所有執(zhí)行器工作正常;②f22=0.85,f21=f23=1,表示衛(wèi)星在y方向上執(zhí)行器部分失效,其他方向執(zhí)行器正常工作;③f33=0.85,f31=f32=1,表示衛(wèi)星在z方向上執(zhí)行器部分失效,其他方向執(zhí)行器正常工作。則跳變輸入矩陣Bi可以表示為

轉(zhuǎn)移概率矩陣為

將失效衛(wèi)星系統(tǒng)中存在的擾動d模擬為白噪聲干擾,干擾矩陣取為

接下來選取衛(wèi)星系統(tǒng)的初始狀態(tài)值為x(0)=[225 312 -143 0 0 0]T。假定衛(wèi)星的執(zhí)行器能提供的最大加速度為umax=3 m/s2。參考模型選取Am=03×3,Cm=I3×3。設(shè)置仿真時間800 s,仿真結(jié)果如下所示。

圖1是衛(wèi)星系統(tǒng)的執(zhí)行器隨著時間發(fā)生跳變故障的3種情形,衛(wèi)星的執(zhí)行器隨著時間的變化,在3個模態(tài)之間進行切換,執(zhí)行器出現(xiàn)故障的情形具有一定隨機性。

圖1 執(zhí)行器的故障模態(tài)

圖2 衛(wèi)星相對距離

圖2和圖3為跟蹤衛(wèi)星和目標衛(wèi)星的相對位置和相對速度曲線。由圖2和圖3可知,跟蹤衛(wèi)星和目標衛(wèi)星相對距離和相對速度在大約前200 s內(nèi)均大幅度減小。由于初始時刻兩衛(wèi)星間的位置存在偏差,因此衛(wèi)星在前200 s內(nèi)以較大的速度進行軌道機動,以消除偏差,隨后以約0.1 m/s的速度進行微調(diào),兩衛(wèi)星間相對位置也進一步減小。

圖4為衛(wèi)星所施加的控制信號,由于初始時刻兩星相對位置存在較大偏差,因此前200 s內(nèi)執(zhí)行機構(gòu)施加的控制信號較大,隨后衛(wèi)星約以0.01 m/s2的控制信號繼續(xù)向目標低速緩慢接近。圖4說明失效衛(wèi)星系統(tǒng)(1)和控制器(5)所組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)是隨機穩(wěn)定的。

圖5為位置跟蹤誤差,由圖可知,衛(wèi)星系統(tǒng)存在白噪聲干擾情形下,穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差大約為2 m。這驗證了本文所設(shè)計的模型參考跟蹤控制器的有效性。即本文所設(shè)計的控制器能夠使得失效衛(wèi)星完成對給定指令的跟蹤。

圖3 衛(wèi)星相對速度 圖4 控制信號 圖5 跟蹤誤差

4 結(jié) 論

本文討論執(zhí)行器故障情形的失效衛(wèi)星軌跡跟蹤控制問題。建立了含有跳變參數(shù)的衛(wèi)星相對運動數(shù)學(xué)模型,采用跳變系統(tǒng)隨機穩(wěn)定性的充要條件與模型參考跟蹤控制思想給出了在隨機切換控制下的模型參考跟蹤控制器的存在條件,并利用LMI方法和矩陣方程理論提出了失效衛(wèi)星控制器的設(shè)計算法。所設(shè)計的控制器中包含自由參數(shù)矩陣,可以通過該參數(shù)矩陣對控制器進行進一步優(yōu)化。數(shù)值仿真結(jié)果表明在失效衛(wèi)星系統(tǒng)存在白噪聲干擾時,所設(shè)計的控制器能夠快速、準確地完成對給定指令的跟蹤。